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基本初等函数 09-10 理科 教师版


基本初等函数 09-10 理科 教师版 一 选择题
1. (YRZ2010 全国二 2).函数 y ? A. y ? e C. y ? e 答案:D 命题意图:本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 解析:由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,又 ,故选 D. ;
2 x ?1

1 ? ln( x 1 ? ) 2
2 x ?1

( x ?1 ) 的反函数是(

)

? 1( x ? 0) ?1( x ? R)

B. y ? e D. y ? e

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

2 x ?1

2 x ?1

2. (YRZ2010 江西 12 题)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地 升出水面 , 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S (t ) ( S (0) ? 0 ) ,则导函数

y ? S ?(t ) 的图像大致为 (
y
? ?

)

y

y ?

y

o
答案:A

t
A.

o

t
?
B.

o
C.

t

o
D.

t

3. (YRZ2010 辽宁 10 题)已知点 P 在曲线 y= 角,则 a 的取值范围是( A. [0, )

4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 e ?1
x

? ) 4

B. [

? ?

, ) 4 2

(

? 3?
2 , 4

]

D.

[

3? ,? ) 4

答案:D 4. (YRZ2010 辽宁 12 题)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使 这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( ) A. (0, 6 ? 2 ) C. ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) 答案:A 5. (YRZ2010 全国一 8) 设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 8( x ? 0) ,则 {x| f ( x ? 2) ? 0 } ?
3

B. (1, 2 2 ) D. (0, 2 2 )

( A. C.

)

{x | x ? ?2或x ? 4} {x | x ? 0或x ? 6}

B. D.

{x | x ? 0或x ? 4} {x | x ? ?2或x ? 2}

答案:B

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 6 . ( YRZ2010 全国一 11 )已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc 的取值范围是(
A. ) D.

(1,10)

B.

(5, 6)

C.

(10,12)

(20, 24)

答案:C 7. (YRZ2010 四川 3)2log510+log50.25=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

)
w

解析:2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 答案:C 8. (YRZ2010 四川 4)函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是( A. m ? ?2 B. m ? 2 C. m ? ?1 D. m ? 1 解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 于是- 答案:A 9. (YRZ2010 天津 8) 若函数 f(x)= ?log (? x ), x ? 0 ,若 fA. >f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1

)

m 2

w _w _w .k *s 5*u.c o*m

m =1 ? m=-2 2

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

)

A. (-1,0)∪(0,1) C. (-1,0)∪(1,+∞) 答案:C

B. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(0,1)

10.( M FY2 009 广 东 3 ) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图
x

像经过点 ( a , a ) ,则 f ( x) ? ( A. log2 x

) C.

B. log 1 x
2

1 2x

D.

x2
答案:B 解析: f ( x) ? loga x ,代入 ( a , a) ,解得 a ?

1 ,所以 f ( x) ? log 1 x ,选 B. 2 2
) C. 0<a<1, b>0 D. 0<a

b 11.(MFY2009 湖南 1)若 log 2 a<0, ( ) >1,则(

1 2

A.a>1,b>0 <1, b<0 答案:D

B.a>1,b<0

b 解析:由 log2 a ? 0 得 0 ? a ?, 由 ( ) ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。

1 2

12. ( MFY2009 海 南 12 ) 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? ( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为(
A.4 答案:C B.5 C. 6

) D. 7

x 13.(MFY2009 年广东 4) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 ( a ? 0,且a ? 1 )

f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ()
A. log2 x 答案:A 解析: 函数 y ? a 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 , (a ? 0,且a ? 1 )
x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. 14.(MFY2009 北京 4)为了得到函数 y ? lg 有的点() A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案:C 解析: A. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? ,

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所 10

B. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? ,

x?3 , 10 x ?3 D. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg . 10
C. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg 15.(MFY2009 湖北 2)函数 y ? A. y ? C. y ?
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2
1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是( ) 1 ? 2x 2

B. y ? D. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2
1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

答案:D

16.(MFY2009 湖南 1) log2 A. ? 2 答案:D 解析:由 log 2

2 的值为 ( )
C. ?

B. 2

1 2

D.

1 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

17.(MFY2009 福建 2)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 答案:A B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是() x
f ( x) ?| x |
D. f ( x) ? e
x

1 x

C.

18. (MFY2009 福建 11) 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是() A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

答案:A 解析: f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x=

1 2 x , f ? x ? ? ( x ?1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ?1 的零 4

点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 的零点,因为 g(0)= -1,g(
x

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 2? 1 1 )=1,所以 g(x)的零点 x ? (0, ),又函数 f ? x ? 的零 2 2

点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零 点适合,故选 A。

x ? R 有大于零的极值点, 19. (mfy2008 广东文 6) 设a?R , 若函数 y ? e x ? ax , 则 (
A. a ? ?1 答案:A B. a ? ?1 C. a ? ?



1 e

D. a ? ?

1 e

20. ( MFY2009 海 南 12 ) 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 , 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? (x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为(
A. 4 答案:C B. 5 C. 6 D. 7



21. (MFY2009 福建 11) 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是() A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1 答案:A 解析: f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= 点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 的零点,因为 g(0)= -1,g(
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

1 2 x , f ? x ? ? ( x ?1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ?1 的零 4

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 2? 1 1 )=1,所以 g(x)的零点 x ? (0, ),又函数 f ? x ? 的零 2 2

点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零 点适合,故选 A。

x ? R 有大于零的极值点, 22. (mfy2008 广东文 6) 设a?R , 若函数 y ? e ? ax , 则 (
x



A. a ? ?1 答案:A

B. a ? ?1

C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e

23. ( MFY2009 海 南 12 ) 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 , 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? (x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为(
A. 4 答案:C B. 5 C. 6 D. 7



24. ( MFY2009 海 南 12 ) 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 , 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? (x ? 0),则 f ? x ? 的最大值为(
A. 4 答案:C 25. (MFY2009 湖北 2)设 a 为非零实数, 函数 y ? A. y ? C. y ? 答案:D 解析:由原函数是 y ? B. 5 C. 6 D. 7



1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? ax a

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? )的反函数是 ( 1 ? ax a 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) B. y ? 1 ? ax a
D. y ?

)

1? x ( x ? R, 且x ? 1) a(1 ? x)

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a(1 ? x)

1? y 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ,从中解得 x ? ( y ? R, 且y ? ?1) 1 ? ax a a(1 ? y) 1? y ( y ? R, 且y ? ?1) ,故选择 D a(1 ? y)

即原函数的反函数是 x ?

2 26(zzp2010 安徽理)6、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是

答案 D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合.

b ? 0 ,选项(D) 2a

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标, 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. (zzp2010 安徽)动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒 旋转一周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( ,

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐 2 2

标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A、 0,1

? ?

B、 1,7

? ?

C、 7,12

?

?

D、 0,1 和 7,12

? ? ?

?

答案:D (zzp2010 福建)函数 f ( x) ? ? A.0 答案 C B.1

? x 2 ? 2 x ? 3,x ? 0, ??2 ? ln x,x ? 0
C.2 D.3

的零点个数为

10. (zzp2010 福建) 对于具有相同定义域 D 的函数 f ( x ) 和 g ( x) , 若存在函数 h( x) ? kx ? b ( k, b 为常数) ,对任给的正数 m ,存在相应的 x0 ? D ,使得当 x ? D 且 x ? x0 时, 总有 ?

?0 ? f ( x) ? h( x) ? m, 则称直线 l : y ? kx ? b 为曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的“分 ?0 ? h( x) ? g ( x) ? m,

渐近线” 。给出定义域均为 D= x x ? 1 的四组函数如下: ① f ( x) ? x , g ( x) ?
2

?

?

x ;② f ( x) ? 10? x ? 2 , g ( x) ?

2x ? 3 ; x

x2 ? 1 2x2 x ln x ? 1 ③ f ( x) , g ( x) ? ;④ f ( x) ? , g ( x) ? 2( x ?1 ? e? x ) 。 ln x x x ?1
其中,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 存在“分渐近线”的是 A.①④ 答案 C (zzp2010 福建)已知定义域为 (0, (1)对任意 x ? (0, ? ?) 的函数 f ( x) 满足: ? ?) ,恒有 (2)当 x ? (1 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; , 2] 时 f ( x) ? 2 ? x 。给出结论如下: ①对任意 m ? Z ,有 f (2 ) ? 0 ;②函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ;③存在 n ? Z ,使
m

B.②③

C.②④

D.③④

得 f (2 ? 1) ? 9 ; ④ “函数 f ( x ) 在区间 (a,b) 上单调递减” 的充要条件是 “存在 k ? Z ,
n

使得 (a,b) ? (2k , 。 2k ?1 ) ” 其中所有正确结论的序号是 答案 ①②④ 。

(zzp2010 广东)若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R,则 A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数. g ( x) 为奇函数

B. 【解析】 f (? x) ? 3? x ? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) (zzp2010 广东)函数, f ( x) ? lg( x ? 2) 的定义域是 .

【解析】由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ,所以函数的定义域为 (2, ??) . (2, ??) .

( zzp2010 海南宁夏)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为

P0

?

2, ? 2 ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

?

[来源:学科网]

(zzp2010 海南宁夏)设偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 0? ,则 x f ? x ? 2 ?>0 ?
3

?

?

(A) x x <- 2或x>4 (C) x x <0或x>6

?

?

(B) x x <0或x>4

?

? ?

?

?

(D) x x <- 2或x>2

?

? lg x , 0 <x ? 10, ? ( zzp2010 海南 宁 夏)已 知 函 数 f ? x ? ? ? 1 若 a , b , c 互不 相 等 ,且 ?? x ? 6, x>1 0 ? 2

f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ,则 abc 的取值范围是
(A) ?1,10? (B) ? 5,6 ? (C) ?10,12? (D) ? 20, 24?

(zzp2010 海南宁夏)设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随 机模拟方法近似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组 (每组 N 个) 区间[0,1]上的均匀随机数 x1 ,

(i=1,2,?,N),在数出其中满足 y1 ≤ x2 ?, xN 和 y1 , y2 ?, yN ,由此得到 N 个点( x1 , y1 ) )的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得积分 ? f ( x)dx 的近似值 f ( x1 ) ( (i=1,2,?,N )
0 1



. 表示 a,b 两数中的最小值。若函数 的图像关于直线 x= ?

( zzp2010 湖 南 ) 用

1 对称,则 t 的值为 2

A.-2 答案 D

B.2

C.-1

D.1

二、填空题

?3x , x ? 1, 1.(MFY2009 北京 12)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
答案: log3 2 解析:由 ?

.

?x ? 1
x

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ? x ? 2 ? x ? ? 2 3 ? 2 ? ?

2.(MFY2009 北京 12)已知函数 f ( x) ? ? 答案: log3 2

?3x , ?? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

解析:由 ?

?x ? 1
x

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2
.

?3x , x ? 1, 3.(MFY2009 北京 12)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
答案: log3 2 解析:由 ?

?x ? 1

?x ? 1 , 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log 2 ? 3 x ? x ? 2 ? x ? ? 2 3 ? 2 ? ?

4. (YRZ2010 年上海 8)对于不等于 1 的正数 a,函数 f(x)?loga(x?3)的反函数的图像都经 过点 P,则点 P 的坐标为_______________. 答案:(0,?2);

?1 , x?0 ? ?x 5. ( MFY2009 北 京 13 ) 若 函 数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3
____________. 答案: ? ?3,1?

则 不 等 式 | f ( x ) |?

1 的解集为 3









?x ? 0 1 ? | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 3 ? ? ?x 3

.



?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ?? ? ? 3 3 ? ? ?3? 3 ? ? 1 ∴不等式 | f ( x ) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,∴应填 ??3,1? . 3


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