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高中高一数学各章知识点总结《整理》


高中高一数学各章知识点总结
高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象 叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素 的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者 是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中, 任何两个元 素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中 的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它 们的元素是否一样, 不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使 集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a ?
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A 举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集 合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件 表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形 的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x ? R| x-3>2}或 {x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个 元素的集合 3.空集 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等” 关系(5≥5, 且 5≤5, 则 5=5) 实例: 设 A={x|x2-1=0} 素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B, 即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 A ? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④ 如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集 是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算
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不含任何元素的集合

例:{x|x2=-5}

B={-1,1} “元

1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、 并集的定义: 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 作: CSA 即 CSA ={x ? x ? S 且 x ? A} 记 A∪φ

(2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就 可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确 定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的 数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值 域.注意:○2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定 义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成 集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的
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定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1) 分式的分母不等于 零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运 算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意 义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个 要素是定义域、 对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函 数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自 变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一 致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数 的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数 函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中 的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x , y) ,均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可 能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,
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以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y), 最后用平滑的曲线将这些点连接 起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移 变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、 直观的看出函数的性质; 2、 利用数形结合的方法分析解题的思路。 提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f: A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应, 那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是 一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的; ②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的 对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中 的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元 素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在 集合 A 中都有原象。 6. 常用的函数表示法及各自的优点: ○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可 以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○ 2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数 的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要
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有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表 法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解 析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并 用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段函数 是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域 的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinX 7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间 的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调 减区间. 注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的 局部性质; ○2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时, 总有 f(x1)<f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右 是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
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y=2cos(X2+1)

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○2 作差 f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是因式 分解和配方) ;○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意:1、函数的单调区间只能是其

定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们 在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=— f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇 函数又是偶函数。 ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条 件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即 定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关 于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的 格式步骤: ○1 首先确定函数的定义域, 并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确 定 f(-x)与 f(x)的关系;○3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,
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则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意 啊: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义 域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义 判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变 量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义 域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如 果已知函数解析式的构造时, 可用待定系数法; 已知复合函数 f[g(x)]的表达式时, 可用换元法, 这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时, 也可用凑配法; 若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○1 利用二次函数的性质(配方 法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函数的最大(小)值○3 利用函数单调 性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在 区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小 值 f(b);

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root) ,其中 >1,
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且 ∈ *. 当 是奇数时, 正数的 次方根是一个正数, 负数的 次方根是一个负数. 此时,的 次 方 根 用 符 号 表 示 . 式 子 叫 做 根 式 ( radical ) ,这里 叫做根指数 (radical exponent) , 叫做被开方数(radicand) . 当 是偶数时,正数的 次 方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负 的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0) .由 此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。 注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义 指出: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指 数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1) ? (2) (3) ; ; .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential function) , 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底 数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
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图象特征 函数性质 向 x、 y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非 奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0, 1) 自左向右看, 在第一象限

图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢, 到了 某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 注意: 利用函数的单调性, 结合图象还可以看出:(1) 在[a, b]上, 值域是 或 ; (2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数 ,总有 ; (4) 当 时,若 ,则 ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底 数, — 真数, — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制 ,且 ; ○2 ; ○3 注意 对数的书写格式. 两个重要对数: ○1 常用对数:以 10 为底的对数 ; ○2 自 然对数:以无理数 为底的对数的对数 . 2、 对数式与指数式的互化 对数式 ← → 指数 真数 ← →幂 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数

(二)对数的运算性质 如果 ,且 , ,
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,那么:

○1 ? + ○2 - ○3 . 注意:换底公式 ( ,且 ; 利用换底公式推导下面的结论(1) ; (二)对数函数

; ;

,且 ; ) . (2) .

1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域 是(0,+∞) . 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○2 对数函数对底数的限制: ,且 . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 图象特征 函数性质 函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0,+∞) 图象 关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图

象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 小于 0 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
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第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都

2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都 过点(1,1) ; (2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时, 幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸; (3) 时,幂函数的图象在区 间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼 近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点 的横坐标。即: 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 的零点: ○1 (代数法)求方程 的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 . 1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数 有两个零点. 2)△=0,方程 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 无实根,二次函数的
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图象与 轴无交点,二次函数无零点.

高中高一数学必修 4 各章知识点总结 基本三角函数 Ⅰ

?

? ?Ⅰ
? ?Ⅱ ? ?Ⅲ

? ? ? ?
2 2 2 2

? 2
? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ

? ?Ⅳ

Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合: ?? ? ? ??,? ? z? ? 终边落在 y 轴上的角的

? ? ? 集 合 : ?? ? ? ?? ? , ? ? z ? ? 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 : 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? ? z ? 2 ? ?
l ? ? r S ? 1 1 l r ? ? r2 2 2

3 60度 ? 2? 弧度 1? ?

?

?
1 80 .

弧度 1 80

1 弧度 ?

?



? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1 80? ? ? 弧度

tan? cot? ? 1

?倒数关系: Sin?Csc? ? 1 Cos?Sec? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

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tan2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系:Sin2? ? Cos 2? ? 1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

1 ? Cot 2? ? Csc 2?
乘积关系: Sin? ? tan ?Cos ? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘 积 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法: (参看图片或参考资料链接) 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 (1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数; (2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数 值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此,可得商数关系式。 (3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平 方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。



诱导公式?

终边相同的角的三角函数值相等
, , k?z k?z k?z

Co? s ? ? 2k? ? ? C o ? s ,

?? ? 2k? ? ? S i n Sin ? ?? ? 2k? ? ? t a n t an ?

?

角?与角? ?关于x轴 对 称

?? ? ? ? ?S i n Sin ? Co? s? ? ? ? C o ? s ?? ? ? ? ? t a n t an ?
?? ? ? ? ? S i n Sin ? Co? s ? ? ? ? ? ?C o ? s ?? ? ? ? ? ? t a n t an ?
? ? ? ? ?S i n ? Co? s ? ? ? ? ? ?C o ? s ?? ? ? ? ? t a n t an ?

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

?

?? Sin 角? ? ?与角?关 于 原 点 对 称

tan ?
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Sec ?Csc?

Cos? Sin ? Cot?

?角

?
2

? ?与角 ?关于 y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? 2 ? ? ?? ? Cos? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? cot? ?2 ?

?

?? ? Sin s ? ?? ? ? C o ? ?2 ? ?? ? Co? s ? ? ? ? ?S i n ? ?2 ? ?? ? t a? n ?? ? ? ?c o? t ?2 ?

上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” Ⅳ 周期问题
y ? AS in??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , T ? 2?

?

y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? AS in??x ? ? ? y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? AS in??x ? ? ? ? b y ? ACo s??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

?

y ? A t an??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A t an??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? T? ? ? T? ?
T?

? ? ? T? ?

※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于 k·π/2±α (k∈Z)的个三角函数值, ①当 k 是偶数时,得到α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot →tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限)
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例如: sin(2π-α )=sin(4·π/2-α ),k=4 为偶数,所以取 sinα 。 当α 是锐角时,2π-α ∈(270°,360°),sin(2π-α )<0,符号为“-” 。 所以 sin(2π-α )=-sinα 记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α 视为锐角时,角 k·360°+α (k∈Z) ,-α 、180°±α ,360° -α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦; 三为切;四余弦” . 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+” ; 第二象限内只有正弦是“+” ,其余全部是“-” ; 第三象限内切函数是“+” ,弦函数是“-” ; 第四象限内只有余弦是“+” ,其余全部是“-” . Ⅴ 三角函数的性质

性 质 定义域 值 域

y ? Sin x

y ? Cos x

R

R

?? 1,1?
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?? 1,1?

周期性 奇偶性 单调性

2?

2?

奇函数

偶函数

? ?? ? ?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 增函数 ? ? ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数 ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 减函数 ? ?

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4

对称轴

?
2

,k ? z

3



5

y
2

4

1
3

x
y
2

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

-1
1

-π /2
-8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-2

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-3
-1

-4
-2

-5
-3



-4

-5

-6

性 质 定义域

y ? tan x

y ? cot x

? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?

?x x ? ??,? ? z?
R

值 域 周期性 奇偶性 单调性

R

?
奇函数
? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z, 增函数 2 2? ?

?
奇函数

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数

第 17 页 共 17 页

对称中心 对称轴

?k? ,0?, k ? z

10 8

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?


y
y

6

4

2

x
-15 -10 -5

-3π /2 -π

-π /2

O

π /2

π 3π /2 5

10

15



-2

0

x

-4

-6

-8

-10

像 ?

怎样由y ? S i n变化为 x y ? A S i?n ?x ? ? ? ? k
振幅变化: y ? Sinx
y ? A S i? nx



y ? ASinx 左右伸缩变化:

左右平移变化
y ? A S i(n ?x ? ? ) ? k

y ? A S i(n ?x ? ? )

上下平移变化

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a, a ? 0 , b, 如果有

?

?

一个实数 ?, 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果 b与a是共线向量

? ?

那么又且只有一个实数 ?, 使得b ? ? a.
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比的定义式P 1P ? ? PP 2
线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

.

x?

x1 ? ?x2 1? ? y1 ? ?y 2 y? 1? ?

.?

OP ?

OP1 ? ? OP 2 1? ?

第 18 页 共 18 页

? 当? ?1时
线段中点坐标公式
x1 ? x2 2

? 当? ?1时
线段中点向量公式

x?

. OP ? OP1 ? OP 2 2

y?

y1 ? y 2 2



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
? 推广
b ? ?a

?a ? 0?

平面向量基本定理:
? 推广

? 其中e1 , e 2 为该平面内的两个 ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

空间向量基本定理:

a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e3 , ? 其中e1 , e 2 , e3为 该 空 间 内 的 三 ?个 ? ? ?不 共 面 的 向 量 ? ? ?

Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y2 ? x2 y1 ? 0 反过来,如果 x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅹ 一般地,对于两个非零向量 a, b 有 a ? b ? a b Cos? ,其中θ 为两向量的 夹角。

Co? s ?
2

a ?b ab
2

?

x1 x2 ? y1 y2 x1
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅺ Ⅻ

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y 1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
若正 n边形 A1 A2 ? ? ? An的中心为 O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0

三角形中的三角问题
第 19 页 共 19 页

?

A? B ?C ??

,

A? B ?C ? ? 2 2

,

A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? s ? ? ?Co? ? 2 ? ?2?

Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C?

? A? B? ?C ? Co? s ? ? Sin? ? 2 ? ? ?2?

? 正弦定理: 余弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC
CosA ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab

变形:

?

t a nA ? t a nB ? t a n C ? t a nA t a nB t a n C

三角公式以及恒等变换 ? 两角的和与差公式: Sin ?? Sin ??
? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ? ? ? ? ? Sin ?Cos ? ? Cos ?Sin ? , S (? ? ? ) , S (? ? ? )

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan?? ? ? ? ? , T(? ? ? ) , T(? ? ? )







t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an ? ? t an? t an ? t an ? 其中? , ? , ?为 三 角 形 的 三 个 内 角

? 二倍角公式: Sin2?

? 2Sin?Cos?

Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? 2 t an? t an 2? ? 1 ? t an2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
?

Cos

?
2

tan

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

? 降幂扩角公式: Cos 2?

1 ? Cos 2? 2

, Sin 2? ?

1 ? Cos 2? 2

第 20 页 共 20 页

?

1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 积化和差公式: Cos?Sin? ? 2 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 1 Cos?Cos? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 1 Sin?Sin? ? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 Sin?Cos? ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2 Sin? ?Cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2Cos? ? Sin? ? ? 和差化积公式: 2 ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? 2Cos? ?Cos? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? Cos? ? Cos? ? ?2 Sin? ? 2


? ? ?

S ? S ? 2 SC S ? S ? 2CS C ? C ? 2CC C ? C ? ?2 SS



? ?? ? ? ? ? Sin? ? ? ? 2 ?

和差化积公式推导 首 先 , 我 们 知 道

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同 样 的 , 我 们 还 知 道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
第 21 页 共 21 页

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四 个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
2 t an

?
2
2

Sin? ?

1 ? t an

?
2

? 万能公式:

Cos? ?

1 ? t an

2

? ?
2 2

(

S ?T ?C ? ?

)

t an? ?

2 t an

?
2

1 ? t an

2

1 ? t an2

?
2

附推导: sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因 为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同 除 cos^2( α ) , 可 得 sin2 α = tan2 α /(1 + tan^2(α )) 然后用α /2 代替α 即可。 同理可推导 余弦的万能公式。 正切的万能公式可通过正弦比 余弦得到 ? 三倍角公式: Sin3?
? 3Sin? ? 4Sin3?

Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?

t an3? ?

3 t an? ? t an3 ? 1 ? 3 t an2 ?

“三四立,四立三,中间横个小扁担” 三倍角公式推导
第 22 页 共 22 页

tan3α =sin3α /cos3α =(sin2α cosα +cos2α sinα )/(cos2α cosα -sin2α sinα ) =(2sinα cos^2(α )+cos^2(α )sinα -sin^3(α ))/(cos^3(α )-cosα sin^2(α )- 2sin^2(α )cosα ) 上下同除以 cos^3(α ),得: tan3α =(3tanα -tan^3(α ))/(1-3tan^2(α ))

sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα =2sinα cos^2(α )+(1-2sin^2(α ))sinα =2sinα -2sin^3(α )+sinα -2sin^2(α ) =3sinα -4sin^3(α )

cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα =(2cos^2(α )-1)cosα -2cosα sin^2(α ) =2cos^3(α )-cosα +(2cosα -2cos^3(α )) =4cos^3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα 三倍角公式联想记忆 记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角:3 元 减 4 元 3 角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正 弦”))
第 23 页 共 23 页

余弦三倍角:4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余” ) ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

?
1. y ? aSin? ? bCos? ? 2. y ? aCos? ? bSin? ? ? 3. a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , 其中 , 其中 , 其中 , t an? ? b a a t an? ? b b t an? ? a b t an? ? a a t an? ? b t an? ? a b

y ? aSin? ? bCos? ?

? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 , 4. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ?

? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 ,

b a 注 : 不同的形式有不同的化 归, 相同的形式也有不同的 化归, 进而可以 t an? ? 求解最值问题 . 不需要死记公式 , 只要记忆 1. 的推导即表达技巧 , 其它 的就可以直接写出 . 一般是表达式第一项是 正弦的就用两角和与差 的正弦来靠, 第一 项是余弦的就用两角和 与差的与弦来靠 . 比较容易理解和掌握 .

? 补充: 1. 由公式

t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ? t an? ? t an ? t an?? ? ? ? ? 1 ? t an? t an ? t an?? ? ? ? ?

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 2. 3.

?
4

时, ? ? z , ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 2

tan? ? tan? ? tan?? ? ? ? tan? tan? ? tan?? ? ? ?
柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.

补充

? 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2
第 24 页 共 24 页

2.

? (2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);
cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限 b 决定, tan ? ? ). a

? ? 3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 ? ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3
tan 3? ? 3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

4.三角形面积定理: (1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、 2 2 2

c 边上的高). 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) 2 . (3) S?OAB ? 2 5.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? 2 2 2 . 6. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ? 中心为 (
k? ?

?
2

??

?

(k ? Z ) ;对称

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时, 你注意到正切函数、 余切函数的定义域了吗?你注意到 正弦函数、余弦函数的有界性了吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用.
第 25 页 共 25 页

3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式 转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )

第 26 页 共 26 页


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