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10 1空间向量及其线性运算


新高二(理科)暑期数学讲义

空间向量的线性运算及共面定理(20120811) 一.基本概念:
1.平面向量的定义及平面向量的加法、减法与数乘运算。

2、空间向量定义:

3、空间向量加法和数乘运算满足运算律: (1) 加法交换律: (2) 加法结合律: (3) 数乘分配律: 4、几个概念: (1)相等向量: (2)共线向量(平行向量) :

(3)零向量与任意向量共线。 5、共线向量定理:

6、共面向量的定义:

7、共面向量定理:

典型例题: 例1、 如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, M 是 B B1 的中点,化简下列各式,并在图中标出化 简得到的向量。 (1) C B ? B A1
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(2) A C ? C B ?

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1 2

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A A1

(3) A A1 ? A C ? C B

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例2、 在长方体中,O A ? 3, O B ? 4, O C ? 2, O I ? O J ? O K ? 1 ,点 E , F 分别是 D B , D B 的
' '

中点。设 O I ? i , O J ? j , O K ? k ,试用向量 i , j , k 表示 O E 和 O F 。

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例3、 已知平行六面体 A B C D ? A B C D ,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。
' ' ' '

(1) A B ? A D ? A A1

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(2) ( A B ? A D ? A A1 )
3

1

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例 4、 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相交于 AD, M, 分别在对角线 B D , A E 上, 点 N 且 BM ?
1 3 BD , AN ? 1 3 A E ,求证: M N / / 平面 CDE

例 5、设空间任一点 O 和不共线三点 A , B , C , 若点 P 满足向量关系 O P ? x O A ? y O B ? z O C (其中 x ? y ? z ? 1 ) ,试问: P , A , B , C 四点是否共面?

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思考:如果将 x ? y ? z ? 1 整体代入,由 ( x ? y ? z ) O P ? x O A ? y O B ? z O C 出发,你能得 到什么结论?

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三.巩固练习: 1、 在空间四边形 ABCD 中,E 是线段 AB 的中点,CF=2FD,连结 EF,CE,AF,BF。化简 下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1) A C ? C B ? B D (2) A F ? B F ? A C (3)
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1 2

AB ? BC ?

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2 3

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CD

2、在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,点 E,F 分别是上底面 A1 B1C 1 D 1 和侧面 C D D 1C 1 的中心, 求下列各题中 m , n 的值: (1) A E ? m A B ? n A D ? A A1
? ? ? ?

(2) A F ? m A B ? A D ? n A A1

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3、四面体 PABC 中,点 M,N 分别为 PA,PB 的中点,问: M N 与 B C , A C 是否共面?

4、已知四棱锥底 P-ABCD 底面是平行四边形,M 是 PC 的中点,求证:PA//平面 BMD

5、若 ABCD 是平行四边形,点 O 为空间任意一点,设 O A ? a , O B ? b , O C ? c ,则向量 O D
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用 a , b , c 表示为______________

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6、已知空间四边形 ABCD,连结 AC,BD,设 M,G 分别是 BC,CD 的中点,化简下列各表 达式,并标出化简结果向量。 (1) A B ? B C ? C D (2) A B ?
? ? ?
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1 2

( B D ? B C ) (3) A G ?

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1 2

( AB ? AC )

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7、在平行六面体 A B C D ? A1 B1C 1 D 中, A B ? a , A D ? b , A A1 ? c ,E,F 分别是 A D 1 , B D 中点。 (1)用向量 a , b , c 表示 D 1 B , E F ; (2)化简: A B ? B B1 ? B C ? C 1 D 1 ? 2 D 1 E 。 1、 已知点 G 是 ? A B C 的重心, 是空间任一点, O A ? O B ? O C ? ? ,? 的值为_________ O 若 2、 已知 A,B,C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件: O P ? 试判断:点 P 与 A,B,C 是否一定共面?
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1 5

OA?

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2 5

OB?

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2 5

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OC ,

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