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数列通项公式解法总结(附详解答案)精品

数列通项公式解法总结及习题训练(附答案)
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

a 2.公式法: 已知 Sn(即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) an , 求 用作差法: n ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1



? f (1),(n ? 1) ? 3.作商法:已知 a1 ? 2 ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 a ?? ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 a a a a 5.累乘法:已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1
6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
1)递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san )

?s ? t ? p ?st ? ?q an ?1 2)形如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b 7.数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想,然后证明。 8.换元法 换元的目的是简化形式,以便于求解。
其中 s,t 满足 ? 9、不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求

10 定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n)
解题基本步骤:1、确定 f ( n) 2、设等比数列 ?an ? ?1 f (n)? ,公比为?

3、列出关系式 an?1 ? ?1 f (n ? 1) ? ?2 [an ? ?1 f (n)] 4、比较系数求 ?1 , ?2 5、解得数列 ?an ? ?1 f (n)? 的通项公式 6、解得数列 ?an ? 的通项公式

习题
1.(2010 全国卷 2)(6)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = ? (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35

2.(2010 安徽)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64

3. (2011 年高考四川)数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) . 若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( ) A)0 (B)3 (C)8 (D)11

4.(20 11 年高考全国卷设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?

A)8

(B)7

(C)6

(D)5

5. 2009 广 东 卷 理 ) ( 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? , a5 a2 且 ? 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)2
2 C. n

5? n

? 22n ? 3 n ) (



D. (n ? 1) 2

6.(2009 陕西卷)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ? 7. (2011 广东卷)等差数 列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ? 8. an ?

an?1 , a1 ? 1 则其通项为 3 ? an?1 ? 1

9(2009 宁夏海南卷理)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38, 则 m=_______ 10.重庆卷理) a1 ? 2 ,an ?1 ? 设

11.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,
2 S 5 ? a5 .求数列 ?an ? 的通项公式.

a ?2 2 * ,bn ? n ,n ? N , 则数列 ?bn ? 的通项公式 bn = an ? 1 an ? 1

12 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项 公式。

13 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,

14 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

15 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

16 知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

17 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

18 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

答案及详解
1.【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。



a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4

a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

1 ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

2.【答案】 A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 【方法技巧】直接根据 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论. 3.答案:B 解析:由已知知 bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3 .
4【答案】D 【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
2 5【解析】由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则 an ? 2n ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.

6 解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n.
答案:2n

7【答案】10
4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? 【解析】由题得 ? ?d ? ? 2 2 6 ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0 ?
8 解:取倒数:

k ? 10

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?

9 解析由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到
2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2 m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10 。

答案 10

10 解析

2 ?2 an?1 ? 2 an ?1 a ?2 由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是 2 an?1 ? 1 an ? 1 ?1 an?1

首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 11 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 12 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 13 解 : 由

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3


an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ? 1.

14 解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5 15 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

? n!.



将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 n ? 2 ? 5 ,等式两边消去 a x n

x n 代 , 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5, 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 ,则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 an ? 5n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n
16 解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

17 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 即 4bn?1 ? (bn ? 3)2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

18 解:令 x ?

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。