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2017届山东枣庄市高三理上学期末期数学试卷(带解析)


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2017 届山东枣庄市高三理上学期末期数学试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.若集合 A ? ? x ? Z | ?2 ? x ? 2? , B ? x | y ? log 2 x A. ??1,1? B. ??1,0,1? C. ?1? )

?

2

? ,则 A ? B ? (



D. ?0,1?

2.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ? p 为( A. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1 B. ?x ? R,sin x ? 1 D. ?x ? R,sin x ? 1

3. 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, 2? , 则函数 g ? x ? ? f ? 2 x ? ? 8 ? 2 的定义域为 (
x



A. ?0,1? C. ?1, 2?

B. ? 0, 2? D. ?1,3? ) B. ?x0 ? R,lg x0 ? 0 D. ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 3

4.下列命题中的假命题是( A. ?x ? R,3 ? 0
x

C. ?x ? ? 0,

? ?? ? , x ? sin x ? 2?

5.已知函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ? x ? 的图象向右平移 所得的图象与原图象重合,则 ? 的最小值为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6.已知 ? ? ? A. ?

? 个单位长度后, 3

? ? 3? , ?2 2

3 ? ? , tan ?? ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值是( 4 ?
1 5
C. ?



1 5

B.

1 5

D. ?

7 5

试卷第 1 页,总 5 页

7.设 a, b ? R ,函数 f ? x ? ? ax ? b ? 0 ? x ? 1? ,则 f ? x ? ? 0 恒成立是 a ? 2b ? 0 成立 的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

8.过抛物线 y2 ? 4ax ? a ? 0? 的焦点 F 作斜率为 ?1 的直线 l , l 与离心率为 e 的双曲线

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 的两条渐近线的交点分别为 B, C . 若 xB , xC , xF 分别表示 B, C, F a 2 b2
2 的横坐标,且 xF ? ? xB ?xC ,则 e ? (

) D. 3

A. 6

B. 6

C. 3

9. 《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑 堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直 于底面的四棱锥.如图,在堑堵 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,若 A 1 A ? AB ? 2 ,当 阳马 B ? A 1 ACC1 体积最大时,则堑堵 ABC ? A 1B 1C1 的体积为( )

A.

8 3

B. 2

C. 2

D. 2 2

10. 定义在 R 上的奇函数 y ? f ? x ? 满足 f ? 3? ? 0 , 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? xf ' ? x ? 恒 成立,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ? lg x ?1 的零点的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

试卷第 2 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a4 ? 8 ,则其前 6 项之和为



?x ? y ?1 ? 0 y?2 ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 的最大值为 x?4 ?y ? 2 ? 0 ?
13.函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 x 的减区间是 .



14.如图,网格纸上每个小正方形的边长为 1 ,若粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为 .

15.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ? x, y ? ,则 PA ? PB 的最大值是 .

评卷人

得分 三、解答题

16.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,角 A 、 B 、 C 的度数成 等差数列, b ? 13 . (1)若 3sin C ? 4sin A ,求 c 的值; (2)求 a ? c 的最大值.
2 17.已知 Sn 为各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? ? 0, 2? , an ? 3an ? 2 ? 6Sn .

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对 ?n ? N ? , t ? 4Tn 恒成立,求实数 an an?1

t 的最大值.
18.如图,在平面四边形 ABCD 中, BA?BC ? 32 .

??? ? ??? ?

试卷第 3 页,总 5 页

(1)若 BA 与 BC 的夹角为 30 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC ;
?

??? ?

??? ?

(2)若 AC ? 4, O 为 AC 的中点, G 为 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,且 OG 与

????

????

???? ???? ??? ? CD 的值. OD 互为相反向量求 AD?
19. 在如图所示的空间几何体中, 平面 ACD ? 平面 ABC , ?ABC 与 ?ACD 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2, BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ,且点 E 在平面 ABC 上的射
?

影落在 ?ABC 的平分线上.

(1)求证: DE ? 平面 ABC ; (2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

x2 ? 2x ? a 20.已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x, g ? x ? ? ?a ? R? . x?2
(1)求函数 f ? x ? 的单调区间及最值; (2)若对 ?x ? 0, f ? x ? ? g ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证:

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ln ? n ? 1? ? n ? N ? ? . 3 5 7 2n ? 1
2 2
2

21.已知椭圆:2 + 2 = 1( > > 0),过点( 2 , 1)作圆2 + 2 = 1的切线,切点

分别为, ,直线恰好经过的右顶点和上顶点.

试卷第 4 页,总 5 页

(1)求椭圆的方程; (2)如图,过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦, . ①设, 的中点分别为 , ,证明:直线 必过定点,并求此定点坐标; ②若直线, 的斜率均存在时,求由, , , 四点构成的四边形面积的取值范围.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:因为 A ? ? x ? Z | ?2 ? x ? 2? ? {?1, 0,1}, B ? x | y ? log 2 x 以 A ? B = {?1,1} ,故选 A. 考点:集合的交集运算. 2.D 【解析】 试题分析:由全称命题的否定是特称命题知, ? p 为 ?x ? R,sin x ? 1 ,故选 D. 考点:全称命题的否定. 3.A 【解析】 试题分析:由题意,得 ? 考点:函数的定义域. 4.D 【解析】 试题分析: 由幂函数的性质知 A 正确; 当 x0 ? 1 时, 故 B 正确; 令 f ( x) ? x ? sin x , lg x0 ? 0 , 得 f ?( x ) = 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 ? 0,

?

2

? ? {x | x ? 0} ,所

?0 ? 2 x ? 2
x ?8 ? 2 ? 0

,解得 0 ? x ? 1 ,故选 A.

? ?

??

? 上是增函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,所 2?

以 x ? sin x 在 ? 0,

? ?

??

? 故 C 正确; 因为 sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ?[ ? 2, 2] , ? 恒成立, 4 2?

故 D 不正确,故选 D. 考点:命题真假的判定. 5.B 【解析】 试 题 分 析 : 将 y ? f ? x? 的 图 象 向 右 平 移

? 个 单 位 长 度 , 得 3 ? ?? ?? y ? cos ? ( x ? ) ? cos(? x ? ) ,又因为所得的图象与原图象重合,所以 ? ? 2k ? , 3 3 3

即 ? ? 6 k (k ? Z ) ,所以 ? 的最小值为 6,故选 B. 考点:余弦函数的图象与性质. 6.C 【解析】 试题分析: tan ?? ? ? ? ? tan ? ? ?

3 ? ? 3? ,又 ? ? ? , 4 ?2 2
答案第 1 页,总 10 页

3 4 ? ? ,所以 sin ? ? 5 , cos ? ? ? 5 , ?

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所以 sin ? ? cos ? = ?

1 ,故选 C. 5

考点:1、诱导公式;2、同角三角函数间的基本关系. 【方法点睛】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母 出现公约数进行约分求值.通常结合诱导公式与两角和与差的公式求解. 7.A 【解析】 试题分析:由 ?

? f (0) ? 0, ?b ? 0, ,所以 a ? 2b ? 0 成立,而仅有 a ? 2b ? 0 ,无法推 ?? ? f (1) ? 0 ?a+b ? 0

出 f (0) ? 0 和 f (1) ? 0 同时成立,所以 f ? x ? ? 0 恒成立是 a ? 2b ? 0 成立的充分不必要条 件,故选 A. 考点:充分与必要条件. 8.D 【解析】 试题分析:由题意,知 F (a, 0) ,则直线 l 的方程为 y ? ? x ? a .因为双曲线的渐近线为

y??

b a2 a2 2 x ,所以直线 l 与渐近线的交点横坐标分为 ,又 xF , ? ? xB ?xC ,即 a a ?b a ?b

a2 ? ?

c b a2 a2 b2 ,整理,得 2 ? 2 ,所以 e ? ? 1 ? ( ) 2 ? 3 ,故选 D. ? a ?b a ?b a a a

考点:1、抛物线与双曲线的几何性质;2、直线与圆锥曲线的位置关系. 【方法点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式,再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式,建立关于 a, b, c 的方程或 不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9.C 【解析】

VB ? A1 ACC1 ? 试题分析: 由阳马的定义知,


1 2 1 ? A1 A ? AC ? BC ? AC ? BC ? ( AC 2 ? BC 2 ) 3 3 3

1 4 AB 2 = , 当且仅当 AC ? BC ? 2 时等号成立, 所以当阳马 B ? A 1 ACC1 体积最大时, 3 3 1 则堑堵 ABC ? A1B1C1 的体积为 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,故选 C. 2
考点:空间几何体的体积. 10.C 【解析】 试题分析:因为当 x ? 0 时,[ xf ? x ?]? ? f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,所以 xf ( x) 在 (0, ??) 上单调递

答案第 2 页,总 10 页

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增, 又函数 f ( x ) 为奇函数, 所以函数 xf ( x) 为偶函数, 结合 f ? 3? ? 0 , 作出函数 y ? xf ( x) 与 y ? ? lg x ? 1 的图象,如图所所示,由图象知,函数 g ? x ? ? xf ? x ? ? lg x ?1 的零点有 3 个,故选 C.

考点:1、函数的奇偶性;2、函数的零点;3、函数的图象. 【方法点睛】 对于已知条件是既有 f '( x) 又有 f ( x ) 的不等式, 一般要构造一个新函数 g ( x) , 使得 g '(x ) 可通过此条件判断正负,从而确定单调性,常常构造函数 g ( x) ? e x f ( x) ,

g ( x) ?

f ( x) f ( x) , g ( x) ? xf ( x) , g ( x ) ? ,要根据不等式的形式要确定新函数. x e x

11. 63 【解析】 试题分析:因为 q3 ?

1 ? q6 a4 ? 63 . ? 8 ,所以 q ? 2 ,所以 S6 ? 1? 2 a1

考点:等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 12.

6 7 y?2 的最大值,即求平面区域内 x?4

【解析】 试题分析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,求

任一点与点 (4, 2) 连线的斜率 k 的最大值,由图可知点 (?3, ?4) 与点 (4, 2) 连线的斜率 k 最 大,即 (

y?2 ?4 ? 2 6 )max ? ? . x?4 ?3 ? 4 7

考点:简单的线性规划问题.

答案第 3 页,总 10 页

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13. ? k? ? 【解析】

? ?

?
8

, k? ?

5? ? ,k ?Z 8 ? ?

试题分析: f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 x ? 由

1 1 1 2 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? (sin 2 x ? ) ? , 2 2 2 2 4 2

? ? ?? ? 5? ? 2k ? ? sin 2 x ? ? ? 2k ? (k ? Z ) ,得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) ,所以函 2 4 2 8 8

数 f ( x ) 的减区间是 ? k? ?

? ?

?
8

, k? ?

5? ? ,k ?Z . 8 ? ?

考点:1、倍角公式;2、两角和的正弦公式;3、正弦函数的性质. 【方法点睛】求形如 y ? A sin(? x ? ? ) 或 y ? A cos(? x ? ? ) )(其中, ? ? 0 )的单调区间 时,要视“ ? x ? ? ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ? ? 0 ,那么一定先借助诱 导公式将 ? 化为正数,防止把单调性弄错. 14. 10 【解析】 试题分析:由三视图知,该几何体是底面为直角边分别为 5 和 4、高为 3 的三棱锥,所以该 几何体的体积 V ?

1 1 ? ? 5 ? 4 ? 3 ? 10 . 3 2

考点:三棱锥的三视图及体积. 【方法点晴】应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正) , 主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐) ,左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等) , 若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称. 15. 2 5 【解析】 试题分析:由题意,得 A(0, 0) ,因为直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 ,即 m( x ?1) ? y ? 3 ? 0 ,经 过定点 B(1,3) .又直线 x ? my ? 0 与直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 始终垂直,点 P 又是两条直线
2 的交点,所以 PA ? PB ,所以 PA ? PB ?| AB | ? 10 .设 ?ABP ? ? (? ? [0, ]) ,则 2 2

? 2

PA ? 10 sin?
P ? A 1 ? ?



PB ? 10 cos ?
s B ? ? i







0 P

? n PA ?? 1 0 2 ?5 . ,所以 ? PB 的最大值是 4

c

o

考点:直线与直线的位置关系. 16.(1) c ? 4 ;(2) 2 13 . 【解析】
答案第 4 页,总 10 页

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试题分析:(1)首先利用等差数列的性质求得角 B 的大小,然后由正弦定理得到 a , c 的关系 式,最后利用余弦定理求得 c 的值;(2)首先由正弦定理得到 a , c 与角 A, C 间的关系式,然 后利用两角和的正弦公式求得 a ? c 的最大值. 试题解析:(1) 由角 A, B, C 的度数成等差数列,得 2 B ? A ? C . 又 A ? B ? C ? ? ,? B ?

?
3

.

由正弦定理,得 3c ? 4a ,即 a ?
2 2 2

3c . 4

由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,即 13 ? ? (2) 由 正 弦

3c 1 ? 3c ? 2 ? ? c ? 2 ? ? c ? ,解得 c ? 4 . 4 2 ?4?
定 理 , 得

2

a c b 13 2 13 2 13 2 13 ? ? ? ? ,? a ? sin A, c ? sin C. sin A sin C sin B 3 3 3 3 2

?a ? c ?

2 13 2 13 2 13 ? ? ?? ? ? ?sin A ? sin C ? ? ?sin A ? sin ? A ? 3 ?? ?sin A ? sin ? A ? B ?? ?? 3 3 3 ? ? ??

?

? 2 13 ? 3 3 ?? ? sin A ? sin cos A ? ? 2 13 sin ? A ? ? . ? ? ? 2 6? 3 ?2 ? ?

由0 ? A ? 所以当 A ?

2? ? ? 5? ,得 ? A ? ? . 3 6 6 6

?

6

?

?

2

,即 A ?

? 时, ? a ? c ?max ? 2 13 . 3

考点:1、正弦定理与余弦定理;2、两角和的正弦公式. 【方法点睛】解三角形问题基本思想方法:从条件出发,利用正弦定理(或余弦定理)进行代 换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系,即考虑如下两条途径:①统一成角进行 判断,常用正弦定理及三角恒等变换;②统一成边进行判断,常用余弦定理、面积公式等. 17.(1) an ? 3n ? 2 ;(2)1. 【解析】 试题分析:(1)首先求得 a1 的值,然后利用 an 与 Sn 的关系推出数列 {an } 为等差数列,由此 求得 ?an ? 的通项公式;(2)首先结合(1)求得 bn 的表达式,然后用裂项法求得 Tn ,再根据 数列 ?Tn ? 的单调性求得 t 的最大值.
2 2 2 试题解析: (1)当 n ? 1 时, 由 an 得 a1 即 a1 ? 3an ? 2 ? 6Sn , ?3 a1 ? 2? 6a1 , ? 3a1 ? 2 ? 0 .

答案第 5 页,总 10 页

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2 2 又 a1 ? ? 0, 2? ,解得 a1 ? 1 .由 an ? 3an ? 2 ? 6Sn ,可知 an ?1 ? 3an?1 ? 2 ? 6Sn?1 .

2 2 两式相减,得 an ?1 ? an ? 3? an?1 ? an ? ? 6an?1 ,即 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 3? ? 0 .

由于 an ? 0 ,可得 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,即 an?1 ? an ? 3 , 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 1 ? 3? n ?1? ? 3n ? 2 . (2) 由

an ? 3n ? 2







bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn an an?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 . ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ? 3 ?? 4 ? ? 4 7 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 3n ? 1
因为 Tn?1 ? Tn ? 是递增数列, 所以 t ? 4Tn ?

n ?1 n 1 所以 Tn?1 ? Tn , 所以数列 ?Tn ? ? ? ?0, 3 ? n ? 1? ? 1 3n ? 1 ? 3n ? 1?? 3n ? 4 ?
t t 1 ? Tn ? ? T1 ? ? t ? 1 ,所以实数 t 的最大值是 1 . 4 4 4

考点:1、等差数列的定义及通项公式;2、裂项法求数列的和;3、数列的单调性. 【方法点睛】使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.要注意由 于数列 {an } 中每一项 an 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数 项与负数项的项数必是一样多的, 切不可漏写未被消去的项, 未被消去的项有前后对称的特 点. 18.(1)

16 3 ;(2) 0. 3

【解析】 试题分析:(1)首先利用向量的夹角公式求得 BA ? BC 的值,然后利用三角形面积公式求解 即可; (2) 以 O 为原点建立平面直角坐标系, 设 D ? x, y ? , 然后根据三角形重心的性质用 x, y

CD 的值. 表示出 OG, OB , BA, BC ,从而根据题意求得 AD?
试题解析:(1)? BA?BC ? 32,? BA?BC cos30 ? 32,? BA?BC ?
?

???? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ?

32 64 3 , ? ? cos30 3

? S?ABC ?

1 1 64 3 1 16 3 . BA?BC sin 30? ? ? ? ? 2 2 3 2 3

(2) 以 O 为 原 点 , AC 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 . 则
答案第 6 页,总 10 页

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A? ?2,0? , C ? 2,0? ,
设 D ? x, y ? ,则 OD ? ? x, y ? ,因为 OG 与 OD 互为相反向量,所以 OG ? ? ? x, ? y ? . 因为 G 为 ?ABC 的重心,所以 OB ? 3OG ? ? ?3x, ?3 y ? , 即 B ? ?3x, ?3 y ? ,? BA ? ? 3x ? 2,3 y ? , BC ? ? 3x ? 2,3 y ? , 因此 BA? BC ? 9x2 ? 4 ? 9 y 2 .由题意, 9x ? 4 ? 9 y ? 32 ,
2 2

????

????

????

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?
2

即 x ? y ? 4 .? AD? CD ? ? x ? 2, y ?? ? x ? 2, y ? ? x2 ? y 2 ? 4 ? 0 .
2

???? ??? ?

考点:1、向量的数量积; ;2、向量的坐标运算;3、三角形面积公式. 19.(1)见解析;(2) 【解析】 试题分析: (1)通过计算 EF 的边长,可得四边形 DEFO 是平行四边形,故有 DE // 平面 ABC ; (2)通过线面垂直的判定方法得出 EG ? BC ,即 ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角,从而通过解三角形求得二面角的余弦值. 试题解析:(1) 由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O ,连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC . 又平面 ACD ? 平面 ABC ,平面 ACD ? 平面 ABC ? AC, DO ? 平面 ACD ,所以 DO ? 平面 ABC . 作 EF ? 平面 ABC 于 F . 由题意,点 F 落在 BO 上,且 ?EBF ? 60 .
?

13 . 13

sin ?EBF ? 2 ? 在 Rt ?BEF 中, EF ? BE ?

3 ? 3. 2 3 ? 3. 2

sin ?DCO ? 2 ? 在 Rt ?DOC 中, DO ? DC ?

答案第 7 页,总 10 页

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因为 DO ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC ,所以 DO ? EF , 又 DO ? EF ,所以四边形 DEFO 是平行四边形.所以 DE ? OF . 又 DE ? 平面 ABC , OF ? 平面 ABC ,所以 DE ? 平面 ABC .

(2) 作 FG ? BC , 垂 足 为 G

,? E ? F , 连 接 EG ,? EF ? 平 面 A B C

B. C 又

EF ? FG ? F , FG ? BC,? BC ? 平面 EFG ,所以 BC ? EG ,
所以 ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的一个平面角.

sin ?FBG ? 1? sin 30 ? 在 Rt ?BGF 中, FG ? FB ?
?

1 . 2

在 Rt ?EFB 中 , E F ?

? E s B i ? n

. 中 , E ?B 2 F ? ?s i n ? 6在 0 Rt ?EFG 3

1 13 FG 13 , EG ? EF 2 ? FG 2 ? .cos ?EGF ? ? 2 ? 2 EG 13 13 2
即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 . 13

考点:1、线面平行的判定定理;2、二面角. 20.(1) 增区间为 ? ?1,0? ,减区间为 ? 0, ??? ,最大值为 0,无最小值;(2)

?2, ??? ;(3)

见解析. 【解析】 试题分析:(1)首先求得函数定义域与导函数,然后根据导函数求得函数的单调区间,由此

1 可 求 得 最 值 ; (2) ; 首 先 将 问 题 转 化 为 a ? ( x ? 2 ) [ ?

ln ?x (1 ] 令 , 然) 后

h? x ? x,从而通过求导研究函数 h( x) 的单调性,进而求得 a 的取值 ? ? ? x?2 ? ? ?? ? 1 ? l? n 1 ?
范围; (3) 结合(2)得 ln ?1 ? x ? ? 使问题得证. 试 题 解 析 : (1)

x 1 ,然后令 x ? ,从而依次令 k ? 1, 2,3,...n 即可 x?2 k

f ? x?











答案第 8 页,总 10 页

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? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ?

1 x ?1 ? ? . f ' ? x ? ? 0 ? ?1 ? x ? 0; f ' ? x ? ? 0 ? x ? 0 , 1? x 1? x

所以函数 f ? x ? 的增区间为 ? ?1,0? ,减区间为 ? 0, ??? ,

f ? x ?max ? f ? 0? ? 0 ,无最小值.
(2) ?x ? 0, f ? x ? ? g ? x ? ? 1 ? ?x ? 0, ln ?1 ? x ? ? x ?

x2 ? 2 x ? a ?1 x?2

? ?x ? 0, ln ?1 ? x ? ?

a ? 1 ? ?x ? 0, a ? ? x ? 2 ? ? ?1 ? ln ?1 ? x ? ? ?. x?2

令 h ? x ? ? ? x ? 2? ? ?1 ? ln ?1 ? x ? ? ?,

x?2 1 ? ? ln ?1 ? x ? ? . x ?1 x ?1 1 ?0, 当 x ? 0 时,显然 h ' ? x ? ? ? ln ?1 ? x ? ? x ?1
则 h ' ? x ? ? 1 ? ln ?1 ? x ? ? 所以 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上是减函数,所以当 x ? 0 时, h ? x ? ? h ? 0? ? 2 , 所以, a 的取值范围为 ?2, ??? .

2 x ? 1 ,即 ln ?1 ? x ? ? ? ?? . x?2 x?2 1 1 k ?1 1 k ?1 ? ? ? k ,即 ln 在 ? ?? 式中,令 x ? ? k ? N ? ,得 ln , 1 k k 2k ? 1 k 2? k 2 1 3 1 4 1 n ?1 1 ? 依次令 k ? 1, 2,3,...n ,得 ln ? , ln ? , ln ? ,..., ln . 1 3 2 5 3 7 n 2n ? 1 1 1 1 1 将这 n 个式子左右两边分别相加,得 ln ? n ? 1? ? ? ? ? ... ? . 3 5 7 2n ? 1
(3)又(2)知,当 a ? 2, x ? 0 时, ln ?1 ? x ? ? 考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数最值与导数的关系;3、不等式恒成立问题. 【方法点睛】 当 f ? x ? 在区间 (a,b) 上是增函数时 ? f ? ? x ? ? 0 在 (a,b) 上恒成立; 同样, 当函数 f ? x ? 在区间 (a,b) 上为减函数时 ? f ? ? x ? ? 0 在 (a,b) )上恒成立, 然后就要根据 不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 21.(1) + 2 = 1;(2)①( , 0);②[ , 2).
2 3 9

2

2

16

【解析】试题分析:(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点, 的坐标,然后求得直线的 方程,由此可求得椭圆的方程;(2) ①直线斜率均存在,设出直线、的方程,然后分别 联立椭圆方程,结合韦达定理求得点 , 的坐标,再结合中点求得斜率,从而求得定点; ②将①中直线的方程代入椭圆方程中,然后将||, ||的长度表示出来,再结合基本不 等式即可求出范围.
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试题解析:(1)过( , 1)作圆2 + 2 = 1的切线,一条切线为直线 = 1,切点(0,1).
2

2

设另一条切线为 ? 1 = ( ?

2 2

),即2 ? 2 + 2 ? 2 = 0.
|2? 2| 42 +4

因 为 直 线 与 圆 2 + 2 = 1 相 切 , 则 . ?2 2 + 3,解得( 由{ = 2 + 2 = 1
2 2 1 3 3

= 1 , 解 得 = ?2 2 , 所 以 切 线 方 程 为

1

, ),直线的方程为 ? 1 = 2 3 2
3

?1 ?0

( ? 0),即 = 1 ?

2 2

.

令 = 0,则 = 1所以上顶点的坐标为(0,1),所以 = 1;令 = 0,则 = 2, 所以右顶点的坐标为( 2, 0),所以 = 2,所以椭圆的方程为 + 2 = 1.
2

2

(2) ① 若 直 线 , 斜 率 均 存 在 , 设 直 线 : = ( ? 1), (1 , 1 ), (2 , 2 ) , 则 中 点

(

1 +2
2

, (

1 +2
2

? 1)). 先考虑 ≠ 0的情形.

= ( ? 1) 得(1 + 22 )2 ? 42 + 22 ? 2 = 0. + 22 ? 2 = 0 由直线过点(1,0),可知判别式 > 0恒成立.
由{
2

由韦达定理,得1 + 2 =
1

42 1+2
2

,故 (

22

1+22 1+22 2

,

?

),

将上式中的换成? ,则同理可得 (

22 2

2+2 2+2

,



).
2

若1+22 = 2+2,得 = ± 1,则直线 斜率不存在. 此时直线 过点(3 , 0). 下证动直线 过定点( , 0).
3 2

② 当直线, 的斜率均存在且不为0时, 由①可知,将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得(1 + 22 )2 ? 42 + 22 ? 2 = 0, 所以|| = =

2 + 1|1 ? 2 | = 2 + 1 (1 + 2 ) ? 41 2 = 2 + 1 (1+22)2 ? 4 × 1+22
2 2 2 +1 1+2
2 1

42

22 ?2

2 + 1 ·

=

2 2(2 +1) 1+22

. , · = 24 +2+52 =
4(2 +1)2 4(+ )2
2 22 + 2 +5 1

同理,|| =
1

2 2( 2 +1)

2 1+ 2

=

2 2(2 +1)

2 +2
1

四边形 = 2 ·|| ·|| = 2 ·
1

2 2 2 +1 2 2(2 +1) 1+2 1
2



+2

2

=

4(+ )2
1 2(+ )2 +1

1



=2?

2
1



2(+ )2 +1




因为2( + )2 + 1 ≥ 2(2 · )2 + 1 = 9,当且仅当 = ± 1时取等号,


所以0 <

2 2(+ )2 +1

1

≤ 9,

2 16 9

≤2?

2 2(+ )2 +1

1

< 2,即 9 ≤ 四边形 < 2,
16

16

所以,由, , , 四点构成的四边形面积的取值范围为[ 9 , 2). 考点:1、直线与圆的位置关系;2、椭圆的方程及几何性质;3、直线与椭圆的位置关系.
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