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2017届江西省红色七校高三上学期联考一数学(理)试卷


2017 届江西省红色七校高三上学期联考一数学(理)试卷
考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? { y | y ? 2x }, 则 ? ? ? ? ( ) A. (0, 2] B. (1, 2] C. ?1, 2? D. ? 0, 4?

2.把复数 z 的共轭复数记作 z ,已知 (3 ? 4i) z ? 1 ? 2i ,(其中 i 为虚数单位) ,则复数

z 在坐标平面内对应的点在(
A.第四象限 B.第三象限 3.下列说法正确的是( ) A. a ? R , “

) C.第二象限

D.第一象限

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
C.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” D.命题 p : “ ?x ? R , sin x ? cos x ?

2” ,则 ? p 是真命题

4. 《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题, 《张丘建算经》卷上 第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量 的布) ,第一天织 5 尺布,现一月(按 30 天计)共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比 前一天多织( )尺布.

16 29 1 1 ? tan ? 5.已知 ? 是三角形的最大内角,且 cos 2? ? ,则 的值为( 2 1 ? tan ?
A. B. C. D. A. 2 ? 3 B. 2 ? 3 C. 3 ? 3

1 2

8 15

16 31



D. 3 ? 3
ln 3

6. 算法程序框图如下图所示, 若a ?

?
2

b ? 33 ,c ? ,

1

? e?

, 则输出的结果是 (



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A. a

B. b

C. c

D.

a?b?c 3

1 1 2 x 和 y ? ? x 2 ? 5 所围成的封闭曲线如图所示, 给定点 A(0, a ) , 16 4 若在此封闭曲线上恰有三对不同的点, 满足每一对点关于点 A 对称, 则实数 a 的取值范
7. 已知抛物线 y = 围是( )

A. (1,3)

B. (2, 4)

C. ( ,3)

3 2

D. ( , 4)

5 2

6 8.正方体 ABCD ? A 1 在平面 A 1B 1C 1D 1 的棱长为 ,半径为 6 的圆 O 1B 1C1 D 1 内,其
圆心 O1 为正方形 A1B1C1D1 的中心, 接球的表面积为( A. 88? ) C.

P 为圆 O1 上有一个动点,则多面体 PABCD 的外

B. 80?

88 22 ? 3

D.

160 5 ? 3

y ? x ? ln x 交于 A, 9. 直线 y ? a 分别与曲线 y ? 2( x ? 1) , B, 则 | AB | 的最小值为 ( )
A.3 B.2 C.

3 2 4

D.

3 2

10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 与 x 轴垂直的直线 l 交 a 2 b2

两渐近线于 A , B 两点,与双曲线的其中一个交点为 P ,设坐标原点为 O ,若

??? ? ??? ? ??? ? 2 OP ? mOA? nOB (m , n ? R),且 mn ? ,则该双曲线的渐近线为( 9
1 x 2
B. y ? ?



A. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

2 x 4


D. y ? ? )

3 x 4

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

试卷第 2 页,总 5 页

2 2

1

1

正视图 1 1 1 俯视图
A.5 B.4

侧视图

C.3

D.2

12 . 若 函 数 f ( x) ? ? ln x ? ax2 ? bx ? a ? 2b 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 , 其 中

?

1 ? a ? 0, b ? 0 ,且 f ( x2 ) ? x2 ? x1 ,则方程 2a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ?1 ? 0 的实根个数 2
) B.4 C.5 D.6

为( A.3

?x ? y ? 2 ? 0 ? ?y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 2 2 13. 过平面区域 ? 内一点 P 作圆 O: x +y =1 的两条切线, 切点分别为 A, B,
记∠APB=α ,当 α 最小时,此时点 P 坐标为 . 14.函数 y ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x 的图象在 [0, m] 上恰有两个点的纵坐标 为 1 ,则实数 m 的取值范围是
6



a ? a ? 2 2 15. 已知 a ? 0, ? 则 ? x ? x ? 1 ? x dx ? ______. ? x ? 展开式的常数项为 15, ?a ? x ?

?

?

16. 已知正实数 x, y 满足 3xy ? x ? 3 y ? 5 ? 0 , 则 x ? 2y ?

1 的最小值为 3

.

17.如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,且

AD 1 ? .记∠ACD= ? ,∠BCD= ? . DB 3

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 ? ?

?

AC sin ? ? ; BC 3sin ?

6

,? ?

?

2

, AB ? 19 ,求 BC 的长.
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18 .已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , a1 ? 2, 2Sn ? (n ? 1)2 an ? n2an?1 ,数列 ?bn ? 满足

b1 ? 1, bnbn?1 ? ? ? 2an .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正实数 ? ,使得 ?bn ? 为等比数列?并说明理由. 19.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示, 水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年 入流量相互独立. (Ⅰ)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系; 年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台 发电机年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

ABCD AB ? 2, AD ? 1 M DC ?ADM AM ADM ? ABCM

AD ? BM

DE ? ? DB(0 ? ? ? 1) E ? AM ? D

? ? 3

21.已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短轴的 两个端点恰为一个正方形的顶点. 过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P, Q 两点. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积; (3) 在线段 OF 上是否存在点 M (m, 0) , 使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 22.已知函数 f ? x ? ? ?

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? ln x, a ? R . 2

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ;

试卷第 4 页,总 5 页

(3)若函数 f ? x ? 有两个零点 x1 , x 2 ,比较 f ? ?

? x1 +x2 ? ? 与 0 的大小,并证明你的结论。 ? 2 ?

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试 题 分 析 :

A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ? ? x | ?1 ? x ? 2? ? [?1, 2]

B ? ? y | y ? 2 x ? ? ? y | y ? 0? ? (0, ??) ,所以

A ? B ? (0, 2] ,故选 A.
考点:1.集合的表示与集合的运算;2.二次不等式的解法;3.指数函数的性质. 2.B 【解析】 试题分析: 因为 (3 ? 4i) z ? 1 ? 2i , 所以 z ?

1 ? 2i (1 ? 2i)(3 ? 4i) ? ? ?1 ? 2i ,z ? ?1 ? 2i , 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i)

所以复数 z 在坐标平面内对应的点在第三象限,故选 B. 考点:1.复数的运算;2.复数的几何意义. 3.A 【解析】 试题分析:当“ a ? 1 ”时, “ 所以 a ? R , “

1 1 ? 1” ,而“ ? 1 ”时,如 a ? ?1 ,则“ a ? 1 ”不成立, a a

1 ? 1” 是 “ a ? 1” 的必要不充分条件, 即 A 正确; “ p ? q 为真命题” 是 “p?q a

2 为真命题”的充分不必要条件,故 B 错;命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:

“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ” ,故 C 错;命题 p : “ ?x ? R , sin x ? cos x ?
2

2 ”是真命

题,所以 ? p 是假命题,故 D 错,所以选 A. 考点:1.逻辑词与命题;2.充分条件与必要条件;3.特称命题与全称命题. 4.D 【解析】 试题分析:每天织布数依次构成一等差数列,其中 a1 ? 5 ,设该等差数列的公差为 d ,则一 有织布总数为 S30 ? 30 ? 5 ?

30 ? 29 16 d ? 150 ? 435d ? 390 ,解之得 d ? ,故选 D. 2 29

考点:等差数列的应用. 【名师点睛】本题考查等差数列的定义、性质的实际应用,属中档题;数学的价值就在于应 用数学知识去解决实际问题, 解决这类问题首先是认真阅读相关的题目, 把实际问题转化为 熟悉的数学问题, 其次是应用数学知识解决数学问题, 再把解决了的数学问题回归的实际问 题进行回答即可. 5.B 【解析】 试题分析: ? 是三角形的最大内角 ,且 cos 2? ?

1 ? 0 ,所以 2? ? 300? ,? ? 150? ,所以 2

答案第 1 页,总 14 页

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3 1 ? tan ? ? , tan ? ? ? 1 ? tan ? 3

1?

3 3 ? 2 ? 3 ,故选 B. 3 1? 3

考点:1.三角形内角性质;2.特殊三角函数值;3.同角三角函数关系;4.二倍角公式. 6.C 【解析】 试 题 分 析 : 该 程 序 框 图 所 表 示 的 算 法 功 能 为 输 出 a, b, c 三 个 数 中 最 大 的 一 个 数 ,

c?

? ?
e

ln 3

? 3 2 ? 33 ,且 3 2 ?

1

1

1

? ,所以 c 最大,故选 C. 2

考点:1.程序框图;2.指数、对数运算. 7.D 【解析】 试题分析:由于封闭曲线关于 y 轴对称,所以只需满足 y =

1 2 x ( 0 ? x ? 4 )和 4

y?? 2a ?

1 2 x ? 5 (?4 ? x ? 0) 上 仅 各 有 一 点 关 于 点 A 对 称 , 所 以 16

1 2 1 2 3 ?5 ? x ? x ? 5 ? x 2 ? 5(0 ? x ? 4) ,即 2a ? (5,8), a ? ? , 4 ? ,故选 D. 4 16 16 ?2 ?

考点:函数与方程. 8.A 【解析】 试题分析:因为 P 为圆 O1 上,所以多面体 PABCD 的外接球就是圆 O1 与底面 ABCD 的外

ACFE 外接圆的半 接圆 O 构成的圆台的外接圆,设圆 O1 与 AC 1 1 相交于 E , F ,则等腰梯形
径即为多面体 PABCD 的外接球的半径, 设等腰梯形 ACFE 外接圆的圆心为 M , 外接球半
2 2 径为 R ,则 R2 ? MO2 ? AO2 ? MO1 ,即 3 2 ? EO1
2 2 2

?

?

2

? MO 2 ? ?6 ? MO ? ? 6 ,解
2 2
2

之得 MO ? 2 ,所以 R ? MO ? AO ? 22 ,所以外接球的表面积 S ? 4? R ? 88? ,故 选 A.

答案第 2 页,总 14 页

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D1 A1 E O1

F B1

C1

M

D A

O B

C

考点:1.球的切接问题;2.球的表面积与体积. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 在 同 一 坐 标 第 内 作 出 函 数 y ? a, y ? 2( x ? 1), y ? x ? ln x 的 图 象 , 因 为

y? ? 1 ?

1 1 , 所 以 过 曲 线 y ? x ? ln x 上 点 P( x0 , y0 ) 的 切 线 的 斜 率 为 k ? 1 ? ,则 x x0

k ? 1?

1 ? 2 得 x0 ? 1 , 这 时 y0 ? 1 , 由 1 ? 2x(? x0

1 ) x?? 得

1 , 由 力可知 2

1 3 AB min ? 1 ? (? ) ? ,故选 D. 2 2

考点:1.导数的几何意义;2.数形结合思想. 10.C 【解析】 试题分析:点 F 的坐标为 (c, 0) ,所以点 A, B 的坐标分别为 A(c,

bc bc ), B (c, ? ) ,点 P 的 a a

答案第 3 页,总 14 页

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? ?m ? n ? 1 ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 b2 ? 坐标为 (c, ) ,又因为 OP ? mOA ? nOB ,所以 ? mn ? ,解之得 c ? 3b ,所以 9 a ? ? mbc nbc b 2 ? ? ? a a ? a

b 2 a ? 2 2b ,所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ? ? x ,故选 C. a 4
考点:1.双曲线的几何性质;2.向量的坐标运算. 11.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 为 下 图 所 示 的 多 面 体 ABCDEFG , 其 体 积

1 1 1 1 1 V ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?1?1? 2 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? 2 ? 5 ,故选 A. 3 2 3 2 2
E F G

D A B

C

考点:1.三视图;2.多面体的表面积与体积. 【名师点睛】本题考查空间几何体的三视图及几何体的体积,意在考查学生的识图能力、空 间想象能力以及技术能力; 先根据三视图判断几何体的结构特征, 再计算出该几何体各组成 体各部的体积进行加减运算求之;本题属于中档题,是高考常考题型. 12.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? ? ln x ? ax2 ? bx ? a ? 2b 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 , 所 以

1 2 a x2 ? b ? x 1 f ?( x)? ? ? 2a ? x ? b 在 区 间 (0, ??) 上 有 两 个 零 点 x1 , x2 , 即 方 程 x x

2ax2 ? bx ? 1 ? 0 在区间 (0, ?? ) 上有两个零点 x1 , x2 ,所以由 2a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? 1 ? 0 得
f ( x) ? x1 或 f ( x) ? x2 ,又 a ? 0 ,所以在 (0, x1 ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调增,在 ( x2 , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递

答案第 4 页,总 14 页

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减 , 所 以 x1 是 f ( x ) 的 极 小 值 点 , x2 是 f ( x ) 的 极 大 值 点 , 又 f (1) ? ?b ? 0 , 所 以 结合函数的图象可知方程 f ( x) ? x2 有 f ( x)极小值 ? f ( x ) ? f ( ) 2x ? , 0 1 )? 0, f (x 2x ? 极大值 两个不同的实根, f ( x) ? x1 有三个不同的根, 所以方程 f ( x) ? ? ln x ? ax2 ? bx ? a ? 2b 共 有 5 个不同的根,故选 C. 考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数的单调性、极值、函数与方程相关的知识,属难题;利用导数求 函数 f ? x ? 的单调性与极值的步骤:①确定函数 f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③求方 程 f ? ? x ? ? 0 的所有实数根;④列表格.证明函数仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定 理证明函数零点的存在性;②用函数的单调性证明函数零点的唯一性. 13. ? ?4, ?2? 【解析】

?x ? y ? 2 ? 0 ? 试题分析:在直角坐标系内平面区域 ? y ? 2 ? 0 为如下图所示的三角形 DEC ,由图可 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
知,当点 P 与平面区域内的点 D 重合时,角 ? 最小,所以角 ? 最小时点 P 的坐标为

(? 4,? 2).

考点:1.线性规划;2.直线与圆的位置关系. 14. ?

? ? 7? ? , ? ?2 6 ?

【解析】 试题分析: y ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
2 2

?
6

), 令

? 1 ? ? ? 5? ? 2 k ? (k ? Z ) , 即 y ? 1 得 sin(2 x ? ) ? , 所 以 2 x ? ? ? 2k? 或 2 x ? ? 6 2 6 6 6 6

答案第 5 页,总 14 页

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x ? k? ? , ,

?
6

或 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) , 所 以 当 x ? 0 时 , 使 得 y ? 1 的 点 的 横 坐 依 次 为
? ?. ?

? ? 7?
6 2

? ? 7? ,? ,所以在 [0, m] 恰有两个点的纵坐标为 1 时, m 的取值范围 ? , 6 ?2 6

考点:三角函数的图象与性质. 15.

2 ? ? 3 2
? a ? r ? a ? ? x ? 展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 ? ? ? x ? ? x?
6 6

【解析】
6? r

试题分析: ?

x ?a C x
r r 6

6?r

6 ?3 r 2

,令

6 ? 3r ?0 2

? a ? 2 ? x ? 展开式的常数项为 T3 ? a4C6 得 r ? 2 ,所以 ? ? 15a4 ? 15 ,又因为 a ? 0 ,所以 ? x ?
a ? 1 ,则

?

a

?a

( x2 ? x ? 1 ? x2 )dx ?? ( x 2 ? x)dx ? ?
?1

1

1

?1

1 ? x 2 dx





1 1 3 1 2 ,由积分的几何意义可知 1 ? x 2 dx 表示 x2 ? y 2 ? 1 ( x ? x ) dx ? ( x ? x ) ? ? ??1 ? 1 3 2 ?1 3

1

1

2

所表示的圆的上半部分与 x 轴所围成区域即半个圆的面积,所以

?

1

?1

1 ? x 2 dx ?

?
2

,所以

?

2 ? ( x 2 ? x ? 1 ? x 2 )dx ? ? . ?a 3 2
a

考点:1.二项式定理;2.积分运算;3.积分的几何意义. 【名师点睛】本题考查二项式定理、积分运算以及积分的几何意义,属中档题;积分的几何 意义是微积分的基础, 定积分的几何意义体现数形结合的典型示范, 既考查微积分的基本思 想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力. 16. 6 【解析】 试 题 分 析 : 由 3xy ? x ? 3 y ? 5 ? 0 得 x ?

1 3y ? 5 3y ? 6 ? 1? ?0 , 所 以 y? , 3 3 y ?1 3 y ?1

1 6 1 6 2(3 y ? 1) 6 2(3 y ? 1) , x ? 2 y ? ? 1? ? 2y ? ? ? ?2?2 ? ?2?6 , 3 3 y ?1 3 3 y ?1 3 3 y ?1 3
当且仅当

4 1 6 2(3 y ? 1) ? ,即 y ? 时取等号,所以 x ? 2 y ? 的最小值为 6 . 3 3 3 y ?1 3

考点:基本不等式. 【名师点睛】 本题考查基本不等式的应用, 属中档题; 应用基本不等式求最值时要保证 “?” 成立的条件,即要注意两个数是否均为正数, “积”或“和”是否为定值,两个数可否相等, 只有这三个条件同时成立,才能用基本不等式求最大值或最小值.
答案第 6 页,总 14 页

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17. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)在 ?ACD 中与 ?BCD 中,分别利用正弦定理得

AC AD ? , sin ?ADC sin ?
AD 1 ? , BC 3

BC BD D C , 又 ?A ? sin ?BDC sin ?

? ?B D C

? ? 得 sin ?ADC ? sin ?BDC , 因为

AC 代入即可证出结果; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? BC

2 ? 3 ,设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 , ? 2 3 sin 6 在三角形 ABC 中应用余弦定理列出方程求出 k ,即可求得 BC 的长. AC AD ? 试题解析: (Ⅰ) 在 ?ACD 中,由正弦定理,有 sin ?ADC sin ?
在 ?BCD 中,由正弦定理,有

sin

?

BC BD ? sin ?BDC sin ?

因为 ?ADC ? ?BDC ? ? ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC 因为

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? BC 3 BC 3 sin ?

(Ⅱ)因为 ? ?

?
6

,? ?

?
2

,由(Ⅰ)得

AC ? BC

2 ?3 ? 2 3 sin 6

sin

?

设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,

代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos
2 2

2? , 3

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 . 考点:1.正弦定理与余弦定理;2.比例性质. 18. (Ⅰ) an ? 2n ; (Ⅱ)存在 ? ? 【解析】 试 题 分 析 : ( Ⅰ ) 由 an ? ?

1 ,使得数列 ?bn ? 为等比数列. 2

?a1 , n ? 1 关 系 , 由 已 知 式 再 写 出 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

即数列 ?an ? 成等 2S n?1 ? (n ? 2) 2 an?1 ? (n ? 1) 2 an?2 , 与已知式作差可得 an?2 ? an ? 2an?1 , 差数列,即可求其通项公式; (Ⅱ)由题设, bn bn?1 ? ? ? 2 n , bn?1bn?2 ? ? ? 2
a an ?1

两式相

除可得 bn? 2 ? 4bn , 即这个数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列,且公比为 4 ,因为

答案第 7 页,总 14 页

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b1b2 ? ? ? 2 a1 ? 4?, b1 ? 1, 所以 b2 ? 4? ,只要
求得 ? ? 试 题

b2 ? 2 即可得到数列 ?bn ? 成等比数列,可 b1

1 . 2
解 析 : ( Ⅰ ) 由 题 意 知

2S n ? (n ? 1) 2 an ? n 2 an?1 ,

2S n?1 ? (n ? 2) 2 an?1 ? (n ? 1) 2 an?2 , ?..2
两 式 相 减 可 得 (n ? 1) 2 (an?2 ? an ) ? 2(n ? 1) 2 an?1 , 即 an?2 ? an ? 2an?1 , 由 于

2S1 ? 4a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2a1 ? 4 ,所以 ?an ? 的公差为 2,故 an ? 2n
(Ⅱ)由题设, bn bn?1 ? ? ? 2 n , bn?1bn?2 ? ? ? 2
a an ?1

两式相除可得 bn? 2 ? 4bn ,即 ?b2 n ?
a1

和? b2n ?1 ?都是以 4 为公比的等比数列.因为 b1b2 ? ? ? 2

? 4?, b1 ? 1, 所以 b2 ? 4? ,由
1 . 2

2 b3 ? 4b1 ? 4 及 b3 ? b1b3 ,可得 4?2 ? 1 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ?

所以 b2n ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1 , , b2n ?1 ? 2 2n?2 , 即 bn ? 2 n?1 ,则 bn?1 ? 2bn , 因此存在 ? ?

1 ,使得数列 ?bn ? 为等比数列. 2

考点:1. an 与 Sn 关系;2.等差数列的定义与性质;3.等比数列的定义与性质. 【名师点晴】本题考查 an 与 Sn 关系、等差数列的定义与性质、等比数列的定义与性质,属 中档题;解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列 中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究; 如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列 各自的特征,再进行求解. 19. (Ⅰ)根据题意先分别计算 40 ? X ? 80,80 ? X ? 120, X ? 120 的概率 P 1, P 2, P 3 ,再根 据二项分布原理计算 0 年、和 1 年年入流量超过 120 的概率即可; (Ⅱ)分别计算安装 1 台、 2 台、 3 台发电机时水电站利润的均值,比较它们的大小,可得到应安装 2 台发电机. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 0.9477 ; (Ⅱ) 2 台. 试题解析: (Ⅰ) 依题意 P 1 ? P (40 ? X ? 80) ?

10 1 35 7 ? , P2 ? P(80 ? X ? 120) ? ? , 50 5 50 10

P3 ? P ( X ? 120) ?
为:

5 1 ? ,由二项分布,在未来 4 年中至少有 1 年流入量超过 120 的概率 50 10
4 3

?9? ? 9 ? 1 9477 0 4 1 3 P ? C4 (1 ? P ? 0.9477 . 3 ) ? C4 (1 ? P 3) P 3 ?? ? ? 4? ? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ? 10 10000
答案第 8 页,总 14 页

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(Ⅱ)记水电站总利润为 Y (单位:万元) ,由于水库年入流量总大于 40 ,所以至少安装1 台. ①安装 1 台发电机的情形: 由于水库处入流量总大于 40 ,所以一台发电机运行的概率为 1 , 对应的年利润为 Y ? 5000 , EY ? 1? 5000 ? 5000 , ②安装 2 台发电机的情形: 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运算,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 ,所以

P(Y ? 4200) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 ;
当 X ? 80 ,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 10000 , 因此 P(Y ? 10000) ? P( X ? 40) ? P 2 ?P 3 ? 0.8 , 此时 Y 的分布列如下:

4200 10000 Y 0.8 P 0.2 EY ? 4200 ? 0.2 ? 10000 ? 0.8 ? 8840 . ③ ②安装 3 台发电机的情形: 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运算,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 ,所以

P(Y ? 4200) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 ;
当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 此时 P(Y ? 9200) ? P(80 ? X ? 120) ? P 2 ? 0.7 ; 当 X ? 120 时,三台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 3 ? 15000 ,

Y 的分布列如下: 此时 P(Y ? 15000) ? P( X ? 120) ? P 3 ? 0.1 ,所以
3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1 所以 EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 综上,欲使水电站年利润的均值达到最大值,应安装 2 台发电机.

Y P

考点:1.古典概型;2.二项分布;3.离散型随机变量的分布列与期望. 20. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 2 3 ? 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)欲证 AD ? BM ,只要证 BM ? 平面 ADM 即可,由勾股定理及已知可知 BM ? AM ,又平面 ADM ? 平面 ABCM , 由面面垂直的性质可证 BM ? 平面 ADM ; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 EAM 的法向量与平面 DAM 的法向量,由空间向量 公式计算即可. 试题解析: (Ⅰ)由于 AB ? 2, AM ? BM ?

2 ,则 BM ? AM ,

又平面 ADM ? 平面 ABCM ,平面 ADM ? 平面 ABCM = AM ,

BM ? 平面 ABCM ,故 BM ? 平面 ADM .
又 AD ? 平面 ADM ,从而有 AD ? BM .
答案第 9 页,总 14 页

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(Ⅱ) (方法一)过点 E 作 MB 的平行线交 DM 于 F, 由 BM ? 平面 ADM 得 EF ? 平面 ADM; 在平面 ADM 中过点 F 作 AM 的垂线,垂足为 H,连接 HE, 则 ? EHF 即为二面角 E ? AM ? D 的平面角,大小为 设 FM ? x ,则 DF ? 1 ? x, FH ?

?
3



2 x, 在 Rt ?FHM 中, 2 3FH ? 6 x. 2

由 ?EFH ? 90? , ?EHF ? 60? ,则 EF ?

6x EF DF 1? x 2 EF // MB, MB ? 2 , 则 ? ,即 2 ? , 解得x ? ? 4?2 3. MB DM 1 2 2? 3
故当二面角 E ? AM ? D 大小为

?
3

时,

DE ? 2 3 ? 3 ,即 ? ? 2 3 ? 3 . DB

z

ziyuanku.com

x
A

y

(方法二) 以 M 为原点,MA, MB 所在直线为 x 轴,y 轴, 建立如图所示空间直角坐标系,

M (0,0,0) , A( 2 ,0,0) , B(0, 2 ,0) , D(
2 2 , 2 ,? ), 2 2

2 2 ,0, ), 2 2

且 DE ? ? DB ? ? (?

所以, E (

2 2 (1 ? ? ), 2? , (1 ? ? )) , 2 2

设平面 EAM 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则

m ? MA ? 2 x ? 0 , m ? ME ?
所以, m ? (0, ? ? 1,2?) .

2 2 (1 ? ? ) x ? 2?y ? (1 ? ? ) z ? 0 , 2 2

答案第 10 页,总 14 页

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又平面 DAM 的法向量为 n ? (0,1,0) , 所以, cos ? m, n ? ?

? ?1
(? ? 1) ? 4?
2 2

?

1 , 解得 ? ? 2 3 ? 3 或 ? ? ?2 3 ? 3(舍去) . 2

所以, ? ? 2 3 ? 3 . 考点:1.线面垂直、面面垂直的判定与性质;2.空间向量的应用.

2 1 x2 21.(1) ? y 2 ? 1;(2) S ?OPQ ? ;(3)存在, m 的取值范围为 0 ? m ? . 3 2 2
【解析】 试题分析:(1)由短轴长为 2 得 b ? 1 ,由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点 得 b ? c ? 1 ,由此求出 a ,即可求出椭圆方程;(2)先写出直线 l 的方程,将直线方程与椭 圆方程联立,求出 P, Q 的坐标,从而求出 PQ ,由点到直线的距离公式求出点 O 到到直线 的距离即可求三角形的面积; (3) 设在线段 OF 上存在点 M (m,0)(0 ? m ? 1) , 使得以

MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形, 设出直线方程 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 与椭圆方程联立,
由韦达定理计算 MP ? MQ ,即可求出 m 的取值范围.

试题解析: (1)设椭圆方程为 根据题意得 b ? c ? 1

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a2 b2
2 2 2

所以 a ? b ? c ? 2 ,

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1; 2

(2)根据题意得直线方程为 l : y ? x ? 1 ,

?y ? x ?1 4 2 ? ? 4 1? 解方程组 ? x 2 得 P, Q 坐标为 ?0,?1?, ? , ? , 计算 PQ ? , 2 3 ? 3 3? ? ? y ?1 ?2
点 O 到直线 PQ 的距离为

2 , 2

所以, S ?OPQ ?

2 ; 3

(3)假设在线段 OF 上存在点 M (m,0)(0 ? m ? 1) ,使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形 是菱形.因为直线与 x 轴不垂直,所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) .

答案第 11 页,总 14 页

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P, Q 坐标为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 )
? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ? 由 ? x2 得, (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
x1 ? x2 ? 4k 2 2k 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ,

计算得: MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x2 ? m, y2 ), ,其中 x1 ? x 2 , 由于以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形,所以 MP ? MQ , 计算得 m ?

x1 ? x 2 x ? x2 1 k2 , 即m ? 1 , (k ? 0) , 所以 0 ? m ? . 2 2 4 4 2k ? 1

(可以设点,也可以设直线得到 m 和 k 的函数关系式) 考点:1.椭圆的标准方程与几何意义;2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点晴】本题考查椭圆的标准方程、几何性质与直线与椭圆的位置关系,属中档题;求 2 2 椭圆标准方程的方法一般为待定系数法: 根据条件确定关于 a, b, c 的方程组, 解出 a , b, 从而写出椭圆的标准方程. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题, 其常规思路是先把直线 方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. 22.(1) a ? ?1 时, f ( x ) 在 (0,? ) 上递增, ? ?

1 a

? 1 ? ,1? 上递减, ?1,??? 上递增; a ? ?1 时, ? a ?

? 1? ? 1 ? f ( x) 在 ?0,??? 上递增;? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上递增,?1,? ? 上递减,? ? ,?? ? ? a? ? a ?
上递增; a ? 0 时, f ( x ) )在 ?0,1? 上递增,在 ?1,??? 上递减; (2)见解析; (3) f '(

x1 ? x2 ) ? 0 ,证明见解析. 2 ? (ax ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) , 分 a ? ?1 、a ? ?1 、 x

【解析】 试题分析: (1)求函数 f ( x ) 的导数得 f ' ( x) ?

? 1 ? a ? 0 、 a ? 0 分 别 讨 论 f ?( x ) 的 符 号 , 即 可 得 到 函 数 f ( x) 的 单 调 性 ; (2)

f (1 ? x) ? f (1 ? x)

?

1 1 ? a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x) 2 2
,求 ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 0 , 构造函数 g ( x) ? 2 x ? ln(1? x )? ln(1? x ),x ? (0,1)

答案第 12 页,总 14 页

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函数 g ( x) 的导数得 g '( x) ?

?2 x 2 所以 g ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减, 可证; (3) ? 0, (1 ? x)(1 ? x)

?a ? 0 ? 由 (1) 知 , 函 数 f ( x) 要 有 两 个 零 点 x1 , x 2 等 价 于 ? 即 a ? 2 ,则 a f (1) ? ? 1 ? 0 ? 2 ?

f (2) ? ln 2 ? 2 ? 0 可 设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 由 ( 2 ) 证
f '( x1 ? x2 )?0. 2

x1 ? x2 ?1 即 可 求 得 2

试题解析: (1) f ' ( x) ? 上递减;

? (ax ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) ① a ? 0 时, f(x)在(0,1)上递增, 在 ?1,??? x 1 ,1 a

② a ? 0 时,f’(x)=0 的两根为 ? A. ? B. ?

1 ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 ?0,??? 上递增; a 1 1 ? 1 ? ? 1,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0,? ) 上递增, ? ? ,1? 上递减, ?1,??? 上递增; a a ? a ? 1 1 ? ln( ? ) ? 0 ,故此时 f ( x) 在 ?0,??? 上有且只有一个零点. 2a a

且 f (? ) ? ?1 ? C. ? 增; 且 f (1) ?

1 a

1 ? 1? ? 1 ? ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在上 (0,1) 递增, ?1,? ? 上递减, ? ? ,?? ? 上递 a ? a? ? a ? a ? 1 ? 0 ,故此时 f ( x) 在上 ?0,??? 有且只有一个零点. 2 1 a

综上所述: a ? ?1 时, f ( x ) 在 (0,? ) 上递增, ? ?

? 1 ? ,1? 上递减, ?1,??? 上递增; ? a ?

a ? ?1 时, f ( x) 在 ?0,??? 上递增;

? 1? ? 1 ? ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上递增, ?1,? ? 上递减, ? ? ,?? ? 上递增; ? a? ? a ?
a ? 0 时, f ( x) )在 ?0,1? 上递增,在 ?1,??? 上递减;
(2) f (1 ? x) ? f (1 ? x)

? ? 1 a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? 1 a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x) 2 2 ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 0
答案第 13 页,总 14 页

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1 ? x) ? ln(1 ? x), x ? (0,1) 设 g ( x) ? 2 x ? ln(
∴ g ' ( x) ? 2 ?

?1 1 ? 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 1 ? x (1 ? x)(1 ? x)

∴ g ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减 ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 得证.

?a ? 0 ? (3)由(1)知,函数 f ( x) 要有两个零点 x1 , x 2 ,则 ? a f (1) ? ? 1 ? 0 ? 2 ?
∴a ? 2 又? f (2) ? ln 2 ? 2 ? 0

? 不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2
∴ 由 (2) 得 f (2 ? x2 ) ? f (1 ? ( x2 ? 1)) ? f (1 ? ( x2 ? 1)) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 又 因 为

2 ? x2 , x1 ? (0,1) 所以
∴ 2 ? x2 ? x1 ,∴

x1 ? x2 x ? x2 ? 1 ,∴ f ' ( 1 ) ? 0. 2 2 x1 ? x2 ? 1 。还可以用点差法来求) 2

(也可以证 f (2 ? x1 ) ? f ( x2 ) 得到

考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与不等式.

答案第 14 页,总 14 页


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