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浙江省金华一中2010年高考模拟考试卷数学(文科)


浙江省金华一中 2010 年高考模拟考试卷

数学文科
第 I 卷(共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.设 A, B 是非空集合,定义 A × B ={ x x ∈ A U B 且 x A I B },己知 A = x 0 ≤ x ≤ 2

{

}

B = {y y ≥ 0},则 A × B 等于 (

)

A.(2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞) 2. 某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵,为调查树苗的生长情况,采用分层抽样 的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 ( ) A.25 B.30 C.15 D.20 π 1 π 3.已知 sin(α ) = ,则 cos( + α ) 的值等于( ) 4 3 4 A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

1 3

D.-

1 3
)

4. 如果复数

2 bi (其中 i 为虚数单位,b ∈ R ) 的实部和虚部互为相反数, b 等于( 则 1 + 2i 2 2 A. B. C. 2 D.2 3 3
) B. a α , a // γ D. b β , b // γ

5.已知三个平面 α , β , γ ,若 β ⊥ γ ,且 α 与γ 相交但不垂直,

a, b 分别为 α , β 内的直线,则(
A. a α , a ⊥ γ C. b β , b ⊥ γ

6.右图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 S = 720 , 则在判断框中应填入关于 k 的判断条件是 A. k ≥ 6? B. k ≥ 7? C. k ≥ 8? ( )
第6题

D. k ≥ 9?

r r r r r r 7.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,定义 a 与 b 的"向量积": a × b 是一个向量,它的模 r r r r r r r r a × b = a b sin θ ,若 a = 3, 1 , b = 1, 3 ,则 a × b = ( )

(

)

(

)

A. 3 8.过双曲线

B.2

C. 2 3

D.4

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的右顶点作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条 a2 b2

渐近线的交点分别为 B,C.若 AB = A. 2 B. 3

uuu r

r 1 uuu BC ,则双曲线的离心率是 2
D. 10

(

)

C. 5

9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,令 Tn =

S1 + S 2 + L + S n ,称 Tn 为数列 a1,a2,…,an 的"理 n
)

想数" .已知 a1,a2,…,a500 的 "理想数" 1002, 为 那么数列 3,a1,a2,….a500 的 "理想数" 为( A.1005 B.1003 C.1002 D.999 10.函数 f ( x ) = ln x

1 2 x 的图象大致是( 2 y

)

y O

y

y

x

O

x

O

x

O

x
D.

A.

B.

C.

第 II 卷(共 100 分)
小题, 二,填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 填空题: 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 下图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 ▲
3

12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的体积为_______cm . 2

3
正视图 1 1 2 俯视图 13.观察等式
1 C5 + C55 = 6, 1 5 9 C9 + C9 + C9 + 27 + 23 , 1 5 9 13 C13 + C13 + C13 + C13 = 211 25 ,

3
2 侧视图

第 11 题 第 12 题

1 5 9 13 17 C17 + C17 + C17 + C17 + C17 = 215 + 27 ,

…… 由以等式推测到一个一般的结论: 对于 n ∈ N , C4 n +1 + C4 n +1 + C4 n +1 + L + C4 n +1 = _______________.
* 1 5 9 4 n +1

uuu r PA uuu r uuu r uuu r 14.已知△AOB,点 P 在直线 AB 上,且满足 OP = tOB + 2t PA, t ∈ R ,则 uuu =_________ r PB
x ≥ 0 y ≥ 0 15.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是 y + x ≤ s y + 2x ≤ 4

.

16. 在一次招聘口试中,每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答,答对其中 2 道题即为及格,若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题,则这位考生能够及格的概率 为 .

17.设函数 f ( x ), g ( x ) 的定义域分别为 D f , D g ,且 D f

D


g

,若 x ∈ D f , g ( x ) = f ( x ) ,则

x 函数 g ( x ) 为 f ( x ) 在 D g 上的一个延拓函数.已知 f ( x) = 2 ( x < 0) , g ( x)是f ( x)在R上 的

一个延拓函数,且 g (x) 是奇函数,则 g (x) =________________ 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三,解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题( 18.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) =

x x x 1 3 sin cos + cos 2 + . 4 4 4 2

(1)求 f (x ) 的周期和及其图象的对称中心; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,满足 ( 2a c ) cos B = b cos C , 求函 数 f ( A) 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中正视图与俯视图均为矩形,侧视图是等腰 直角三角形,M,G 分别是 AB,DF 的中点. (1)求证:CM⊥平面 FDM; (2)在线段 AD 上确定一点 P,使得 GP‖平面 FMC,并给出证明; (3 求直线 DM 与平面 ABEF 所成角.

a 2a 正视图

a a 侧视图

F

E

G
D

a 2a 俯视图

C
M B

A

20.(本小题满分 14 分) 数列 {bn } n ∈ N 是递增的等比数列,且 b1 + b3 = 5, b1b3 = 4 . (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 a n = log 2 bn + 3 ,求证数列 {a n } 是等差数列; (Ⅲ)若 a1 + a 2 + a 3 + …… + a m ≤ a 46 ,求 m 的最大值.
2

(

)

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) = ax 3, g ( x ) = bx (1)试求 b,c 所满足的关系式; (2)若 b=0,方程 f ( x ) = g ( x )在(0, ∞) 有唯一解,求 a 的取值范围; +
1

1 + cx 2 ( a , b ∈ R )且 g ( ) g (1) = f ( 0). 2

22. (本题满分 15 分) 已知点 B(0, , C (0,3) , 1) 点 直线 PB ,PC 都是圆 ( x 1) 2 + y 2 = 1 的切线( P 点不在 y 轴上). 以原点为顶点,且焦点在 x 轴上的抛物线 C 恰好过点 P. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点(1,0)作直线 l 与抛物线 C 相交于 M, N 两点,问是否存在定点 R,使 RM RN 为常数?若存在,求出点 R 的坐标及常数;若不存在,请说明理由.

参考答案
一,选择题 1.A 2.D 二,填空题 11.600 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10.B 15. 0 < s ≤ 2 或 s ≥ 4

12. 2 3

13. 24 n 1 + ( 1) n 22 n 1

14.

1 2

16.

7 10

2 x , x > 0, 17. 0, x = 0, x 2 , x < 0.
3 x 1 x x π sin + cos + 1 = sin( + ) + 1 ,∴ f (x ) 的周期为 4π . 2 2 2 2 2 6

三,解答题 18. 解:(1)由 f ( x ) = 由 sin( +

x π π π ) = 0, 得x = 2kπ ,故 f ( x) 图象的对称中心为 (2kπ ,1), k ∈ Z . 2 6 3 3

(2)由 ( 2a c ) cos B = b cos C , 得 ( 2 sin A sin C ) cos B = sin B cos C ,

∴ 2 sin A cos B cos B sin C = sin B cos C , ∴ 2 sin A cos B = sin( B + C ) ,Q A + B + C = π ,

1 π 2π , B = ,0 < A < . 2 3 3 π A π π 1 A π 3 ∴ < + < , < sin( + ) < 1, 故函数 f ( A) 的取值范围是 ( , 2) . 6 2 6 2 2 2 6 2

∴ sin( B + C ) = sin A, 且 sin A ≠ 0, ∴ cos B =

19. 解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC. (1) ∵FD⊥平面 ABCD, CM平面 ABCD,∴FD⊥CM,在矩形 ABCD 中,CD=2a, AD=a, M 为 AB 中点, DM=CM= 2a, ∴CM⊥DM, ∵FD平面 FDM, DM平面 FDM, ∴CM⊥平面 FDM (2)点 P 在 A 点处. 证明:取 DC 中点 S,连接 AS,GS,GA ∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM ∴面 GSA//面 FMC,而 GA 面 GSA,∴GP//平面 FMC (3)在平面 ADF 上,过 D 作 AF 的垂线,垂足为 H,连 DM,则 DH⊥平面 ABEF,

∠DMH 是 DM 与平面 ABEF 所成的角. 在 RTDHM 中, DH =

2 DH 1 π , DM = 2 ∴ sin ∠DMH = = ,∴ ∠DMH = . 2 DM 2 6

所以 DM 与平面 ABEF 所成的角为 20,解:(Ⅰ)由

π

6

.

b1b3 = 4 2 知 b1 ,b3 是方程 x 5 x + 4 = 0 的两根,注意到 bn +1 > bn 得 b1 + b3 = 5

b1 = 1, b3 = 4 .……2 分
∴ b2 = b1b3 = 4 得 b2 = 2 .
2

∴ b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4 ∴ 等比数列. {bn }的公比为

b2 = 2 ,∴ bn = b1 q n 1 = 2 n 1 b1
n 1

(Ⅱ) a n = log 2 bn + 3 = log 2 2

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列 {a n } 是首相为 3,公差为 1 的等差数列,有

∴ 数列 {a n } 是首相为 3,公差为 1 的等差数列.
2 2

∵ a n +1 a n = [(n + 1) + 2] [n + 2] = 1

+ 3 = n 1 + 3 = n + 2.

a1 + a 2 + a3 + …… + a m = a1 + a1 + a 2 + a3 + …… + a m a1
=3 + m×3 +
2

m(m 1) m2 m × 1 3 = 6 + 3m + ……11 分 2 2 ∴ 6 + 3m + m2 m ≤ 48 ,整理得 m 2 + 5m 84 ≤ 0 , 2
解得

∵ a 46 = 48

12 ≤ m ≤ 7 .

∴ m 的最大值是 7.
21.(1)由 g ( ) g (1) = f (0) ,得 (2b + 4c) (b + c) = 3 ∴b,c 所满足的关系式为 b c 1 = 0 . (2)由 b = 0 , b c 1 = 0 ,可得 c = 1 . 方程 f ( x) = g ( x) ,即 ax 3 = x 2 ,可化为 a = 3 x 1 x 3 , 令 x 1 = t ,则由题意可得, a = 3t t 3 在 (0,+∞) 上有唯一解, 令 h(t ) = 3t t 3 (t > 0) ,由 h ′(t ) = 3 3t 2 = 0 ,可得 t = 1 , 当 0 < t < 1 时,由 h ′(t ) > 0 ,可知 h(t ) 是增函数; 当 t > 1 时,由 h ′(t ) < 0 ,可知 h(t ) 是减函数.故当 t = 1 时, h(t ) 取极大值 2 . O x y

1 2

由函数 h(t ) 的图象可知,当 a = 2 或 a ≤ 0 时,方程 f ( x) = g ( x) 有且仅有一个正实数解. 故所求 a 的取值范围是 {a | a = 2 或 a ≤ 0} . 22.解:(1)设直线 PC 的方程为: y = kx 3, 由

| k 3| k +1
2

= 1得 k =

4 4 ,所以 PC 的方程为 y = x 3. 3 3


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