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知能优化训练:人教A版 选修2-1第2章2.2.2第一课时知能优化训练


1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴端点坐标为 . 的长轴端点坐标为( ) A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) .- , .- , C.(- 6,0),( 6,0) D.(0,- 6),(0, 6) .- , , , . ,- , , y2 2 解析: 解析:选 D.椭圆方程化为标准式 6 +x =1, 椭圆方程化为标准式 , 2 轴上. ∴a =6,且焦点在 y 轴上. , 长轴端点坐标为(0,- ∴长轴端点坐标为 ,- 6),(0, 6). , , . x2 y2 1 2.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为 的值为( ) . 2 m 2 3 B. A. 3 2 8 2 C. D. 3 3 解析: 轴上, 解析:选 B.∵焦点在 x 轴上, ∵ ∴a= 2,b= m,c= a2-b2, = , = , = 2-m 1 - c ∴c= 2-m,e=a= = - , = 2 = 2, 3 ∴m=2. = 3.椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5,则此椭圆的标准方程 . ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 , 是________. . 解析: 解析:设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,焦距为 2c,则 b=1,a2+b2=( 5)2,即 , , , = , 2 a =4. x2 y2 所以椭圆的标准方程是 4 +y2=1 或 4 +x2=1. x2 y2 答案: 答案: 4 +y2=1 或 4 +x2=1 x2 y2 4.已知 A 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一个动点,直线 AB、AC 分别过焦点 F1、F2, 上的一个动点, . 上的一个动点 、 a b 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,求该椭圆的 且与椭圆交于 B、C 两点,若当 AC 垂直于 x 轴时,恰好有 、 两点, ∶ = ∶ , 离心率. 离心率. 解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m, = , = , + = ∴2a=|AF1|+|AF2|=4m. = 又在 Rt△AF1F2 中, △ |F1F2|= |AF1|2-|AF2|2=2 2m. = 2c |F1F2| 2 2m 2 ∴e=2a= 2a = 4m = 2 . = 一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是 的长轴长、短轴长、离心率依次是( . A.5、3、0.8 B.10、6、0.8 . 、 、 . 、 、 C.5、3、0.6 D.10、6、0.6 . 、 、 . 、 、 x2 y2 解析: 解析:选 B.把椭圆的方程写成标准形式为 9 +25=1, 把椭圆的方程写成标准形式为 , 知 a=5,b=3,c=4. = , = , = c ∴2a=10,2b=6,a=0.8. = = ,

)

2.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则 . , , 该椭圆的标准方程是( ) 该椭圆的标准方程是 x2 y2 x2 y2 A. + =1 或 + =1 16 9 9 16 x2 y2 y2 x2 B. + =1 或 + =1 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. + =1 或 + =1 25 16 25 16 D.椭圆的方程无法确定 . 解析: 解析:选 C.a=5 且 c=3,∴b=4, = = , = , y2 x2 x2 y2 ∴椭圆方程为25+16=1 或25+16=1. 3.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是 .椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的 , , 方程是( ) 方程是 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 或 + =1 B. + =1 4 16 16 4 4 16 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 16 20 x2 y2 解析: 轴上, 故 解析:选 C.由已知 a=4,b=2,椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆方程是16+ 4 =1.故 由已知 = , = , 选 C. x2 y2 4.椭圆 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( . 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是 ) 25 9 A.8,2 B.5,4 . . C.5,1 D.9,1 . . 解析: 解析:选 D.因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9,最小距离为 a-c=1. 因为 = , = , + = , - = 5.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心 .若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点, 率为( ) 率为 2 3 A. B. 2 2 5 6 D. C. 3 3 解析: 如图所示, 为正方形, 解析:选 A.如图所示,四边形 B1F2B2F1 为正方形,则△B2OF2 如图所示 为等腰直角三角形, 为等腰直角三角形, c 2 ∴ a= 2 . 6.(2010 年高考广东卷 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该 年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列, 若一个椭圆长轴的长度、 . 椭圆的离心率是( ) 椭圆的离心率是 3 4 A. B. 5 5 2 1 C. D. 5 5 2 解析: 解析:选 B.由题意知 2b=a+c,又 b =a2-c2, 由题意知 = + , ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. = ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. - ∴ - 3 2 =-1(舍去 ∴5e +2e-3=0.∴e=5或 e=- 舍去 . - = ∴ = =- 舍去). 二、填空题 7.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 5的椭圆方程是 有相同焦点, 的椭圆方程是________. . 的椭圆方程是 . 解析:依题意得椭圆的焦点坐标为(0, , ,- 解析:依题意得椭圆的焦点坐标为 , 5),(0,- 5),故 c= 5,又 2b=4 5,所以 , = , = , b=2 5,a2=b2+c2=25. , =

x2 y2 答案: 答案:20+25=1 8.若椭圆的短轴长为 6,焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1,则椭圆的离心率为 . , , ________. . 解析:依题意, 解析:依题意,得 b=3,a-c=1. = , - = 2 2 2 又 a =b +c ,解得 a=5,c=4, = , = , c 4 ∴椭圆的离心率为 e=a=5. = 4 答案: 答案:5 3 9.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的 的中心在坐标原点, 轴上, . 2 的标准方程为________. 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的标准方程为 , . 解析: 解析:设椭圆的长半轴长为 a,由 2a=12 知 a=6. , = = c 3 又 e=a= 2 ,故 c=3 3,∴b2=a2-c2=36-27=9. = = , - = 2 2 x y ∴椭圆标准方程为 + =1. 36 9 x2 y2 答案: 答案:36+ 9 =1 三、解答题 10.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. .求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 A(2,0); 长轴长是短轴长的 ; (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3. 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形, 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形 解:(1)若椭圆的焦点在 x 轴上, 若椭圆的焦点在 轴上, x2 y2 设方程为a2+b2=1(a>b>0), , 4 , = , ∵椭圆过点 A(2,0),∴a2=1,a=2, , x2 ∵2a=2·2b,∴b=1,∴方程为 4 +y2=1. = , = , 轴上, 若椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), , 2 0 4 ∵椭圆过点 A(2,0),∴a2+b2=1, , , y2 x2 ∴b=2,2a=2·2b,∴a=4,∴方程为16+ 4 =1. = = , = , x2 y2 x2 综上所述,椭圆方程为 +y2=1 或 + =1. 综上所述, 4 16 4 = = ?a=2 3 ?a=2c .从而 b2=9, (2)由已知? 由已知 ,∴? 从而 , - = ?a-c= 3 = ?c= 3 x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为12+ 9 =1 或 9 +12=1. 11.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的 分别为椭圆的左、右焦点, .如图所示, 2 横坐标, 求椭圆的离心率. 横坐标,其纵坐标等于短半轴长的3,求椭圆的离心率.

解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c.则焦点为 F1(-c,0), 法一:设椭圆的长半轴、短半轴、 、 、 则焦点为 - , F2(c,0), , 2 M 点的坐标为(c, b), 点的坐标为 , , 3 为直角三角形. 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, △ |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 2 2 2 即 4c +9b =|MF1| . 4 2 2 2 而|MF1|+|MF2|= 4c +9b +3b=2a, + = = , 2 2 整理得 3c =3a -2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以a2=9. = 所以 2 2 c2 a -b ∴e2=a2= a2 b2 5 =1-a2=9, - 5 ∴e= 3 . = 法二: 法二:设椭圆方程为 x2 y2 1(a>b>0), , a 2+ b 2= 2 则 M(c,3b). , . c2 4b2 代入椭圆方程, 代入椭圆方程,得a2+9b2=1, , c2 5 所以a2=9, c 5 5 = 所以a= ,即 e= . 3 3 3 12.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴 . + 的离心率 = 2 的长及顶点坐标. 的长及顶点坐标. x2 y2 解:椭圆方程可化为m+ m =1. m+3 + m(m+2) ( + ) m m >0,所以 m> . 因为 m- - = , m+3 m+3 m+3 + + + m 2 2 即 a2=m,b2= , ,c= a -b = = m+3 + 3 由 e= 2 ,得 = m(m+2) ( + ) . m+3 +

m+2 + 3 = ,解得 m=1. = m(m+3) 2 ( + ) y2 1 所以 a=1,b=2,椭圆的标准方程为 x2+ 1 =1. = , = 4 所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, , , 四个顶点的坐标分别为 1 1 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). - , , ,-2 , ,2 .


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