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2013届高三数学(文)一轮复习:3.3 三角函数的性质(广东专用版)


三角函数的性质
一、选择题 π 1.函数 f(x)=tan(x+4)的单调增区间是( )

π π A.(kπ-2,kπ+2),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3 π π 3 C.(kπ-4π,kπ+4),k∈Z D.(kπ-4,kπ+4π),k∈Z 2.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] 5 C.[-4,1] 5 B.[-4,-1] 5 D.[-1,4] ) )

π 3.已知函数 f(x)=sin(x-2)(x∈R),下面结论错误 的是( .. A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0,2]上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

4.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是( 5π A.[-π,- 6 ] π C.[-3,0] 5π π B.[- 6 ,-6]

)

π D.[-6,0]

5. (2012· 珠海模拟)设函数 f(x)=sin πx, 若对任意的 x∈R, 有 f(x1)≤f(x)≤f(x2), 则|x1-x2|的最小值为( A.4 B.2 C.1 二、填空题 6.函数 f(x)=2cos2x+sin 2x 的最小值是________. 7.(2012· 汕头模拟)已知函数 f(x)是以 5 为周期的奇函数,f(-3)=4 且 cos α= ) 1 D.2

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1 2,则 f(4cos 2α)=________. 8.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[-4,4]上是增函数; 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 4 对称. 其中真命题是________. 三、解答题 π 9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的周期为 π, 2π 且图象上一个最低点为 M( 3 ,-2). (1)求 f(x)的解析式; π (2)当 x∈[0,12]时,求 f(x)的最值. π 10.(2011· 天津高考)已知函数 f(x)=tan(2x+4). (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α (2)设 α∈(0,4),若 f(2)=2cos 2α,求 α 的大小. 11.(2012· 深圳调研)已知函数 f(x)=2 3sin x· cos x+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0,2]上的最大值和最小值; 6 π π (2)若 f(x0)=5,x0∈[4,2],求 cos 2x0 的值.

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答案及解析
1. 【解析】 π π π 由 kπ-2<x+4<kπ+2,k∈Z, 3 π 得 kπ-4π<x<kπ+4,k∈Z. 【答案】 2. 【解析】 C 1 5 f(x)=(sin x+2)2-4,

1 1 3 又-2≤sin x+2≤2, 1 9 ∴0≤(sin x+2)2≤4, 5 ∴f(x)的值域为[-4,1]. 【答案】 3. 【解析】 C π ∵y=sin(x-2)=-cos x,

π ∴T=2π,在[0,2]上是增函数,图象关于 y 轴对称. 所以 y=-cos x 为偶函数. 【答案】 4. 【解析】 D π π 5π ∵f(x)=2sin(x-3)的增区间为[2kπ-6,2kπ+ 6 ](k∈Z),

π ∴当 x∈[-π,0]的增区间为[-6,0]. 【答案】 5. 【解析】 D f(x)的最小正周期 T=2,

对 x∈R,恒有 f(x1)≤f(x)≤f(x2), 则 f(x1)=-1,f(x2)=1, ∴|x1-x2|的最小值为半个周期,则|x1-x2|min=1. 【答案】 6. 【解析】 C y=2cos2x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x

π = 2sin(2x+4)+1≥1- 2.

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故 f(x)的最小值是 1- 2. 【答案】 7. 【解析】 1- 2 1 由 cos α=2,得 4cos 2α=4(2cos2α-1)=-2,

∴f(4cos 2α)=f(-2)=f(3)=-f(-3)=-4. 【答案】 8. 【解析】 【答案】 9. 【解】 -4 1 易知 f(x)=2sin 2x,∴③,④正确,①,②错误. ③④ 2π (1)由最低点为 M( 3 ,-2),得 A=2.

2π 2π 由 T=π,得 ω= T = π =2. 2π 由点 M( 3 ,-2)在图象上,得 4π 4π 2sin( 3 +φ)=-2,即 sin( 3 +φ)=-1, 4π π 11π ∴ 3 +φ=2kπ-2,即 φ=2kπ- 6 ,k∈Z. π π 又 φ∈(0,2),∴φ=6, π ∴f(x)=2sin(2x+6). π π π π (2)∵x∈[0,12],∴2x+6∈[6,3], π π ∴当 2x+6=6,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; π π π 当 2x+6=3,即 x=12时,f(x)取得最大值 3. 10. 【解】 π π (1)由 2x+4≠2+kπ,

π kπ 得 x≠8+ 2 .k∈Z. π kπ 所以 f(x)的定义域为{x∈R|x≠8+ 2 ,k∈Z}. π f(x)的最小正周期为2.
-4-

α π (2)由 f(2)=2cos 2α,得 tan(α+4)=2cos 2α,
2 2 π =2(cos α-sin α), cos?α+4?



π sin?α+4?



sin α+cos α =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α

π 因为 α∈(0,4),所以 sin α+cos α≠0. 1 1 因此(cos α-sin α)2=2,即 sin 2α=2. π π 由 α∈(0,4),得 2α∈(0,2), π π ∴2α=6,α=12. 11. 【解】 (1)f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

π = 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6). 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 因为 f(x)=2sin(2x+6)在区间[0,6]上为增函数,在区间[6,2]上为减函数, π π 又 f(0)=1,f(6)=2,f(2)=-1, π 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的最大值为 2,最小值为-1. π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin(2x0+6). 6 又因为 f(x0)=5, π 3 所以 sin(2x0+6)=5. π π π 2π 7π 由 x0∈[4,2],得 2x0+6∈[ 3 , 6 ]. π 从而 cos(2x0+6)=- π 4 1-sin2?2x0+6?=-5.

π π 所以 cos 2x0=cos[(2x0+6)-6]
-5-

π π π π 3-4 3 =cos(2x0+6)cos 6+sin(2x0+6)sin 6= 10 .

-6-


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