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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:曲线与方程 1


曲线与方程
(时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 1.与两圆 x2+y2=1 及 x2+y2-8x+12=0 都外切的圆的圆心在( A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上

)

2.[2013· 北京朝阳区一模] 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率 e=

6 ,其 2

焦点到渐近线的距离为 1,则此双曲线的方程为( ) x2 2 x2 y2 A. -y =1 B. - =1 2 2 3 x2 2 C. -y =1 D.x2-y2=1 4 3.已知点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,则 P 点的轨迹方程是( ) A.8x2+8y2+2x-4y-5=0 B.8x2+8y2-2x-4y-5=0 C.8x2+8y2+2x+4y-5=0 D.8x2+8y2-2x+4y-5=0 4.[2013· 皖北协作区联考] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,AM 1 = ,点 P 是平面 ABCD 内的动点,且点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到 M 的距离的平方差为 3 8 ,则 P 点的轨迹是________. 9

能力提升 5.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹 方程是( ) x2 y2 A. + =1 16 9 x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 3 4 → 6.[2013· 德州模拟] 已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN → → → |·|MP|+MN·NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程是( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 2 → → x 7. 已知两定点 A(1, 1), B(-1, -1), 动点 P(x, y)满足PA· PB= , 则点 P 的轨迹是( ) 2 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线 8.[2013· 南平适应性测试] 已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆 C 与直线 MN 切于 点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( )

y2 A.x2- =1(x<-1) 8 2 y B.x2- =1(x>1) 8 2 y C.x2+ =1(x>0) 8 y2 2 D.x - =1(x>1) 10 9.已知 A (0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,椭圆的另 一个焦点 F 的轨迹方程是( ) x2 2 A.y - =1(y≤-1) 48 x2 B.y2- =1 48 x2 C.y2- =-1 48 y2 D.x2- =1 48 → → 10.已知直线 l:2x+4y+3=0,P 为 l 上的动点,O 为坐标原点.若 2OQ=QP,则点 Q 的轨迹方程是________. x2 y2 11.F1,F2 为椭圆 + =1 的左,右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的 4 3 外角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________. 12.设过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 AB 中点为 M,则点 M 的轨迹方程是________. 13.[2013· 北京卷] 曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常 数 a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2 其中,所有正确结论的序号是________. 14.(10 分)[2013· 安徽卷] 如图 K52-1,设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y → → → =x2 上运动, 点 Q 满足BQ=λQA, 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M, 点 P 满足QM → =λMP,求点 P 的轨迹方程.

图 K52-1

x2 y2 15.(13 分)[2013· 茂名二模] 如图 K52-2,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别 a b 1 a2 是 F1(-c,0),F2(c,0),离心率为 ,椭圆上的动点 P 到直线 l:x= 的最小距离为 2,延长 2 c → → → F2P 至 Q 使得|F2Q|=2a,线段 F1Q 上存在异于 F1 的点 T 满足PT·TF1=0. (1)求椭圆的方程; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; a2 (3)求证:过直线 l:x= 上任意一点必可以作两条直线与 T 的轨迹 C 相切,并且过两切 c 点的直线经过定点.

图 K52-2

难点突破 16.(12 分)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-y-2 2=0 相切. (1)求圆的标准方程; → → → (2)设点 A 为圆上一动点,AN⊥x 轴于 N,若动点 Q 满足OQ=mOA+(1-m)ON(其中 m 为 非零常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2; 3 (3)在(2)的结论下,当 m= 时,得到曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B,D 两 2 点,求△OBD 面积的最大值.

【基础热身】 1.B [解析] 圆 x2+y2-8x+12=0 的圆心为(4,0),半径为 2,动圆的圆心到(4,0)减去 到(0,0)的距离等于 1,由此可知,动圆的圆心在双曲线的一支上. x2 y2 2.A [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的焦距为 2c,双曲线的渐近 a b c 6 |bc| 线方程为 bx± ay=0.根据已知 = , 2 =1,解得 b=1,a= 2,c= 3,故所求的双曲 a 2 a +b2 x2 线方程是 -y2=1. 2 3.A [解析] 设 P 点的坐标为(x,y),则 (x-1)2+(y+2)2=3 x2+y2,整理,得 8x +8y2+2x-4y-5=0.
2

4.抛物线 [解析] 如图.以点 A 为坐标原点建立直角坐标系,设 P(x,y),则 P 到 A1D1 1 2 1 2 8 x- ? +y2,根据已知得 1+x2-?x- ? -y2= ,化 的距离为 1+x2,P 到点 M 的距离为 ? ? 3? ? 3? 9 2 简即得 y2= x,故点 P 的轨迹为抛物线. 3 【能力提升】 5.C [解析] 由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|+|PF2|=4,故动点 P 的轨迹是以 x2 y2 定点 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为 4 的椭圆,故其方程为 + =1. 4 3 → → → → 6.B [解析] 根据|MN|·|MP|+MN·NP=0 得 4 (x+2)2+y2+4(x-2)=0,即(x+2)2 2 2 2 +y =(x-2) ,即 y =-8x. → → 7.B [解析] 点 P(x,y),则PA=(1-x,1-y),PB=(-1-x,-1-y). → → 所以PA·PB=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2. x2 x2 y2 由已知 x2+y2-2= ,即 + =1,所以点 P 的轨迹为椭圆,故选 B. 2 4 2 8.B [解析] 如图,由切线长定理知|AM|=|MB|,|PD|=|PA|,|DN|=|NB|,所以|PM|-|PN| =|PA|+|AM|-|PD|-|DN|=|MB|-|NB|=2,由双曲线的定义知点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点, 实轴长为 2 的双曲线的右支(除去点 B).

9.A [解析] 由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2. 故 F 点的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7,a=1,b2=48,

x2 所以轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). 48 → → 10. 2x+4y+1=0 [解析] 设点 Q 的坐标为(x, y), 点 P 的坐标为(x1, y1). 根据 2OQ=QP 得 2(x,y)=(x1-x,y1-y), ?x1=3x, ? 即? ?y1=3y. ? ∵点 P 在直线 l 上,∴2x1+4y1+3=0,把 x1=3x,y1=3y 代入上式并化简,得 2x+4y+ 1=0,为所求轨迹方程. 1 11.x2+y2=4 [解析] 延长 F1D 与 F2A 交于 B,连接 DO,可知|DO|= |F2B|=2,∴动点 2 2 2 D 的轨迹方程为 x +y =4. 12.y2=2(x-1) [解析] F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则 x1+x2=2x,y1 2 +y2=2y,y2 1=4x1,y2=4x2,后两式相减并将前两式代入得(y1-y2)y=2(x1-x2),当 x1≠x2 时, y1-y2 y1-y2 y ×y=2,又 A,B,M,F 四点共线, = ,代入得 y2=2(x-1),当 x1=x2 x1-x2 x1-x2 x-1 时,M(1,0),也适合这个方程,即 y2=2(x-1)是所求的轨迹方程. 13.②③ [解析] ①曲线 C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么 a =1,与条件不符;②曲线 C 关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF2|=a2,关 a2 于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|=a2; ③三角形的面积 S△F1F2P2≤ , 很显然 S△F1F2P 2 2 1 1 a = |PF1||PF2|sin∠F1PF2≤ |PF1||PF2|= .所以②③正确. 2 2 2 → → 14.解:由QM=λMP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2-y0=λ(y-x2),则 y0=(1+λ)x2-λy.① ?x1=(1+λ)x-λ, ? → → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1.y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得? ? ?y1=(1+λ)y0-λ. ② ? ?x1=(1+λ)x-λ, 将①式代入②式,消去 y0,得? ③ 2 2 ?y1=(1+λ) x -λ(1+λ)y-λ. ? 2 又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x2 1,再将③式代入 y1=x1,得 2 2 2 (1+λ) x -λ(1+λ)y-λ=((1+λ)x-λ) , (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ =(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2, 2λ (1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. c 1 = , a 2 15.解:(1)依题意得 2 a -a=2, c ? ?c=1, x2 y2 2 2 2 ? 解得 ∴b =a -c =3,所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ? ?a=2,

? ? ?

(2)方法一:设点 T 的坐标为(x,y). 当 P,T 重合时,点 T 坐标为(2,0)和点(-2,0), → → → → 当 P,T 不重合时,由PT·TF1=0,得PT⊥TF1. → → → → → → 由|F2Q|=2a=4 及椭圆的定义,|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|, 所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线,T 为线段 F1Q 的中点. → 1 → 在△QF1F2 中,|OT|= |F2Q|=a=2, 2 所以有 x2+y2=4.

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x2+y2=4. 方法二:设点 T 的坐标为(x,y). 当 P,T 重合时,点 T 坐标为(2,0)和点(-2,0), → → → → 当 P,T 不重合时,由PT·TF1=0,得PT⊥TF1. → → → → → → 由|F2Q|=2a=4 及椭圆的定义,|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|, 所以 PT 为线段 F1Q 的垂直平分线,T 为线段 F1Q 的中点. x′-1 x= , 2 设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 y′ y= , 2 ? ?x′=2x+1, 因此? ① ?y′=2y. ? → 由|F2Q|=2a=4,得(x′-1)2+y′2=16,② 将①代入②,可得 x2+y2=4. 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=4.③ a2 (3)直线 l:x= =4 与 x2+y2=4 相离, c 过直线上任意一点 M(4,t)可作圆 x2+y2=4 的两条切线 ME,MF, 所以 OE⊥ME,OF⊥MF, 所以 O,E,M,F 四点都在以 OM 为直径的圆上, t 2 t 2 y- ? =4+? ? .④ 其方程(x-2)2+? ? 2? ?2? EF 为两圆的公共弦,③-④得 EF 的方程为 4x+ty-4=0, 显然无论 t 为何值,直线 EF 经过定点(1,0). 【难点突破】 |-2 2| 16.解:(1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 距离为 d,则 d= 2 =2,圆 C1 的方程为 1 +12 x2+y2=4. (2)设动点 Q (x,y),A(x0,y0),AN⊥x 轴于 N,N(x0,0), ?x=x0, ? 由题意,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)(x0,0),所以? ? ?y=my0, x =x, ? ?0 1 ? x2 y2 2 2 ? x , y 即? 将 A? m ?代入 x +y =4,得 + 2=1. 1 4 4m ? ?y0=my, 3 x2 y2 (3)m= 时,曲线 C 方程为 + =1,设直线 l 的方程为 y=-x+b, 2 4 3 x2 y2 设直线 l 与椭圆 + =1 交点为 B(x1,y1),D(x2,y2), 4 3 ? ?y=-x+b, 联立方程? 2 得 7x2-8bx+4b2-12=0, 2 ?3x +4y =12, ? 4b2-12 8b 因为 Δ=48(7-b2)>0,解得 b2<7,且 x1+x2= ,x1x2= . 7 7 |b| 4 6 ∵点 O 到直线 l 的距离 d= ,BD= 2 (x1+x2)2-4x1x2= 7-b2,∴S△OBD= 7 2 1 |b| 4 6 2 3 2 7 · · 7-b2= b (7-b2)≤ 3当且仅当 b2=7-b2 即 b2= <7 时取到最大值, 2 7 7 2 2

? ? ?

∴△OBD 面积的最大值为 3.


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