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2013届高三数学(文)一轮复习:3.4 三角函数的图象及三角函数模型的应用(广东专用版)


三角函数的图形及应用
一、选择题 π 1.(2012· 阳江模拟)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移2个单位,若所得 图象与原图象重合,则 ω 的值不可能 等于( ... A.4 B.6 C .8 ) D.12

4π 2.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( 3 ,0)中心对称,那么|φ|的最小值 为( ) π π π π A.6 B.4 C.3 D.2 π 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度,再把所得 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π π A.y=sin(2x-10) B.y=sin(2x-5) 1 π 1 π C.y=sin(2x-10) D.y=sin(2x-20) π π 4.(2011· 课标全国卷)设函数 f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4),则( π π A.y=f(x)在(0,2)单调递增,其图象关于直线 x=4对称 π π B.y=f(x)在(0,2)单调递增,其图象关于直线 x=2对称 π π C.y=f(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线 x=4对称 π π D.y=f(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线 x=2对称 π 5.(2011· 辽宁高考)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),y=f(x)的部分 π 图象如图 3-4-6 所示,则 f(24)=( ) ) )

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图 3-4-6 A.2+ 3 二、填空题 π 6. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤2)的图象如图 3-4-7 所示, 则点(ω, φ)的坐标是________. B. 3 3 C. 3 D.2- 3

图 3-4-7 π π 7.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=4所得线段长为4,则 π f(4)=________. π 8. 设定义在区间(0, 2)上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则 线段 P1P2 的长为________. 三、解答题

图 3-4-8 π 9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2,x∈R)的图象的一部分如 图 3-4-8 所示:
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(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)图象的对称轴方程. 10.已知函数 f(x)= cos2x-sin2x 1 1 , g ( x ) = sin 2 x - 2 2 4.

(1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样的变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合. 11.(2012· 惠州模拟)已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω> π 0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2. π (1)求 f(8)的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区 间.

答案及解析
1. 【解析】 πω f(x)平移后,得 y=sin(ωx+φ+ 2 )的图象,

πω 依题意 2 =2kπ,∴ω=4k(k∈Z),因此 ω=6 不满足. 【答案】 2. 【解析】 B 4π 2π 由题意得 3cos(2× 3 +φ)=0,∴cos( 3 +φ)=0,

2π π π 即 3 +φ=kπ+2,φ=kπ-6,k∈Z. π 取 k=0 得|φ|的最小值为6. 【答案】 A

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3. 【解析】

【答案】 4. 【解析】

C π π ∵f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4)

π π = 2sin(2x+4+4)= 2cos 2x, π 当 0<x<2时,0<2x<π, π 故 f(x)= 2cos 2x 在(0,2)单调递减. π π 又当 x=2时, 2cos(2×2)=- 2, π 因此 x=2是 f(x)图象的一条对称轴. 【答案】 5. 【解析】 D π 3 π π 由图形知,T= =2( π- )= ,∴ω=2, ω 8 8 2

π π 又 x=8是渐近线,且|φ|<2, π π π ∴2×8+φ=kπ+2,k∈Z,∴φ=4, 又 f(0)=1,从而可求 A=1, π ∴f(x)=tan(2x+4), π π π π 因此 f(24)=tan(12+4)=tan 3= 3. 【答案】 6. 【解析】 ∴ω=2, 3π 3π 将点( 8 ,0)代入 y=sin(2x+φ),得 sin( 4 +φ)=0, B 7π 3π 2π 由图象可得周期 T=2×( 8 - 8 )=π= ω ,

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3π π π 令 4 +φ=π,得 φ=4.∴(ω,φ)的坐标为(2,4). 【答案】 7. 【解析】 π (2,4) π π 依题意ω=4,∴ω=4,f(x)=tan 4x,

π 所以 f(4)=tan π=0. 【答案】 8. 【解析】 0 π 设点 P 的横坐标为 x0(0<x0<2),

则 P1(x0,0),P2(x0,sin x0), 依题设,6cos x0=5tan x0,即 6cos2x0-5sin x0=0. ∴(3sin x0-2)(2sin x0+3)=0. 2 2 因此 sin x0=3,故|P1P2|=3. 【答案】 9. 【解】 2 3 (1)由题图知 A=2,T=8,

2π π ∵T= ω =8,∴ω=4. π 又图象经过点(1,2),∴2sin(4+φ)=2. π π π π ∵|φ|<2,∴φ=4,∴f(x)=2sin(4x+4). π π π (2)令4x+4=kπ+2,k∈Z. ∴x=4k+1(k∈Z). 故 f(x)图象的对称轴 x=4k+1(k∈Z). 10. 【解】 1 1 π (1)f(x)=2cos 2x=2sin(2x+2)

1 π =2sin 2(x+4), π 所以要得到 f(x)的图象只需要把 g(x)的图象向左平移4个单位长度,再将所得

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1 的图象向上平移4个单位长度. 1 1 1 (2)h(x)=f(x)-g(x)=2cos 2x-2sin 2x+4 2 π 1 = 2 cos(2x+4)+4, π 2 1 当 2x+4=2kπ+π(k∈Z)时,h(x)取最小值- 2 +4. 3π h(x)取得最小值时,x 的集合为{x|x=kπ+ 8 ,k∈Z}. 11. 【解】 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

3 1 =2[ 2 sin(ωx+φ)-2cos(ωx+φ)] π =2sin(ωx+φ-6). π ∵y=2sin(ωx+φ-6)是偶函数, π π ∴φ-6=kπ+2,k∈Z. π π 又 0<φ<π,∴φ-6=2. π ∴f(x)=2sin(ωx+2)=2cos ωx. 2π π 由题意得 ω =2· 2,所以 ω=2. 故 f(x)=2cos 2x. π π 因此 f(8)=2cos 4= 2. π π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f(x- )的图象,再将所得图象上各 6 6 x π 点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f(4-6)的图象. x π x π 所以 g(x)=f(4-6)=2cos[2(4-6)] x π =2cos(2-3).

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x π 当 2kπ≤2-3≤2kπ+π(k∈Z), 2π 8π 即 4kπ+ 3 ≤x≤4kπ+ 3 (k∈Z)时,g(x)单调递减. 2π 8π 因此 g(x)的递减区间为[4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ](k∈Z).

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