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2011北师大版九年级数学中考模拟试题及答案


c2011

北师大版九年级数学中考模拟试题及答案

1 3

一. 选择题 (3×10=30 分) 1. ? 的绝对值是( A. -3 B.
1 3

C. 3

D. ?

1 3

2. 根据国务院抗震救灾总指挥部权威发布:截止 2008 年 6 月 13 日 12 时, 全国共接受国内外社会各界捐赠款物总计 455.02 亿元. 455.02 亿元用科学 记数法表示为( ) A. 4.5502×10 8 元 B. 4.5502×10 9 元 C. 4.5502×10 10 元 D. 4.5502×10 11 元 3. 下列各式运算正确的是( ) ?1 3 A.2 = ? 2 B.2 =6 C. 2 2 ? 2 3 ? 2 6 D. (23 ) 2 ? 2 6 4.下列各式计算正确的是( ) A. 2x 2 ? xy ? x ? 2x( x ? y ? 1) B. ? xy 2 ? 2xy ? 3 y ? ? y( xy ? 2x ? 3) C. x( x ? y) ? y( x ? y) ? ( x ? y) 2 D. x 2 ? x ? 3 ? x( x ? 1) ? 3 5.若关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? 5x ? m2 ? 3m ? 2 ? 0 的常数项为 0,则 m 的值等于 A.1 B.2 C.1 或 2 D.0

6.如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC,CD,DA 运动至点

A 停止.设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象
如图 2 所示,则△ABC 的面积是
D C P A 图 1 B y

A.10 B.16 C.18

O

4 图 2

9

x

C. y3 ? y1 ? y2

D. y1 ? y3 ? y2

8. 如图所示, 是⊙O 的直径, =DE, 与 BD 交于点 C, AB AD AE 则图中与∠BCE 相等的角有
D E

A.2 个 C.4 个

B.3 个 D.5 个
A

C

O

B

9.如图,扇形 OAB 是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格 的边长为 1 cm,则这个圆锥的底面半径为 A. 2 2 cm B. 2 cm
A B
第 9 题图

O

C.

2 cm 2
1 2

D. cm 10.如图,两个高度相等且底面直径之比为 1∶2 的圆柱形水杯, 甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙 杯,则乙杯中的液面与图中点 P 的距离是 A. 4 3cm B. 6cm C. 8cm D.10cm
第 10 题图

二. 填空题(3×6=18 分) 11.不等式组 ?
2

?3x ? 2 ? 2( x ? 1), 的解集为 x ? 8 ? 4x ?1 ?
2

. .

1 1 12.若 ? x ? ? ? 9 ,则 ? x ? ? 的值为 ? ? ? ? ? x? ? x?

13.已知抛物线 y ? x 2 ? 2x ? 3 ,若点 P ( ?2 ,5)与点 Q 关于该抛物线的对称轴对 称,则点 Q 的坐标是 . 14.如图,在 ? ABC 中,EF 为 ? ABC 的中位线,D为 BC 边上一点(不与 B、C 重 合),AD 与 EF 交于点O,连接 DE、DF,要使四边形 AEDF 为平行四边形,需 要添加条件 .(只添加一个条件)

15.如图:矩形纸片 ABCD,AB=2,点 E 在 BC 上,且 AE=EC.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落在 AC 上, 则 AC 的长是 .
A D

B

E 第 15 题图

C

16.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低, 取决于弦的长度, 绷得一样紧的几根弦, 如果长度的比能够表示成整数的比, 发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是 15:12:10,把它们绷得 一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声 do、mi、so.研 究 15、12、10 这三个数的倒数发现: 1 ? 1 ? 1 ? 1 .我们称 15、12、10 这
12 15 10 12

三个数为一组调和数.现有一组调和数: x 、5、3( x>5) ,则 x 的值 是 . 三. 答题(共 9 小题,计 72 分)X k b1.com 新 课标第一网 17. 分)先化简,再求值: 1 ? x ? ? x ? (5 ?
1? x ? 2x ? ? ,其中 x ? 2 1? x ?

18. 分)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°, AB=2,BC=3,CD=1,E 是 (6 AD 中点. 求证:CE⊥BE. C D
E

A

B

19. 分)四川汶川大地震牵动了我市三百多万人民的心,全市广大中学生纷 (7 纷伸出了援助之手,为抗震救灾踊跃捐款。我市某中学 1 班的学生对本校学生 自愿捐款活动进行抽样调查,得到了一组学生捐款情况的数据。下图是根据这 组数据绘制的统计图,图中从左到右各长方形的高度之比为 3:4:5:8:6,又 知此次调查中捐款 25 元和 30 元的学生一共 42 人。 (1)他们一共调查了多少人?

(2)这组数据的众数、中位数各是多少? (3)若该校共有 1560 名学生,估计全校学生捐款多少元?

20. 分)某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废 (8 墟一侧地面上两探测点 A、B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是 30°和 60°(如图) ,试确定生命所在点 C 的深度. (结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ? 1.41, 3 ? 1.73 )

21.(8 分) 商场为了促销,推出两种促销方式: 方式①:所有商品打 7.5 折销售: 方式②:一次购物满 200 元送 60 元现金. (1)杨老师要购买标价为 628 元和 788 元的商品各一件,现有四种购买方 案: 方案一:628 元和 788 元的商品均按促销方式①购买; 方案二:628 元的商品按促销方式①购买,788 元的商品按促销方式②购 买; 方案三:628 元的商品按促销方式②购买,788 元的商品按促销方式①购 买; 方案四:628 元和 788 元的商品均按促销方式②购买. 你给杨老师提出的最合理购买方案是 . (2)通过计算下表中标价在 600 元到 800 元之间商品的付款金额,你总结出 商 品 的 购 买 规 律 是 .

22.(8 分)一口袋中装有四根长度分别为 1cm,3cm,4cm 和 5cm 的细木棒,小 明手中有一根长度为 3cm 的细木棒,现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中 的细木棒放在一起,回答下列问题: (1)求这三根细木棒能构成三角形的概率; (2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率; (3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率. 23.(8 分)如图,梯形 ABCD 内接于⊙ O , BC ∥ AD , AC 与 BD 相交于点 E , 在不添加任何辅助线的情况下: (1) 图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中一对全等三角 形进行证明. (2) 若 BD 平分∠ ADC ,请找出图中与△ ABE 相似的所有三角形.

24. (10 分)在直角坐标平面中,O 为坐标原点, 二次函数 y ? ? x2 ? (k ? 1) x ? 4 的图象与 y 轴交于点 A, x 轴的负半轴交于点 B, 与 且 S?OAB ? 6 . (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)求此二次函数的解析式; (3)如果点 P 在 x 轴上,且△ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 25.(12 分) 在△ABC 中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M 是 AB 上的动 点(不与 A,B 重合) ,过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N.以 MN 为直径作⊙O, 并在⊙O 内作内接矩形 AMPN.令 AM=x. (1)用含 x 的代数式表示△MNP 的面积 S; (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切? (3)在动点 M 的运动过程中,记△MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
A M O P B 图 1 C B 图 D 2 C B P 图 3 N M O C A N M O A

N

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中考试题答案及说明 一. 选择题 1 2 3 4 B C D C 二. 填空题
11. ? 4 ? x ? 3 15. 4 三. 16. 15 12.5

5 B

6 A

7 B

8 D

9 C

10 B

13. (4,5) 14.BD=CD

OB=OF DE∥AC 等

解答题 17.

1? x ? 2x ? 1 ? x x ? x2 ? 2x ??x ? ? ……………………………………1 ?? 1? x ? 1? x ? 1? x 1? x 1 ? x ? x?x ? 1? = …………………………………………………………2 分 ? 1? x 1? x 1? x 1? x ? = ………………………………………………………3 分 1 ? x ? x ( x ? 1) 1 =? . ……………………………………………………………………4 分 x 1 1 2 ?? 当 x ? 2 时,原式= ? ? ? . ……………………………………5 分 x 2 2 18 证明: 过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F.……………… 1 分 C D ∵ 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90° , ∴ ∠D=∠A=∠CFA=90° . ∴四边形 AFCD 是矩形. E AD=CF, BF=AB-AF=1.……………………………… 2 分 在 Rt△BCF 中, CF2=BC2-BF2=8, B A F ∴ CF= 2 2 .

∴ AD=CF= 2 2 .………………………………………………………………3 分 ∵ E 是 AD 中点,



DE=AE=

1 AD= 2

2 .……………………………………………………4 分

在 Rt△ABE 和 Rt△DEC 中, EB2=AE2+AB2=6, EC2= DE2+CD2=3, EB2+ EC2=9=BC2. ∴ ∠CEB=90°.…………………………………………………………… 6 分 ∴ 19. (1)设捐款 30 元的有 6 x 人,则 8 x +6x=42,得 x=3。----------------------2 则捐款人数共有 3 x+4 x+5 x+8 x+6 x=78(人) 。 (2)由图象可知:众数为 25(元) ;由于本组数据的个数为 78,按大小顺序排列处于中间位置的两个数 都是 25(元) ,故中位数为 25(元) 。----------------------------------4 (3)全校共捐款 (9×10+12×15+15×20+24×25+18×30)×

1560 =34200(元) 。---------6 78

21. (1)方案三······································· 分 ··········· ·········· ··········· ······ 2 ·········· ··········· ··········· ······ (2)正确填写下表 ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 5 ·········· ··········· ··········· ··

规律:商品标价接近 600 元的按促销方式②购买,商品标价接近 800 元的按促销方式①购买.或商品 标价大于 600 元且小于 720 元按促销方式②购买,商品标价大于 720 元且小于 800 元按促销方式①购买 ··········· ··········· ·········· ··········· ······ 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ····· 8 ·········· ··········· ··········· ·········· ······ (其它表述正确,或能将两种购物方式抽象概括成一次函数并能正确解答的均可给分)

23..解: (1)图中共有三对全等三角形: ①△ ADB ≌△ DAC ②△ ABE ≌△ DCE ③△ ABC ≌△ DCB ·········· 分 ·········· ········· 3 选择①△ ADB ≌△ DAC 证明 在⊙ O 中,∠ ABD =∠ DCA ,∠ BCA =∠ BDA ∵ BC ∥ AD 又∵ AD ? AD ∴△ ADB ≌△ DAC ················5 分 ··········· ····· ·········· ····· ∴∠ BCA =∠ CAD ∴∠ CAD =∠ BDA

(2)图中与△ ABE 相似的三角形有: △ DCE ,△ DBA , △ ACD . ········· 8 分 ········· ·········

24

解 :( 1 ) 由 解 析 式 可 知 , 点

A

的 坐 标 为 ( 0 ,

4) …………………………………1 分 . ∵ S ?OAB ?

1 ? BO ? 4 ? 6 ,∴BO=3. 2
………………………………………………………2分

∴点 B 的坐标为(-3,0) .

(2)把点 B 的坐标(-3,0)代入 y ? ? x 2 ? (k ? 1) x ? 4 ,得

?(?3)2 ? (k ?1) ? (?3) ? 4 ? 0 . 解得 k ? 1 ? ? .
∴所求二次函数的解析式为 y ? ? x 2 ? (3)因为△ABP 是等腰三角形,所以 ①当 AB=AP 时,点 P 的坐标为(3,0) .

5 3

…………………4 分

5 x?4. 3

…………………………………5 分

…………………………………………6 分 …………………………8 分

②当 AB=BP 时,点 P 的坐标为(2,0)或(-8,0) .

③当 AP=BP 时,设点 P 的坐标为(x,0) .根据题意,得 x 2 ? 4 2 ? x ? 3 . 解得 x ?

7 7 .∴点 P 的坐标为( ,0) ……………………………………10 分 . 6 6 7 ,0) . 6 A
A O P B N

综上所述,点 P 的坐标为(3,0)(2,0)(-8,0)( 、 、 、

题 25.
解: (1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △AMN ∽ △ABC.
M

D1
5

O
4 1 3 2
CE
1

x AN ∴ AM ? AN ,即 ? . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. ……………2 分 4
∴ S = S ?MNP ? S ?AMN

F B

C

1 3 3 ? ? x ? x ? x2 . (0< x <4) 图 1 …………3 分 2 4 8

(2)如图 2,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB2 ? AC 2 =5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
A M O B Q N

1 MN. 2

x MN ∴ AM ? MN ,即 ? . 4 5 AB BC
5 x, 4 5 ∴ OD ? x . 8
∴ MN ?

D 图 2

C

…………………5 分

过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ ? OD ?

5 x. 8

在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ∽△BCA. ∴ BM ? QM . BC AC

5 5? x 8 ? 25 x , AB ? BM ? MA ? 25 x ? x ? 4 . ∴ BM ? 24 3 24
∴ x= ∴
96 . 49

96 时 , ⊙ O 与 直 线 B C 相 切 . … … … … … … … … 7 49 (3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. A ∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △AMO ∽ △ABP. M N ∴ AM ? AO ? 1 . AM=MB=2. O AB AP 2 故以下分两种情况讨论:Xkb1.c om 新课标第 一网 C B P 3 2 ① 当 0< x ≤2 时, y ? SΔPMN ? x . 图 3 8



x =



∴ 当 x =2 时, y最大 ?

3 2 3 ? 2 ? . ……………………………8 分 8 2
A

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x. 又∵ MN∥BC, M ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. ∴ PF ? x ? ? 4 ? x ? ? 2x ? 4 . 又△PEF ∽ △ACB.
2

O

N

B

E P

F

C

图 4 S ? PF ? ? ?PEF . ? S ?ABC ? AB ? 3 2 S ?PEF ? ? x ? 2 ? . ∴ … … … … … … … … … … … … … 2 3 2 3 9 2 x ? ? x ? 2? ? ? x2 ? 6x ? 6 . … … … … 1 y ? S?MNP ? S?PEF = 8 2 8

∴ ?

9 0

分 分

当 2< x <4 时, y ? ? ∴ 当x ?

9 2 9? 8? x ? 6x ? 6 ? ? ? x ? ? ? 2 . 8 8? 3?

2

8 时,满足 2< x <4, y最大 ? 2 . 3 8 综上所述,当 x ? 时, y 值最大,最大值是 2. ………12 分 3
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