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吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(文)答案


吉林市普通中学 2012—2013 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题 1 A 2 C 3 A 4 D 5 A 6 A 7 A 8 B 9 B 10 D 11 B 12 c

二、填空题 13. 5 14.

1 (0, ) 3

15. 1-

? 4

16. ( ,?) +

1 4

三、解答题 17 解: (1)?sin C ? 2sin A ,根据正弦定理,

AB BC ? , sin C sin A

(2 分) (4 分)

? AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 4 5 sin A
cos A ?

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 5 2 AB ? AC ? 5

(6 分)

5 于是 sin A ? 1 ? cos A = 5 ,
2

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

4 3 , cos 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? 5 5

(8 分)

sin(2 A ?
18 解:

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?

2 10

(10 分)

(1)设数列 {a n } 的公比为 q (q ? 0)

(1 分)

? a3 ? 1 是 a1和a4 的等差中项
? 2(a3 ? 1) ? a1 ? a4
又因为 a1 =2 所以 an ? 2 解得 q =2
n

(6 分)

(2)? bn ? log 2 an ? log 2 2 ? n ?
n

1 1 1 1 ? ?( ? ) bn ? bn ?1 n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 ? Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n n ?1

? 1?

1 n ?1

?

n n ?1

(12 分)

19 解:(1)证明: Q 四边形是平行四边形,? ?ACB ? ?DAC ? 90 ,
0

Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又 AC ? DA , AC I PA ? A ,

? DA ? 平面 PAC .

(4 分)

(2) PD 的中点为 G , 在平面 PAD 内作 GH ? PA 于 H , GH 平行且等于 则 连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形, (6 分)

1 AD , 2

? GC ∥ FH , Q FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ? CG ∥平面 PAF 。
(3)设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于 (8 分)

1 1 PA ? , 2 2

Q PA ? 平面 ABCD ,? GS ? 平面 ABCD ,
1 1 ? VA?CDG ? VG ? ACD ? SV ACDGS ? . 3 12
20 解: 因为频率和为 1 所以 b ? 0.18, 因为频率=频数/样本容量 所以 c ? 100, a ? 15, (1)每位学生成绩被抽取的机会均等 (1 分) (3 分) (5 分) (12 分)

p?

100 1 ? 800 8

(2) 在第六、七、八组共有 30 个样本,用分层抽样方法抽取 6 名学生的成绩,每个 被抽取的概率为

1 1 。第七组被抽取的样本数为 ?10 ? 2 。 5 5

将第六组、第八组抽取的样本用 a,b,c,d 表示,第七组抽出的样本用 E,F 表示。 抽取 2 个的方法有 ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF, 共 15 种。 至少含 E 或 F 的取法有 9 种,概率为

3 5

(9 分)

(3)75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18 +125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4 估计平均分为 110.4 分 21 解: (1)因为 f 所以,
'

(12 分)

? x? ? 3 ?

a ( x ? 0) x

(1 分)

a ? 0时 f ' ? x ? ? 0 恒成立。因此 a ? 0时f ( x)在(0, ??)上递增;f ( x)无极值点. (3 分)

a a a ? 0时 在 x ? (0, )上,f ' ( x) ? 0; x ? ( , ??)上f ' ( x) ? 0 3 3 a a a 因此 f ( x)在(0, )上递减, , ??)上递增;f ( x)的极小值点是 x ? ( 3 3 3 a a a (2)由(1)可知,在 x ? 处 f ( x) 存在极小值. A( , a ? a ln ) 3 3 3 a a ? a ln 3 =3 ? 3( ln a ? ln 3) ,由条件 k ? 3 ? a ∴ OA斜率为 a 3
∴ 3 ? a=3 ? 3( ln a ? ln 3)即a ? 3ln a ? ln 27 ? 0 (7 分)

(5 分)

(注:此处也可以用换元法,转证 t-lnt=0(t=a/3)无解。采分相同) 设 h(a) ? a ? 3ln a ? ln 27 ( a ? 0 ) (8 分)

? h' (a) ? 1 ?

3 ? 0 时 a ? 3 ,且当 a ? (0,3) 时 h' (a) ? 0 , h(a ) 递减; a
'

当 a ? (3, ??) 时 h (a) ? 0 , h( a ) 递增;

(10 分)

? h(a) 在 a ? 3 处取得最小值, h(3) ? 3 ; h(a) ? a ? 3ln a ? ln 27 无零点.
即 a ? 3ln a ? ln 27 ? 0 无解, 所以不存在 a 使过点 A( x0 , f ( x0 )) 与原点的直线斜率 k ? 3 ? a 22 解: (1)由已知, e ?
2

(12 分)

1 2 2 所以 3a ? 4b . 4 3 1 9 又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,可以得 2 ? 2 ? 1 2 a 4b
x2 y2 ? ?1 4 3
(4 分)

所以椭圆方程为

(2)当直线 l 有斜率时,设方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 则由 ? x 2 y 2 消去 y,得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
(x (x 设点 A、B、P 的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 2 , y2 )、 0 , y0 )
则 x0 =x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

(7 分)

P ( x0 , y0 ) 在椭圆上,可得
2 2

16k 2 m 2 12m 2 ? ? 1 ,化简得 3 ? 4k 2 =4m2 2 2 2 2 (3 ? 4k ) (3 ? 4k )

需满足 ? ? 48(3 ? 4k ? m ) ? 0
3 ? k2 1 1 3 4 又点 O 到直线 l 的距离为 d= = ? 1? 1? ? 2 2 4(1 ? k 2 ) 4 2 1? k 1? k 当且仅当 k=0 时等号成立。 当直线 l 斜率不存在时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上, 从而 P(-2,0) (2,0) ,直线 l 为 x=1 或 x=-1,所以点 O 到直线 l 的距离为 1. m

所以点 O 到直线 l 的距离的最小值为 3 。
2

(12 分)

(直接写出 P 为短轴端点,并求出距离,但未证明的给 4 分)


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