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2011届高考数学第一轮考点复习测试题23


点到直线的距离公式及其应用
山东 一、知识要点 1. 点 P( x0,y0 ) 到直线 x ? a 的距离 d ? x0 ? a ;点 P( x0,y0 ) 到直线 y ? b 的距离 d ? y0 ? b ; 2. 点 P( x0,y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? 3. 点 P( x0,y0 ) 到直线 l ?:y ? kx ? b 的距离 d ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

孙天军



kx0 ? y0 ? b 1? k 2



4. 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 可 求 得 两 平 行 线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 Ax ? By ? C2 ? 0(C1 ? C2 ) 间 的 距 离
d? C1 ? C2 A2 ? B 2


? C1 ? , 0 ? ,点 P 到直线 l2 ? A ?

推导方法如下:由于 A, B 不同时为零,不妨设 A ? 0 ,令 y ? 0 ,得直线 l1 与 x 轴的交点 P ? ?
? C ? A ? ? 1 ? ? C2 ? A? A2 ? B2 C1 ? C2 A2 ? B2
C1 ? C2

的距离 d ?

?

即为两平行线间的距离;当 A ? 0 时,公式 d ?

A2 ? B 2

也成立.

二、应用指南 要牢记上述公式的特点及应用条件,重点掌握公式 d ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

及其应用;还要会利用所得到的方程求

点的坐标或求直线方程中的参数、 求轨迹方程; 有些问题根据图形的几何性质, 抓住点到直线的距离这一突破口, 就能找到解题捷径.平行线间的距离可转化为点到直线的距离,也可利用平行线间的距离公式求解. 三、解题指导 1. 求距离 ? 3),B(2, ? 1),C (0, 2) ,求 △ ABC 的面积. 例 1 已知 A(?2, 分析:欲求 △ ABC 的面积,可先求出直线 AB 的方程,再求点 C 到直线 AB 的距离. 解:由两点式,可求出直线 AB 的方程为: x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 C 到直线 AB 的距离等于 △ ABC 中 AB 边上的高 h ,
h? 0 ? 2? 2 ? 4 5 ? 8 5

,又 AB ? 2 5 ,? S△ ABC ?

1 AB· h ? 8 . 2

2. 求点的坐标
2 x ? y ? 2 ? 0 上到直线 l ?:x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离为 5 的点的坐标. 例 2 求直线 l:

解:设 P (a,b) 为直线 l 上到 l ? 的距离为 5 的点,
2a ? 2) . 则 2a ? b ? 2 ? 0 , b ? 2a ? 2 ,所以点 P 的坐标为 (a,

由点到直线的距离公式,得 5 ?

a ? 4a ? 4 ? 3 5

,? a ?

12 2 或 . 5 5

? 12 14 ? ? 2 6 ? ? 所求点的坐标为 ? , ? 或 ? , ? ?. ? 5 5 ? ?5 5?

3. 求方程

利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数, 从而求得直线方程; 利用点到直线的距离列方程可求动点的转迹 方程. 例 3 已知正方形的中心为直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 的交点,正方形一边所在的直线为 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求其 他三边所在直线的方程. 解:由方程组 ?
?2 x ? y ? 2 ? 0, 的解, ?x ? y ?1 ? 0

0) . 可得正方形的中心为 ( ?1, 设正方形相邻两边的方程为 3x ? y ? p ? 0 和 x ? 3 y ? q ? 0 . 0) 到四边距离相等,故有 因为中心 ( ?1,
?3 ? p 10 ? ?1 ? 5 10 ? ?1 ? q 10



? p1 ? ?3,p2 ? 9,q1 ? 7,q2 ? ?5 (舍去).

? 其他三边所在直线的方程分别为 3x ? y ? 3 ? 0 , 3x ? y ? 9 ? 0 , x ? 3 y ? 7 ? 0 .
4 3 的距离之比为 3 : 2 ,求点 P ( x,y ) 的轨迹方程. 3

例 4 点 P ( x,y ) 到定点 M ( 3, 0) 的距离与到直线 x ?
( x ? 3) 2 ? y 2 x? 4 3 3 ? 3 . 2

解:由题意,得

化简,得所求的轨迹方程为 x 2 ? 4 y 2 ? 4 .

4. 求最值(创新应用型) 例 5 已知 5 x ? 12 y ? 60 ,求 ( x ? 4)2 ? y 2 的最小值.
0) 到直线 5 x ? 12 y ? 60 的距离 d ? 解: ( x ? 4)2 ? y 2 的最小值是点 P(4,

5 ? 4 ? 0 ? 60 5 ? 12
2 2

?

40 , 13

? 所求最小值为

40 . 13

四、感悟与体验 点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一.解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位 置关系等都与点到直线的距离有关, 应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题. 随着对解析几何的深入学 习,我们对点到直线的距离公式及其应用会有更深更广的认识.


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