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幂函数的性质课件


课题:§2.5 幂函数
教学目标:1.了解幂函数的概念;
1

2.会画函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的图象,并了解它们的变化情况,归 纳出幂函数的图象和性质; 3.通过大量实例,感受幂函数的概念,体会幂函数在客观现实中的应用,学会应用数学 的方法,形成一定的数学应用意识。 教学重点:幂函数的图象和性质。 教学难点:幂函数的图象和性质。 课 型:新授课 课 时: 2 课时 教学过程: 一、 实例剖析 引例: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克,那么她需要支付 y = (2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y = (3)如果正方体的边长为 x,那么正方体的体积 y = ; ; ; km / s。 元;

(4)如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形的边长为 y = (5)如果某人 x s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 y = 问题:以上函数具有什么共同特征? 共同特征:函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量。 二、 新课教学
n

(一)定义:形如 y ? x 的函数叫做幂函数。 (其中 x 为自变量,n 为常数) 探究 1:你能指出几个学过的幂函数的例子吗? 探究 2:如何判断一个函数是幂函数? 函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量。 练习:1、下面几个函数中,哪几个函数是幂函数? (1) y ?

1 2 2 x ; (2) y ? 2 x ; (3) y ? x ? x ; (4) y ? 5 x3 ; (5) y ? 2 。 x2

(二)幂函数性质的探究:
1

对于幂函数 y ? x n ,我们只讨论 n ? 1,2,3,?1, 即: y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x
2 3 ?1 1 2

1 时的情况, 2

探究 3: 结合前面函数作图的方法, 我们应如何画出幂函数的图象并研究幂函数的性质? 作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
1

探究 4:在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x ?1 , y ? x 2 的 图象:

探究 5:性质:

y?x
定义域 值域 奇偶性 R R 奇函数

y ? x2
R

y ? x3
R R 奇函数

y?x

1 2

y ? x ?1
{x | x ? 0} { y | y ? 0}
奇函数

[0,??) [0,??)
非奇非偶

[0,??)
偶函数

[0,??) 增
单调性 增函数 增函数

(??,0) , [0,??) 增 (0,??) 减
( 1 ,1 )
2

(??,0] 减
公共点

幂函数在第一象限的性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) n ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当

n ? 1 时,幂函数的图象上升的快;当 0 ? n ? 1 时,幂函数的图象上升缓慢;
(3) n ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 三、 例题讲解 例 4 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:
3 3

(1) 1.5 5 , 1.7 5 ; (2) 0.7 , 0.6 ; (3) 2.2
? 2 3
1, 5 1,5

, 1 .8

?

2 3


?1.2

(4) 0.15

?1.2

, 0.17



(备用)例 5 1、已知幂函数 y = f (x)的图象经过点(3 , 3 ) ,求这个函数的解析式。 2、如果函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) ? xm 是幂函数,求实数 m 的值。 四、 五、 六、 课堂练习:P124 第 3 题 归纳小结: 作业布置:书面作业:P124 习题 2

3


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