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第九节 函数模型及应用


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第九节 函数模型及应用

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教材研读
1.几种常见的函数模型

函数模型
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
k

函数解析式
f(x)=ax+b(a、 x b为常数,a≠0) f(x)=? +b(k,b为常数且k≠0) f(x)=ax +bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=ba +c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=ax +b(a,b为常数,a≠0)
n x 2

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2.三种增长型函数模型的图象与性质 函数性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 ④ 越来越快 ⑤ 越来越慢 相对平稳 y=a (a>1) ① 增函数
x

y=logax(a>1) ② 增函数

y=x (α>0) ③ 增函数

α

图象的变化 随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表现为 随α值变化而不
为与⑥ y轴 平行 与⑦ x轴 平行 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<x <a
α x



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3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:

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1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是( x y 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

)

A.一次函数模型 C.指数函数模型
? 答案

B.幂函数模型 D.对数函数模型

A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值
cc

的增量是均匀的,故为一次函数模型.

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2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速 度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t之间的关系,其中不正确的有? ( )

?

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

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? 答案

A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面

的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化规律上反映出来,① 应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的变化规律是越来越慢的,正确; ③中的变化规律是先快后慢再快,正确;④中的变化规律是先慢后快再慢,

也正确,故只有①是错误的.选A.

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3.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细 菌由1个繁殖成4 096个需经过? ( A.12小时 B.4小时 C.3小时
? 答案

) D.2小时

C 设需经过t小时,由题意知 24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3. cc ) D.108元

4.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相 对进货价),则该家具的进货价是? ( A.118元
? 答案

B.105元

C.106元

D 设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%· a,解得a=108,
cc

故选D.

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5.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的 面积最大,则隔墙的长度为 .

? 答案 ? 解析

3 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2
cc

+18,∴当x=3时,S取最大值.

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考点突破
?
一次函数与二次函数模型 典例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的一段抛 物线.已知跳水板AB的长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和 空中姿态优美,训练时跳水运动员应在离起跳点A的水平距离为h m(h≥1) 的一处达到距水面最大高度4 m.规定:以C为原点,CD所在直线为横轴,BC 所在直线为纵轴建立直角坐标系. (1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;

(2)当跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h
的取值范围.

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? 解析

(1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1,

设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4, 当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4, 将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1, 所以当h=1时,跳水曲线所在的抛物线方程为y=-(x-3)2+4.

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(2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1. 由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.
2 令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-? [ x -(2+ h )] +4, 2

1 h

1 h 1 2 且f(6)=-? (4h ) +4≤0. 2 h 4 解得1≤h≤? . 3
2 则f(5)=-? (3h ) +4≥0, 2

? ? 故所求h的取值范围是? ?1, ? . 4 ? 3?

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对于实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据已

知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解决,解题
中一定要注意函数的定义域.

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1-1 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行 技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知 该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理
1 2

量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=? x2-200x+80 000,且每处理一吨
二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品.该单位每月能否获利?如果 能获利,求出每月最大利润;如果不能获利,则需要国家每月至少补贴多少

元才能使该单位不亏损?

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? 解析 设S=100x-y,

则S=100x- ? 1 x 2 ? 200 x ? 80 000 ?
1 2 1 =-? x +300x-80 000=-? (x-300)2-35 000, 2 2
? ?2 ? ?

?

因为400≤x≤600, 所以当x=400时,S有最大值-40 000. 故该单位不能获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏损.

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?

指数函数、对数函数模型

典例2 某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据 监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如 图所示的曲线.

?
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求 服药一次后治疗疾病有效的时间.

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?

解析

?kt (0 ? t ? 1), ? t ?a ? 1 (1)由题图知y=f(t)= ? ? (t ? 1), ?? 2 ? ?? ?

?

当t=1时,由y=4,得k=4,
1? 由? ? ? =4,得a=3. ?2? (0 ? t ? 1), ?4t      ? 则y=f(t)= ?? 1 ?t ?3 ?? 2 ? (t ? 1). ?? ? ?t ? 1, ? t ?3 ?0 ? t ? 1, ? (2)由y≥0.25得? 或 1 ? ? ? ? ? 0.25, ?4t ? 0.25 ?? 2 ?? ? 1 解得? ≤t≤5. 16

?

1?a

?

?

1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-? =?(小时). 16 16

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一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用
指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域 的影响以及实际问题中的条件限制.

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2-1 里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲 线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录 的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的
? 答案

倍.

6;10 000

? 解析

由题意,A=1 000=103,A0=0.001=10-3,

则M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6. 设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A9,A5, 则lg A9-9=lg A5-5, 得lg A9-lg A5=4,
9 即lg? =4, 9 ∴? =10 000.

cc

A A5

A A5

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?

分段函数模型

典例3 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一 般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米) 的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0; 当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤ x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
? 解析

(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;
cc

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b.

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1 ? a ? ? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得? 解得 ? ? 20 a ? b ? 60, ? ?b ? 200 . ? 3 ?

?

故函数v(x)的表达式为

0 ? x ? 20, ?60,        ? v(x)= ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

?

(2)依题意并由(1)可得
0 ? x ? 20, ?60 x,        f(x)= ? ?1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

?

当0≤x≤20时, f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;
2 10 000 , 1 1 x ? (200 ? x ) ? ? 当20<x≤200时, f(x)=? x(200-x)≤? =? ? 3 3 3? 2 ? ?

?

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当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
10 000 . 3 10 000 综上,当x=100时, f(x)在区间[0,200]上取得最大值? ≈3 333,即当车流 3

所以,当x=100时, f(x)在区间(20,200]上取得最大值?

密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.

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(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建
分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.(2)求函数最值常利用基本不 等式、导数、函数的单调性等.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的 最值,然后比较得最大值、最小值.

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3-1 某旅游景点预计2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万 人)与x的关系近似为p(x)=? x· (x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的
?35 ? 2 x( x ? N *, 且1 ? x ? 6), ? 人均消费额q(x)(单位:元)与x的关系近似是q(x)= ?160 * ? x ( x ? N , 且7 ? x ? 12). ?

1 2

?

(1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式; (2)试问2016年第几个月的旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少 元?
? 解析

(1)当x=1时, f(1)=p(1)=37,
cc

当2≤x≤12,且x∈N*时,

f(x)=p(x)-p(x-1)

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1 1 =? x(x+1)(39-2x)-? (x-1)x(41-2x) 2 2

=-3x2+40x,经验证x=1时也满足此式,所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12). (2)由题意知第x个月的旅游消费总额为
?(?3x 2 ? 40 x)(35 ? 2 x)( x ? N* , 且1 ? x ? 6), ? g(x)= ? 160 2 ( ? 3 x ? 40 x ) ? ( x ? N* , 且7 ? x ? 12), ? x ? ?6 x 3 ? 185 x 2 ? 1 400 x( x ? N *, 且1 ? x ? 6), 即g(x)= ? * ? ?480 x ? 6 400( x ? N , 且7 ? x ? 12).

?

?

①当1≤x≤6,且x∈N*时, g'(x)=18x2-370x+1 400,令g'(x)=0,
140 解得x=5或x=? (舍去). 9

当1≤x≤5时,g'(x)≥0,

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当5<x≤6时,g'(x)<0, ∴g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6 400是减函数,∴g(x)max=g(7)=3 040 (万元).

综上,2016年5月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3 125万元.


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