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求解圆锥曲线离心率的常用方法


求解圆锥曲线离心率的常用方法
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用,它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化, 同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一. 有关求解圆锥曲线离心率的试题, 在历年的 高考中经常出现,本文通过实例介绍几种求解圆锥曲线离心率的常用方法. 一、直接求出 a、c,求解离心率 e 例 1. 已知双曲线 曲线的离心率为( A.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6 x 的准线重合,则该双 a2


3 2
2

B.

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

解:抛物线 y ? ?6 x 的准线是 x ? 即双曲线的右准线 x ?

3 , 2

a2 c2 ?1 3 ? ? , c c 2
3,e ? c 2 3 ? , a 3

则 2c ? 3c ? 2 ? 0 ,解得 c ? 2,a ?
2

故选 D。 二、构造 a、c 的齐次式,解出离心率 e 抓住题目中的等量关系,根据 a,b,c 的关系,构造出关于 a,c(尤其是a,c 的齐次式), 进而得到关于 e 的一元方程,从而解得离心率 e。 例 2.(07 高考浙江) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 ,P a 2 b2


是准线上一点,且 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

解 : 设 P(

? ? a2 a2 a2 , m) , 则 PF1 ? ( ? c, m) , PF2 ? ( ? c, m) , 由 PF1 ? PF2 c c c

得:

a4 4a 2 b 2 a4 ? c 2 ? 2 ,即 ? c 2 ? m 2 ? 0 ,而 PF1 ? PF2 ? 2c ? m ? 4ab ,两式联立得: c2 c c2

4a 2 b 2 ? c 4 ? a 4 , b 转化为 a, c 两边同除以 a 4 有, e 4 ? 4e 2 ? 3 ? 0 ,又 e ? 1得 e ? 3 ,
所以选项为 B 例 3..设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵 a 2 b2

坐标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 | F1F2 |?| F2 P | ,则椭圆的离心率是(



A.

3 ?1 2

B.

1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2
2

a2 解 : F1 (?c,0), F2 (c,0), P( , 3c) , F1 F2 ? 2c , F2 P ? c a4 c 2 ? 4c 2 ? 2a 2 ? 4c 2 即 e ? ? 2 a 2 c
选项为 B

? a2 ? ? ? c? ? ? c ? ? ?

?

3c ? 0

?

2

所以

这种方法也是圆锥曲线中最常用的方法,应该引起重视.在解题中要牢牢抓住试题中的 等量关系,根据等量关系列出 a, c 得式子(有 b 的转化为 a, c ),在经过变形就可以求出

e?

c 这个整体的值,注意椭圆和双曲线中 e 的范围限制. a 三.求离心率 e 的取值范围.

此类题目一般要找题目往往要根据题目给出的条件,建立起有关字母(主要是 a, c ) 的关 系式或不等式,通过处理这些关系式达到解题的目的. 例 4.设 P 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,且 ?F1 PF2 ? 90 ? ,其中 F1 , F2 是椭圆的两 2 a b

个焦点,求椭圆离心率的范围. 解法 1(利用二次方程有实根建立不等式):

PF1 ? PF2 ? 2a ,
? 因为 ?F1 PF2 ? 90 ,所以 PF1
2 2
2

? PF2

2

? F1 F2

2

? 4c 2 ,

所以 PF1 ? PF2 ? 2(a ? c ) ,
2 2 2 所以 PF1 , PF2 是方程 x ? 2ax ? 2(a ? c ) ? 0 的两个根,

所以 ? ? ?4a ? 8c ? 0 ,又 e ? 1,所以解得 e ? ?
2 2

? 2 ? ,1? . 2 ? ? ?

解法 2(利用 x 或 y 的有界性建立不等式) : 设 P(x,y) ,又知 F1 ( ? c,0),F2 (c,0) ,则

F1 P ? ( x ? c,y ) , F2 P ? ( x ? c,y ) 由?F1 PF2 ? 90? ,知 F1 P ? F2 P , 则 F1 P? F2 P ? 0, 即 ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? 0 得x 2 ? y 2 ? c 2
将这个方程与椭圆方程联立,消去 y,可解得
? ? ? ?

?

?

a 2 c 2 ? a 2b 2 a 2 ? b2 但由椭圆范围及?F1 PF2 ? 90? x2 ? 知0 ? x 2 ? a 2 即0 ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? a2 2 2 a ?b

可得c 2 ? b 2 ,即c 2 ? a 2 ? c 2 ,且c 2 ? a 2 c 2 c ? ,且e ? ? 1 a 2 a 2 所以e ?[ ,1) 2 从而得e ?
上面两种方法是我们求离心率范围的实质,要抓住题目中的不等量关系建立起关于 a, c 的不等式,从而求出 e 的范围。 例 5. 直线 l 过双曲线

x2 y2 斜率 k=2。 l 与双曲线的两个交点分别在左、 若 ? ? 1 的右焦点, a2 b2

右两支上,求双曲线离心率的取值范围。

解:(利用几何图像的直观性建立不等式) 若k ?
b b ,则 l 与双曲线只有一个交点;若 k ? ,则 l 与双曲线的两交点均在右 a a

支上,故



例 5. 设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 a 2 b2


P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是(

A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

解: (利用题目本身隐含的关系建立不等式)


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