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2013届高三数学月考试题4A


2013 届高三数学月考试题四(A)
适用地区:新课标地区 考查范围:集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、 统计、统计案例、计数原理(仅理科有) ,概率、随机变量及其分布(仅理科有) 建议使用时间:2012 年 12 月底 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.(2012·哈尔滨第六中学三模)已知全集 U ? R ,集合
x ?1 ? ? M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | ? 0 ? ,则 ?U ? M ? N x?2 ? ?

??(



A. ( ? ? , 2)

B. ( ? ? , 2 ]

C. ( ? 1, 2 ]

D. [ ? 1, 2 )

2. (2012· 大连沈阳联考) 1 中的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单 图 位:元),图中的数字 7 表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )
1 2
0 2 8

0 2 3 3 7 1 2 4 4 8 2 3 8

3
4

A. 7 元

B. 3 7 元

图1 C. 2 7 元
4

D. 2 3 3 7 元 )

1? ? 3.(理) (2012·北京东城二模) ? 2 x ? ? 的展开式中的常数项为( x? ?

A. ? 24

B. ? 6

C. 6
2

D. 2 4
2 的值域是(

(文) (2012·北京海淀二模)函数 y = - x + 1, - 1 ? x A. (- 3, 0 ] B. (- 3,1] C. [0,1]



D. [1, 5)

4.(2012·长春三模)数学文)对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比 较,正确的是( )

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

图2 A. r2 C. r4 A. ? 2
? r4 ? 0 ? r3 ? r1 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

B. r4 D. r2 B.0

? r2 ? 0 ? r1 ? r3 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

5.( 2012·银川一中第三次月考)等差数列 { a n } 满足: a 2 ? a 9 ? a 6 ,则 S 9 =( C.1 D.2



6.( 2012·石家庄二模)从某高中随机选取 5 名高三男生,其 身高和体重的数据如下表所示:

? 根据上表可得回归直线方程 ? ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的 y

体重为 ( ) B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg )

A.70.09 kg

1 7.[2012·天津卷]设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 ? ? 8.(理)(2012·石家庄二模) x ? 1 ? ? 的展开式中的常数项为( x ? ?
6



A.-60

B.-50

C.50

D.60

(文) (2012·大连沈阳联考)若利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个不等的随机数 a 和 b , 则方程 x ? 2 2 a ? A.
1 4 2b x 1 2
? ?

有不等实数根的概率为( C.
3 4

) D.
2 5

B.

9.(2012·郑州质检)函数 y ? 2 sin ? x +
π 8 π 4

π? ?π ? ? co s ? - x ? 图象的一个对称轴方程是( 4? ?4 ?

)

A. x =

B. x =

C. x =

π 2

D. x = π

? x ? y ? 0, ? 10. (2012·石家庄二模)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 3 x ? y ( ? x ? 0, ?



A.有最小值-8,最大值 0

B.有最小值-4,最大值 0

C.有最小值-4,无最大值

D.有最大值-4,无最小值

11.(2012·琼海模拟)一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰 在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为( )
π 12

A.

B. 1 ?

π 12

C. 1 ?

π 6
2

D. 1 ?

π 3

12.(2012·北京东城二模)设 M ? x 0 , y 0 ? 为抛物线 C : y ? 8 x 上一点, F 为抛物线 C 的 焦点,若以 F 为圆心, F M 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x 0 的取值范围是( A. (2 , ? ? ) B. (4 , ? ? ) ) C. (0 , 2 ) D. (0 , 4 ) 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13. (2012·银川一中第三次月考)已知 a =(2,3),b =(-1,5),则 a+3 b=_________. 14. [2012`辽宁卷]一个几何体的三视图如图 3 所示,则该几何体的表面积为______________.

图3 15.(2012·北京东城二模)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据 的频率之 比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1 且前三组数据的频数之和等于 2 7 ,则 n 的值为 .

16.(理) (2012·琼海模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这 个数为“伞数”.现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数, 其中“伞数”有 个.

(文)(2012·石家庄二模)在区间[1,3]上随机选取一个数 x , e x (e 为自然对数的底数)的 值介于 e 到 e2 之间的概率为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) (2012· 琼海模拟) 如图 4 平面四边形 ABCD 中, AB=AD= a , BC=CD=BD, ? BAD ? ? . 设 (1) 将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数; 的最大值及此时 ? 值. (2)求四边形 ABCD 面积 S

图4

18.(本小题满分 12 分)
S (2012· 北京海淀二模) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 公差 d ? 0 , 5 = 4 a 3 + 6 ,

且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求数列 ?
? 1 ? ? 的前 n 项和公式. ? Sn ?

19.(本小题满分 12 分) (理)[2012· 课标全国卷]某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每 枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学 期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由. (文) [2012·课标全国卷]某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数 ①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平 均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 20.(本小题满分 12 分) (理)[2012·广东卷]如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面

ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

图5

(文)[2012·广东卷]如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD 1 =AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

图5

21.(本小题满分 12 分) 1 [2012·安徽卷]设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0). ax (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2 22.(本小题满分 12 分) x2 y2 (理)[2012·广东卷]在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b 2 e= ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由. x2 y2 (文)[2012·广东卷]在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 a b 为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.

试卷类型:A 2013 届高三原创月考试题四答案 数学
1. B 解析】 【 因为集合 N ? ? x | x ? 2 或 x ? ? 1? , M ? ? x | x ? 1? , 又 所以 M ? N ? ? x | x ? 2? . 所以 ?U ? M ? N ? ? U

?M

? N

? ? ? ?? , 2? .

2. C【解析】树干表示的是十位数字,故 7 表示为 27. 3.(理)D【解析】展开式中的通项为 T r ? 1 ? C 4 ? 2 x ?
r 4?r r ? 1? 4?r r 4?2r ,令 ? ? ? ? ? ? 1? 2 C 4 x ? x? r

4 ? 2 r ? 0 ,得 r ? 2 .所以展开式中的常数项为 T 3 ? ? ? 1 ? 2 C 4 ? 2 4 .
2 2 2

(文)B【解析】因为函数 y ? ? x ? 1 在区间 ? ? 1, 0 ? 上单调递增,在区间 ? 0, 2 ? 上单调递增减,
2 2 且 f ? ? 1 ? ? 0, f ? 0 ? ? 1, f ? 2 ? ? ? 3 ,所以函数 y ? ? x ? 1 在区间 ? ? 1, 2 ? 上的值域是 ? ? 3,1 ? .

故选 B. 4.A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 . 5. B 【解析】因为 a 2 ? a 9 ? a 6 ①,又由等差中项公式得 a 2 ? a 9 ? a 5 ? a 6 ②,由①②得
9 2

a 5 ? 0 ,所以 S 9 ?

? a1 ? a 9 ? ?

9 2

? 2 a5 ? 9 a5 ? 0 . ? 170 , y ? 63 ? 66 ? 70 ? 72 ? 74 5 ? 6 9 .因

6. B【解析】 x ?

160 ? 165 ? 170 ? 175 ? 180 5

? 得? y 为回归直线过点 ? x , y ? , 所以将点(170,69)代入回归直线方程 ? ? 0.56 x ? a , a ? ? 2 6 .2 , y 故回归方程为 ? ? 0 .5 6 x ? 2 6 .2 .代入 x ? 172 cm,得其体重为 70.12kg.

1 1 1 7. A【解析】当 x>2时,2x2+x-1>0 成立;但当 2x2+x-1>0 时,x>2或 x<-1.所以“x>2” 是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件. 8.(理)D【解析】展开式的通项为 T r ? 1
2 2 2

? ?1 2 ? r ? r r r 2 ? xC 6 ? ? ,令 1 ? ? 0 , ? ? C 6 ? ? 1? 2 x 2 x ? ? r

r

r

解得 r ? 2 .故常数项为 C 6 ? ? 1 ? 2 ? 6 0 .

(文)B【解析】方程可化为

x ? 2 2 a x ? 2b ? 0
2

,因其有两个不等实数根,所以

? ? 8 a ? 8 b ? 0, 即 b ? a ,以 a 为

横轴,b 为纵轴,建立平面直角坐标系如下图所示,b ? a 区域即为阴影区域.故由几何概型 得 , 所 求 事 件 的 概 率 为
1 P ? S阴 影 S 正 方 形 OACB ? 2 ?1?1 1?1 ?

1 2

.

9.

B【解析】因为

π? π? ? ?π ? ? y ? 2 sin ? x ? ? co s ? ? x ? ? 2 sin ? x ? ? co s 4? 4? ? ?4 ? ?

?π ? π ?? π? 2 ? ? ? ? x ? ? ? ? 2 sin ? x ? ? ? 4 ?? 4? ? ?2 ?

π π π? ? 1 ? co s ? 2 x ? ? ? 1 ? sin 2 x ,当 x = 时, y 取得最大值,故一个对称轴方程是 x = . 4 4 2? ?

10. C【解析】对应的可行域如图.当直线 z ? 3 x ? y 过点 时,z 有最小值-4;由图 A ? 0, 4 ? 可知 z 没有最大值.

11. B【解析】作出满足题意的区域如下图,则由几何概型得, 所求概率为
P ? S阴 影 S三角形 1 ? 2 1 2 1 2 ? 3? 4

? 3? 4 ?

? π ?1

2

?1?

π 12

.

12. A【解析】若以 F 为圆心, 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 .根 FM FM ? 4 据抛物线的定义知,点 M 到准线的距离大于 4,即 x ? 2 ? 4 ,所以 x ? 2 . 0 0 13. ? ? 1,18 ? 【解析】a+3b ? ? 2, 3 ? ? ? ? 3,1 5 ? ? ? ? 1,1 8 ? .

14. 38【解析】由三视图可知,该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中 长方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方 体 的 表 面 积 加 圆 柱 的 侧 面 积 再 减 去 圆 柱 的 底 面 积 , 即 为
2 (3 ? 4 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1) ? 2 π ? 1 ? 1 ? 2 π ? 1 ? 3 8 .
2

15. 6 0 【解析】根据已知条件知 ? 2 ? 3 ? 4 ? :2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 1 ? ? 2 7 : n ,所以 n ? 60 . ? 16.(理)40【解析】六个数中任取 3 个数共有 C 6 ? 2 0 种情况,每一种情况下将最大的一
3

个数放在中间,又可以组 成两个不同的三位数,所以符合“伞数”的情况共有 20 ? 2 ? 40 种. (文)
1 2

【解析】数 x 的可取值长度为 2 ,满足 e 在 e 和 e 之间的 x 的取值长度为 1,故
1 2

x

2

所求事件的概率为

.

17.
2



:
2


2

1





ABD
2


2

,















B D ? A B ? A D ? 2 A B ? A D cos ? ? 2 a ? 2 a cos ? .

由已知可得△BCD 为正三角形, 所以 S ? B C D ? 又 S ? ABD ?
1 2
1 2 a sin ? ?
2

3 4

BD ?
2

3 4

? 2a

2

? 2 a co s ?
2

??

3a 2

2

? 1 ? co s ? ? .

a Sin ? .
2
2

故四边形 ABCD 面积 S ?

3a 2

? 1 ? co s ? ?

?

π? ? 2 2 a ? a sin ? ? ? ? ? 0< ? < π ? . 2 3? ? 3
π 3 = π 2

(2)当 ? ?
?

,即 ? =

5π 6

时,四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值,

且 S m ax ? ? ?

? 2 ? 1? a . ? ? 2 ? 3

18.解:(1)因为 S 5 = 4 a 3 + 6 , 所以 5 a1 +
5 创4 2 d = 4 ( a1 + 2 d ) + 6 .

①??????????????3 分

因为 a1 , a 3 , a 9 成等比数列,
2 所以 a1 ( a1 + 8 d ) = ( a1 + 2 d ) .



??????????????5 分

由①②及 d ? 0 ,可得 a1 = 2, d = 2 . ??????????????6 分 所以 a n = 2 n . ??????????????7 分

(2)由 a n = 2 n ,可知 S n =

(2 + 2n) 2

n

= n + n.
2

??????????????9 分 所以
1 Sn = 1 n ( n + 1) = 1 n 1 n+ 1



??????????????11 分

所以

1 S1

+

1 S2

+ ?+

1 S n- 1

+

1 Sn

=

1 1

-

1 2

+

1 2

-

1 3

+ ?+

1 n- 1

-

1 n

+

1 n

-

1 n+ 1

= 1-

1 n+ 1

=

n n+ 1



??????????????13 分

所以数列 ?

? 1 ? n . ? 的前 n 项和为 n+ 1 ? Sn ?

19.解: (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80; 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. ? ?10n-80,n<16, 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y=? (n∈N). ?80,n≥16 ? (2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的 方 差 为 DY = (55 - 76.4)2×0.1 + (65 - 76.4)2×0.2 + (75 - 76.4)2×0.16 + (85 - 76.4)2×0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16

枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. (文) 解: (1)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85. 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 ?10n-85,n<17, ? y=? (n∈N). ? ?85,n≥17 (2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润 为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的日利润的平均数为 1 (55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. 100 ②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝.故当天的利润不少于 75 元的概率为 p=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7. PC⊥平面BDE ? ? ??PC⊥BD. ? BD?平面BDE?

20.解: (1) 证明:

PA⊥平面ABCD ? ? ??PA⊥BD. BD?平面ABCD? ? 因为 PA∩PC=P,PA?平面 PAC,PC?平面 PAC, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)法一:如图所示,记 BD 与 AC 的交点为 F,连接 EF.

由 PC⊥平面 BDE,BE?平面 BDE,EF?平面 BDE, 所以 PC⊥BE,PC⊥EF. 即∠BEF 为二面角 B-PC-A 的平面角. 由(1)可得 BD⊥AC, 所以矩形 ABCD 为正方形,AB=AD=2, AC=BD=2 2,FC=BF= 2. 在 Rt△PAC 中,PA=1,PC= PA2+AC2=3, 即二面角 B-PC-A 的正切值为 3. → → → 法二:以 A 为原点,AB、AD、AP的方向分别作为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐 标系,如图所示.

设 AB=b,则: A(0,0,0),B(b,0,0), C(b,2,0),D(0,2,0), P(0,0,1). → → 于是PC=(b,2,-1),DB=(b,-2,0). → → 因为 PC⊥DB,所以PC· =b2-4=0, DB

→ 从而 b=2.结合(1)可得DB=(2,-2,0)是平面 APC 的法向量. 现设 n=(x,y,z)是平面 BPC 的法向量,则 → → → → n⊥BC,n⊥PC,即 n· =0,n· =0. BC PC → → 因为BC=(0,2,0),PC=(2,2,-1), 所以 2y=0,2x-z=0. 取 x=1,则 z=2,n=(1,0,2). → 令 θ=〈n,DB〉 ,则 → n· DB 2 1 cosθ= = = , → 5· 2 2 10 |n||DB| 3 sinθ= ,tanθ=3. 10 由图可得二面角 B-PC-A 的正切值为 3. (文)解: (1)由于 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD, 故 AB⊥PH. 又因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,故 AD⊥PH. 因为 AB∩AD=A,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD, 所以 PH⊥平面 ABCD.

1 (2)由于 PH⊥平面 ABCD,E 为 PB 的中点,PH=1,故 E 到平面 ABCD 的距离 h= 2 1 PH= . 2 又因为 AB∥CD,AB⊥AD,所以 AD⊥CD. 1 1 2 故 S△BCF= · AD= ×1× 2= . FC· 2 2 2 1 1 2 1 2 因此 VE-BCF= S△BCF· × × = . h= 3 3 2 2 12 (3)证明:过 E 作 EG∥AB 交 PA 于 G,连接 DG. 由于 E 为 PB 的中点,所以 G 为 PA 的中点. 因为 DA=DP,故△DPA 为等腰三角形, 所以 DG⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,DG?平面 PAD, 所以 AB⊥DG. 又因为 AB∩PA=A,AB?平面 PAB,PA?平面 PAB, 所以 DG⊥平面 PAB. 又因为 G E ∥ A B , G E ?
1 2 A B ,D F ∥ A B ,D F ? 1 2 AB ,

所以 G E ∥ D F , G E = D F . 所以四边形 DFEG 为平行四边形,故 DG∥EF. 于是 EF⊥平面 PAB. 21.解:(1)(方法一)由题设和均值不等式可知,

1 f(x)=ax+ +b≥2+b. ax 其中等号成立当且仅当 ax=1. 1 即当 x= 时,f(x)取最小值为 2+b. a 2 2 1 a x -1 (方法二)f(x)的导数 f′(x)=a- 2= . ax ax2 1 1 当 x> 时,f′(x)>0,f(x)在?a,+∞?上递增; ? ? a 1? 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在?0,a?上递减. ? a 1 所以当 x= 时,f(x)取最小值为 2+b. a 1 (2)f′(x)=a- 2. ax 1 3 由题设知,f′(1)=a- = , a 2 1 解得 a=2 或 a=- (不合题意,舍去). 2 1 3 将 a=2 代入 f(1)=a+ +b= ,解得 b=-1, a 2 所以 a=2,b=-1. a2-b2 2 c =a= a , 3 x2 y2 2 2 所以 a =3b ,即椭圆 C 的方程可写为 2+ 2=1. 3b b 设 P(x,y)为椭圆 C 上任意给定的一点, |PQ|2=x2+(y-2)2=-2(y+1)2+6+3b2≤6+3b2,y∈[-b,b]. 由题设存在点 P1 满足|P1Q|=3, 则 9=|P1Q|2≤6+3b2,所以 b≥1. 当 b≥1 时,由于 y=-1∈[-b,b],此时|PQ|2 取得最大值 6+3b2, 所以 6+3b2=9?b2=1,a2=3. x2 故所求椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 (2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大. 假设直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,则圆心 O 到 l 的 距离 1 d= 2 <1. m +n2 m2 因为点 M(m,n)∈C,所以 +n2=1<m2+n2,于是 0<m2≤3. 3 22. (理)解:(1)因为 e= 因为|AB|=2 1-d2=2 m2+n2-1 , m2+n2
2 2

2 |m| 3 m +n -1 1 所以 S△OAB= · d= |AB|· = ≤ 2 2 m2+n2 1+ m2 2 3 2 3 上式等号成立当且仅当 1= m2?m2= ∈(0,3], 3 2 6 2 因此当 m=± ,n=± 时等号成立. 2 2

2 |m| 3 1 = . 2 2 2 1·m 3

6 2? ? 6 2? ? 6 2 , , - , ?和 , ,- 2 2? ?2 2? ? 2 2? ? ?- 6,- 2?,此时对应的诸三角形的面积均达到最大值1. 2 2? ? 2 (文)解:(1)由 C1 的左焦点 F1 的坐标为(-1,0)知 c=1. 因为点 P(0,1)在 C1 上,所以 b=1.于是 a= 2. x2 故 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)由题设 l 同时与 C1 和 C2 相切,设切点分别为 A 和 B,点 B 的坐标为(x0,y0),显 然 x0>0.当点 B 在第一象限时,点 B 的坐标为(x0,2 x0).

所以满足要求的点恰有四个,其坐标分别为 ?

考虑抛物线 C2 在第一象限的方程 y=2 x,x>0. 1 因为 y′= , x 1 x 所以 l 的斜率为 ,从而 l 的方程为:y= + x0. x0 x0 x y= + x0, ① x0 由假设直线 l 与椭圆 C1 相切,因此方程组 2 x +y2=1, ② 2

? ? ?

有唯一解,将①代入②并整理得:(x0+2)x2+4x0x+2x0(x0-1)=0, 所以 Δ=16x2-8(x0+2)x0(x0-1)=-8x0(x0+1)(x0-2)=0. 0 因为 x0>0,所以 x0=2. 2 当 x0=2 时,直线 l 的方程为:y= x+ 2. 2 易验证 l 是 C1 的切线. 2 由对称性,当切点 B 在第四象限时,可得 l 的方程为:y=- x- 2. 2 2 2 综上所述,同时与 C1 和 C2 相切的直线方程为:y= x+ 2,或 y=- x- 2. 2 2


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