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hhhhh高中数学总复习题总结(所有单元总结有答案)高考必备


高中数学总复习题总结(所有单元总结有答案)高考必备

概念
一、选择题

y-3 ? 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? = 1? , ?( x, y ) | x-2 ? ?

P={(x,y)| y≠x+1},那么 CU(M∪P)等于(
A. ? C.(2,3)

).

B.{(2,3)} D.{(x,y)| y=x+1} ). D.0 或 1 或 2 ). D.1 或 2 ). D.2x+7

2.若 A={a,b},B ?A,则集合 B 中元素的个数是( A.0 B.1 C.2

3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( A.1 B.0 C.0 或 1

4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3

5. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如 图所示,则( ). B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)
(第 5 题)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2) 6.设函数 f(x)= ?

? x 2+bx+c,x ≤ 0
>0 ? c,x ).

, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的

方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 B.2

C.3

D.4

7.设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映 射的是( ).

1

A.f:x→y=

1 x 2

1 B.f:x→y= x 3

C.f:x→y=

1 x 4

D.f:x→y=

1 x 6

8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ). C.3 ). D.4

9.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增

B.递增函数 D.先递增再递减 ).

10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 二、填空题 11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 . B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每 平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . . 元.

15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围

16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)= .
2

三、解答题 17.已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围.

18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+

1 ; x2

(2)f(x)=(x-1)

1+x ; 1-x

1+ 1 -x ; (3)f(x)= x-

1 + 1-x 2 . (4)f(x)= x 2-

3

第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题 1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合, 那么 M ? P 就是坐标平面上不含点(2, 3)的所有点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合.

CU(M ? P)={(2,3)}.故选 B.
2.D 解析:∵A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是 ? ,{a},{b},{a,b} 中的某一个,∴选 D. 3.C 解析:由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的,如果 有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1. 5.A 解析: 要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1: 设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2 +2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由

(第 5 题)

f(x)的图象可以知道 f(3)>0,所以 f(3)=3a(3-1)(3-2)=6a>0,即 a>0,所以 b<0.所以正确答案为 A.

4

解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,

a=
2 2 1 1 bx 3 1 - b,c=- b. ∴f(x)=b(- x3+x2- x)=- [(x- )2- ] . 3 2 4 3 3 3 3
由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x-

3 2 1 ) - ]>0,∴b<0. 2 4

3 1 x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- )2- ]>0,∴b<0. 2 4 3 1 x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x- )2- ]<0,∴b<0. 2 4 3 1 x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x- )2- ]>0,∴b<0. 2 4
故 b∈(-∞,0). 6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

b ? ? ? ?2 ,∴ ?b ? 4 . 得? 2 ? ? ?c ? 2 ? 4 ? 2 b ? c ? ? 2 ?
? x 2+4 x+2, ( x≤ 0) ∴f(x)= ? ( x> 0) ?2,
x>0 ? x≤0 由? 得 x=-1 或 x=-2;由 x=2 ? x2+4x+2=x 综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③正确;④不对, 既是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C
5

得 x=2.

1 x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B= 2

解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是 先递减再递增.答案选 C. 10.B 解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.
?x≠3, 2 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? ?x -2x≠3, ?x2-2x≠x. ?

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.

1 1 12.a= ,b= . 9 3
解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a,则△ =(a-1)2-

1 1 4b=0①,将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a= ,b= . 9 3
13.1 760 元. 解析: 设水池底面的长为 x m, 水池的总造价为 y 元, 由已知得水池底面面积为 4 m2., 水池底面的宽为

4 m. x

池底的造价 y1=120×4=480. 池壁的造价 y2=(2×2x+2×2×

4 16 )×80=(4x+ )×80. x x 16 )×80, x

水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+ 即

4 y=480+320(x+ ) x
2 ?? ? 2 ? ?. ? x - + 4 =480+320 ?? ? ? ? ? x ? ? ? ?



x=

2 x

, 即x=2时,y有最小值为 480+320×4=1 760元.

6

14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15.
2-2(t-1)=t2-4t+3,即 f(x) 解析:令 x+1=t,则 x=t-1,因此 f(t)=(t-1)

=x2-4x+3.∴f(x-2)=(x-2)2-4(x-2) +3=x2-8x+15. 15.(-∞,

1 ). 2 1 . 2

解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞), ∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),

∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根.

   0, ?a≠ ∴?    0, ??=9-8a<

解得 a>

9 . 8

②∵A 中只有一个元素, ∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= 当 a≠0 时,令 Δ=9-8a=0,得 a= 个相等的实数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a=

2 ; 3

9 ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两 8

9 时,A 中只有一个元素. 8

③若 A 中至多只有一个元素, 则包括两种情形: A 中有且仅有一个元素; A 是空集. 由 ①②的结果可得 a=0,或 a≥

9 . 8

18.解:根据集合中元素的互异性,有
7

?a ? 2a ?a ? b2 或 ? ? 2 ?b ? b ?b ? 2a
a=0 解得 b=1 或 a=0 b=0 或 a= b=

1 4 1 2
a=

再根据集合中元素的互异性,得

a=0 b=1

1 4 1 2



b=

19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则
3 3 2 2 f(x1)-f(x2)= x1 - x2 =(x1-x2)( x1 +x1x2+ x2 ).

2 2 又 x1 +x1x2+ x2 =(x1+

1 3 2 x2)2+ x2 . 2 4 1 x2 与 x2 不会同时为 0, 2

由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+ 否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 所以
2 2 +x1x2+ x2 >0. x1

因此 f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

f(x)=x3 在 R上是增函数.
20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0},

1 1 1 f(-x)=3(-x)4+ =3x4+ 2 =f(x),∴f(x)=3x4+ 2 是偶函数. 2 x x (-x)
(2)由

1+x ?(1+x)(1-x) ≥0 ≥0 ? ? 解得-1≤x<1. 1-x ?1-x ? 0
1+x 为非奇非 1-x

∴ 函数定义域为 x∈[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1) 偶函数.
1+ 1 -x 定义域为 x=1, (3)f(x)= x-

∴ 函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于原点对称,
1+ 1 -x 为非奇非偶函数. ∴f(x)= x-

8

(4)f(x)= x 2- 1 + 1-x 2 定义域为

x 2-1≥ 0 1-x 2 ≥ 0

? x∈{±1},

∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)= x 2- 1 + 1-x 2 既是奇函数又是偶函数.

高一数学必修 1 第二章单元测试题(A 卷)
班级 姓名 分数
一、选择题: (每小题 5 分,共 30 分) 。 1.若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 ( C、 ) D、

a ?a ? a
m n
x

m n

B、

a m ? a n ? a m?n

?a ?

m n

? a m?n
( )

1 ? a n ? a 0? n
2.指数函数 y=a 的图像经过点(2,16)则 a 的值是

1 1 B. C.2 D.4 4 2 log 8 9 3.式子 的值为 ( ) log 2 3 2 3 (A) (B) (C) 2 (D) 3 3 2 x 4.已知 f (10 ) ? x ,则 f ?100? = ( )
A. A、100 B、 10
100

C、 lg10

D、2

5.已知 0<a<1, loga m ? loga n ? 0 ,则(

) . D.n<m<1


A.1<n<m
A. b ? c ? a

B.1<m<n
B. b ? a ? c

C.m<n<1

0.3 0.2 6.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 , c ? 0.3 ,则 a, b, c 三者的大小关系是(

C. a ? b ? c

D. c ? b ? a

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分).
7.若 logx 4 ? 2 ,则 x ? 8. lg x ? lg 4 ? lg 3, 则 x = 9.函数 f ( x ) ? lg(3x ? 2) ? 2 恒过定点 10.已知 2
2 x ?7

. . 。 。

? 2 x?3 ,

则 x 的取值范围为

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分). 11. (16 分)计算: (1) log3 63 ? 2 log3

7;

(2) 3 a 5 ? 3 a 7 ? a 6 ;

9

12. (16 分)解不等式: (1) (a

2

? 1) x?3 ? (a 2 ? 1) 3 x?1 ( a ? 0 )

13. (18 分)已知函数 f ( x )= loga ( x 2 ? 2) , 若 f ( 2)=1; (1) 求 a 的值; (2)求 f (3 2 ) 的值; (3)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) .

10

14. (附加题) 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 2ax ?b , 且f (1) =

5 17 , f (2) = . (1) 求 a、 b ; 2 4

(2)判断 f(x)的奇偶性; (3)试判断函数在 ( ??, 0] 上的单调性,并证明;

高一数学必修 1 第二章单元测试题(B 卷)
班级


姓名

分数


一、选择题: (每小题 5 分,共 30 分) 。 1.函数 y=ax 2+ log a ( x ? 1) +1(a>0,a≠1)的图象必经过点( A. (0,1) B. (1,1) C. (2,1) D. (2,2)

2 . 已 知 幂 函 数 f ( x ) 过 点 ( 2 , ( )

2 ), 则 f ( 4 ) 的 值 为 2
D、8

1 A、 2
2

B、 1
2

C、2 ) C、2 ) C .

3.计算 ?lg 2? ? ?lg 5? ? 2 lg 2 ? lg 5 等于 ( A、0 B、1

D 、3

4.已知 ab>0,下面的四个等式中,正确的是( A. lg(ab) ? lg a ? lg b ; D. lg( ab) ? B. lg

a ? lg a ? lg b ; b

1 a 2 a lg( ) ? lg 2 b b



1 . log ab 10

2

5.已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 B、 a ? 2

C、 3a ? (1 ? a) ( C、 ? 2, ??? )

D、 3a ? a ? 1
2

6.函数 y ? 2 ? log2 x ( x ? 1) 的值域为 A、 ? 2, ??? B、 ? ??,2?

D、 ?3, ?? ?

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分)
11

7.已知函数 f ( x ) ? ?

(x ? 0) ?log3 x, 1 , 则f [f ( )]的值为 x ( x ? 0) 9 ? 2 ,

8.计算: log4 27 ? log5 8 ? log3 25 = 9.若 loga 2 ?

m, loga 3 ? n ,则 a

3m ? n 2

=

10. 由于电子技术的飞速发展, 计算机的成本不断降低, 若每隔 5 年计算机的价格降低 问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分).
3 (3 2 ? 3) ? ( 2 2) ?( 4 11. (16 分)计算: 6 4

1 , 3



16 ? 1 0 )2 ? 4 2 ? 80.25 ? (? 2005) 49

12.设函数 f ( x ) ? ?

? 2? x x ? 1 1 , 求满足 f ( x ) = 的 x 的值. 4 ?log4 x x ? 1

13.(18 分)已知函数 f ( x)

? loga (a x ? 1)

(a ? 0且a ? 1) , (1)求 f(x)的定义

域; (2)讨论函数 f(x)的增减性。
12

14. (附加题)已知

f ( x) ? 2x , g ( x) 是一次函数,并且点 (2, 2) 在函数 f [ g ( x)] 的图象

上,点 (2,5) 在函数 g[ f ( x)] 的图象上,求 g ( x) 的解析式.

高一数学必修 1 第二章单元测试题(A 卷)参考答案
一、DDADAA 二、7.2; 8.12; 9. (1,2) ; 10.x<4 ;

三、11 解: (1)原式= log 3
5 7

63 ? log 3 ( 7 ) 2 ? log 3 63 ? log 3 7 ? log 3
6 5 7 ? ?6 3

63 ? log 3 9 =2 7

(2)原式= a 3 ? a 3 ? a ? a 3

? a ?2 ?

1 a2

13

12.解:∵ a

? 0 , ∴ a2 ?1 ? 1
x ? 3 ? 3x ? 1

∴ 指数函数 y=( a ? 1 ) 在 R 上为增函数。
2
x

从而有
13.解:(1) ∵

解得 x ? 2

∴不等式的解集为:{ x | x ? 2}

f ( 2)=1,∴ loga (2 2 ? 2) ? 1 即 loga 2 ? 1 解锝 a=2
由 ( 1 ) 得 函 数

(2

)

f ( x) ? l

2

o (x2 g ? 2)





f (3 2 ) = log2 [(3 2 ) 2 ? 2] ? log2 16 ? 4
(3)不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) 即为 log2 ( x 2 ? 2) ? log2 [(x ? 2) 2 ? 2] 化简不等式得 log2 ( x 2 ? 2) ? log2 ( x 2 ? 4x ? 2) ∵函数 y ? log2 x在(0,??)上为增函数,∴ x ? 2 ? x ? 4 x ? 2
2 2

即 4 x ? ?4

解得

x ? ?1

所以不等式的解集为: (-1,+ ?)

14. (附加题)解: (1)由已知得:

?5 ? 2 ? 2a ?b ? ?a ? ?1 ?2 ,解得 ? . ? ?b ? 0 ?17 ? 4 ? 22 a ?b ? ?4
(2) 由上知 f ? x ? ? 2 x ? 2? x . 任取 x ? R , 则 f ??x? ? 2 为偶函数. (3)可知 f ? x ? 在 ( ??, 0] 上应为减函数.下面证明: 任取 x1、x2 ? (??,0] ,且 x1 ? x2 ,则
?x ? ?x ? 2 ? ? ? f ? x? , 所以 f ? x ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? 2? x1 ? 2 x2 ? 2? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? (

?

? ?
1

? ?

?

1 1 ? x ) x1 2 22
x1

?2 =


x1

? 2 x2

?? 2

x1 x2

2 ?1

2 2

x1 x2

? ,因为 x 、x ? (??,0] ,且 x ? x ,所以 0 ? 2
2 1 2

? 2 x2 ? 1 ,从

2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2x1 2x2 ?1 ? 0 , 2x1 2x2 ? 0 , 故 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,由此得函数 f ? x ? 在
(??, 0] 上为减函数

14

高一数学必修 1 第二章单元测试题(B 卷)参考
答案
一、DABCBC 二、7、9; 8、

1 ; 4

9、
1

2 6 ;10、2400 元; 3
1 6 1 1 4 1 3 7 ? (2 2 ? 2 4 ) 3 ? 4 ? ? 2 4 ? 2 4 ? 1 =22×3 3 +2 — 7— 4

三、11、解:原式= (2 3 ? 3 2 )

2— 1=100
12、解:当 x∈(﹣∞,1)时,由 2 当 x∈(1,+∞)时,由 log4x= 综上所述,x= 2
?x

=

1 ,得 x=2,但 2 ? (﹣∞,1) ,舍去。 4

1 ,得 x= 2 , 2 ∈(1,+∞)。 4

13.解 : (1)ax ? 1 ? 0 ?a x ? 1 ?当a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0} 当0 ? a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0}
(2)当a ? 1 时, f ( x)在(0,??)上递增 ; 当0 ? a ? 1 时, f ( x)在(??,0)上递增 .
14. (附加题)解:? g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)=kx+b (k ? 0) ∴f ? g ( x)? =2 ∴依题意得
kx ? b

g ? f ( x)? =k ?2 +b
x

?22 k ?b ? 2 ? 2k ? b ? 1 ? k ? 2 ? 即? ∴ g ( x) ? 2 x ? 3 . ?? ? 2 ? ?k ?2 ? b ? 5 ?4k ? b ? 5 ?b ? ?3

数学必修 1 第三章测试题
15

班别

姓名

学号

考分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 函数 y ? log x ?1 (5 ? 4x ) 的定义域是( A. (?1, 0) B. (0, log 4 5) ) 。 D. (?1, 0) ? (0, log 4 5)

C. (?1, log 4 5) ) 。

2. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点( A.(1,2) B.(2,1)

C.(-2,1) ) 。

D.(-1,1)

3. 设 f (log2 x) ? 2x ( x ? 0) ,则 f (3) 的值为( A. 128 4. B. 256 化简的结果是( B. ) 。 C. |a| ) 。

C. 512

D. 8

5

log 5 ( ? a ) 2

A. –a

a2

D. a

5. 函数 y ? 0.2? x ? 1 的反函数是( A. y ? log5 x ? 1 C. y ? log x 5 ? 1

B. y ? log5 ( x ? 1) D. y ? log5 x ? 1

6. 若 y ? log3a2 ?1 x 在(0,+∞)内为减函数,且 y ? a ? x 为增函数,则 a 的取值范围是( ) 。 A. (

3 , 1) 3

B. (0,

1 ) 3

C. (0,

3 ) 3

D. (

3 6 , ) 3 3
) 。

7. 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是( A.b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a ) 。

D. 1<a<b

8. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( A. y ? 2 x
1

?1? B. y ? ? ? ?2?

1? x

1 C. y ? ( ) x ? 1 D. y ? 1 ? 2x 2

9. 设偶函数 f ( x) 在[0,π]上递减,下列三个数 a= f (lg 系为( )。
16

1 ? 2? ), b ? f ( ), c ? f (? ) 的关 100 2 3

A. a>b>c

B. b>a>c

C. b>c>a

D. c>a>b ) 。

10. 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则下列不等式中成立的是(

1 1 ? loga b b 1 1 C. loga b ? loga ? logb b b
A. loga b ? logb

1 1 ? loga b ? loga b b 1 1 D. logb ? loga ? loga b b b
B. logb

? a, ( a ? b) 11. 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ? 如 1? 2 ? 1,则函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x 的值域为 b , ( a ? b ) , ?
( ) 。 B. (0,+∞) C. (0,1] D. [1,+∞) ) 。 D.

A. R

12. 设 a、b、c 都是正数,且 3a ? 4b ? 6c ,则以下正确的是( A.

1 1 1 ? ? c a b

B.

2 2 1 ? ? c a b

C.

1 2 2 ? ? c a b

2 1 2 ? ? c a b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.

? 13 13. ? x 3 x ?2 ? ?

? 5 ? 化成分数指数幂为 ? ?

?

8



14. 若不等式 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立, 则 x 的取值范围是 15. 已知 log4m (9m ? 2) ? 0 ,则 m 的取值范围是 16. 给出下列四种说法: 。

, a 的取值范围是



⑴ 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? log a a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ⑵ 函数 y ? x3与y ? 3x 的值域相同; ⑶ 函数 y ?

(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

⑷ 函数 y ? ( x ? 1) 2 与 y ? 2 x ? 1在 (0, ? ?) 上都是增函数。 其中正确说法的序号是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字的说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知 f ( x) ? a3 x ?5 ,且 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值。

17

18. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最大值比最小值大 的值。

1 ,求 a 2

19. 已 知 指 数 函 数 y ? ( ) x , 当 x ? ( 0 , ? ? ) 时 , 有 y ?1 , 解 关 于 x 的 不 等 式

1 a

loga ( x ? 1) ? loga ( x2 ? x ? 6) 。
20. 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (a ? 0, a ? 1) 。 ⑴ 求 f ( x) 的定义域; ⑵ 当 a>1 时,判断函数 f ( x) 的单调性,并证明你的结论。 21. 设 f ( x) ? lg

1 ? 2x ? 4x a (a ? R) , 若当 x ? (??, 1] 时, f ( x) 有意义, 求 a 的取值范围。 3

22. 某商品在最近 100 天内的价格 f (t ) 与时间 t 的函数关系是:

?1 t ? 22 (0 ? t ? 40, t ? N ) ? ?4 f (t ) ? ? ?? 1 t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N ), ? ? 2
销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是: g(t) = - 种商品的日销售额 S(t)的最大值。

1 109 t+ (0≤t≤100 , t∈N), 求这 3 3

参考答案
一、DDBCB DBBBA CB

?5 ? 4 x ? 0 ? x ? log 4 5 ? ? 提示:1. ? x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? x ? 1 ? 1, ?x ? 0 ? ?
2. 代入验证。

故选 D。

3. 设 log 2 x ? 3 ,则 x ? 23 ? 8 ,代入已知等式,得 f (3) ? 28 ? 256 。 4.

5

log5 ( ? a )2

? 5

log

5

( ? a )2

? 5

log 5 |a|

?| a |

?1? 5. 由 y ? 0.2? x ? 1 ,得 ? ? ?5?
y ? log5 (x ? 1)。

?x

? y ? 1 即 5x ? y ? 1 ,两边取对数,得 x ? log5 ( y ? 1) ,即

18

?0 ? 3a 2 ? 1 ? 1 ? 6. 解不等式组 ? 1 ? ? 1, ?a

即可。

7. 由指数函数的性质,得 0<a<1,0<b<1,又由幂函数 y ? xn 的性质知,当 n>0 时,它在第一象限内递增,故 a<b<1。 8. 在 y ? 2 中 x ? 0 ,∴
1 x

1 1 ;而 ? 0, y ? 1;在 y ? ( )x ? 1 中,值域为( -1, +∞ ) 2 x

。 y ? 1 ? 2x 的值域为[0,1) 9. 由题意知, a ? f (?2) ? f (2), b ? f ( ), c ? f (

0?

?
2

?2?

2? ?? , ∴ 3

2? ) ,因为 f ( x) 在[0,π]上递减,且 2 3 ? 2? , 即 b>a>c。 f ( ) ? f (2)? f ( ) 2 3
y

?

10. 取 a ?

1 , b?4。 2

11. 由 题 意 知 , a ? b 的 结 果 为 a 、 b 中 较 小 者 , 于 是

1 O x

f ( x) ? 2 x ? 2 ? x

的图象就是 y ? 2x 与y ? 2? x 的图象的较

小的部分(如图) ,故值域为(0,1]。 12. 设 3a ? 4b ? 6c ? k ,则 k>0 且 k≠1,取对数得 a ? log3 k , b ? log 4 k , c ? log6 k , ∴ ∴

1 1 1 ? logk 3, ? log 4 ? 2 log 2, ? k k a b c 2 2 1 ? ? 。 c a b
4 15

log ?6 k

k

log? 2

k

, 3 log

? 1 ?2 1? 二、13. x 。提示:原式= ?( x 3 ? x 3 ) 2 ? ? ?
14. x ? 2, 0 ? a ? 1 。提示:∵

?

8 5

? (x

?

1 4 ? 3 5

4

)

? x15 。

x ? 3 ? x ? 2,且 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) ,



?x ? 3 ? 0 0<a<1。 由 ? ,得 x ? 2 。 ?x ? 2 ? 0

15. ( ,

?0 ? 4m ? 1 ? 4m ? 1 2 1 1 。 或? ) ? ( , ? ?) 。提示:解不等式组 ? 9 4 3 ?0 ? 9m ? 2 ? 1 ?9m ? 2 ? 1

16. ⑴⑶。 提示: ⑴中两个函数的定义域都是 R; ⑵中两个函数的值域分别是 R 与 (0, +∞) ;

19

⑶中两个函数均满足 f (? x) ? ? f ( x) ,是奇函数;⑷中函数 y ? ( x ? 1)2 在 (0, ? ?) 不 是增函数。 三、17. 解:因为 f (lg a) ? a3lg a ?5 ? 100 ,两边取对数,得 lg a(3lg a ? 5) ? 2 , 所以 3(lg a)2 ? 5lg a ? 2 ? 0 ,解得 lg a ? ? 或 lg a ? 2 , 即 a ? 10
? 1 3

1 3

或 a ? 100 。

18. 解:若 a>1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0, a ?1) 在区间[1,7]上的最大值为 loga 8 , 最小值为 loga 2 ,依题意,有 loga 8 ? loga 2 ?

1 ,解得 a = 16; 2
在区间[1, 7]上的最小值为 loga 8 ,

x) o l g ?( 若 0<a<1, 则 f(

1 ) x ( ?0 , a1 )? a ? a

最大值为 loga 2 ,依题意,有 loga 2 ? loga 8 ? 综上,得 a = 16 或 a =

1 1 ,解得 a = 。 2 16

1 。 16 1 ? 1, 即 0 ? a ? 1。 a

19. 解:∵ y ? ( ) x 在 x ? (0, ? ?) 时,有 y ? 1 , ∴ 于是由 loga ( x ? 1) ? loga ( x2 ? x ? 6) ,得 ?

1 a

? x ? 1 ? x2 ? x ? 6 ? , 2 ? ?x ? x ? 6 ? 0

解得 2 ? x ? 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 5} 。 20. 解:⑴ 由 1 ? a x ? 0 ,得 a x ? 1 。 当 a>1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 ; 当 0<a<1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 。 ∴ 当 a>1 时, f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ;当 0<a<1 时, f ( x) 的定义域为

{x | x ? 0} 。
⑵ 当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上是减函数,证明如下: 设 x1 , x2 是(-∞,0)内的任意两个数,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) - f ( x2 ) = log a (1 ? a x1 ) ? log a (1 ? a x2 ) ? log a
∵ a>1, x1 ? x2 ? 0 , ∴

1 ? a x1 , 1 ? a x2

0 ? a x1 ? a x2 ? 1 , ∴ 1 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 0 。

20

从而

1 ? a x1 ? 1, 1 ? a x2

log a

1 ? a x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) . 1 ? a x2

∴当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上递减。 21. 解:根据题意,有

1 ? 2x ? 4x a ? 0 , x ? (??, 1] , 3

1 ? ? 1 即 a ? ? ?( ) x ? ( ) x ? , x ? (??, 1] , 2 ? ? 4

1 1 ?( ) x 与 ? ( ) x 在 ( ??, 1] 上都是增函数, 4 2 1 x 1 x ∴ ?[( ) ? ( ) ] 在 ( ??, 1] 上也是增函数, 4 2 1 1 3 ∴ 它在 x ? 1 时取最大值为 ?( ? ) ? ? , 4 2 4


1 ? 3 ? 1 即 ? ?( ) x ? ( ) x ? ? ? , 2 ? 4 ? 4


3 a?? 。 4

22. 解:因为 S (t ) ? f (t ) ? g (t ) ,所以 ⑴ 当 0 ? t ? 40时, S (t ) ? ( t ? 22)(? t ? 当 t ? 10或11时, Smax ? 808.5 ; ⑵ 当40 ? t ? 100时, S (t ) ? (? t ? 52)(? t ?

1 4

1 3

109 1 从而可知 ),即S (t ) ? ? (t ? 88)(t ? 109) , 3 12

1 2

1 3

109 1 ) ? (t ? 104)(t ? 109) ,当 t = 40 时, 3 6

Smax ? 736 ? 808.5 。
综上可得, 当0 ? t ? 100时, Smax ? 808.5 。 答:在最近的 100 天内,这种商品的日销售额的最大值为 808.5。

第一章
一、选择题

空间几何体

1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个(
21

).

主视图

左视图
(第 1 题)

俯视图

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.正八面体

2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 B.
1+ 2 2

). C. ). C.3 3
2+ 2 2

D. 1+ 2

3.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A. 3 D.4 3 B.2 3

4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上, 则这个球的表面积是( A.25π 对 5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( A. 3 ∶1 B. 3 ∶2 ). C.2∶ 3 D. 3 ∶3 ). B.50π C.125π D. 都不

6.在△ ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ ABC 绕直线 BC 旋 转一周,则所形成的几何体的体积是( A. ). C.

9 π 2

B.

7 π 2

5 π 2

D.

3 π 2

7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5,它的对角线的长分别是 9 和 15,则这个棱柱的侧面积是( ).

22

A.130

B.140

C.150

D.160

8.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,

3 EF= ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( 2

).

(第8题)

9 B.5 C.6 2 9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误 的是( ..
A.

D. ).

15 2

A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆 10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).

(第 10 题)

二、填空题 11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的 一个棱台有________条侧棱.
23

12.若三个球的表面积之比是 1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________. 13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 的中心,若正方体的棱长 为 a,则三棱锥 O-AB1D1 的体积为_____________. 14. 如图, E, F 分别为正方体的面 ADD1A1、 面 BCC1B1 的中心, 则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是___________.

(第14题)

15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,则这个长方体 的对角线长是___________,它的体积为___________. 16.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升 高 9 厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题 17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L,假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm,求它的深度.

18 *.已知半球内有一个内接正方体, 求这个半球的体积与正方体的体积之比. [提示:

24

过正方体的对角面作截面]

19.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD= 2 2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

(第19题)

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓 库的底面直径为 12 m,高 4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐, 现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变);二是高度增加 4 m(底 面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?

25

第一章

空间几何体
参考答案

A组 一、选择题 1.A 解析: 从俯视图来看, 上、 下底面都是正方形, 但是大小不一样,可以判断可能是棱台. 2.A 解析:原图形为一直角梯形,其面积 S= 3.A 解析:因为四个面是全等的正三角形,则 S 表面=4× 4.B 解析:长方体的对角线是球的直径,
3 = 3. 4

1 (1+ 2 +1)×2=2+ 2 . 2

l= 32+42+52 =5 2 ,2R=5 2 ,R=
5.C 解析:正方体的对角线是外接球的直径. 6.D

5 2 ,S=4πR2=50π. 2

3 1 解析:V=V 大-V 小= πr2(1+1.5-1)= π. 2 3
7.D
2 解析:设底面边长是 a,底面的两条对角线分别为 l1,l2,而 l12 =152-52, l 2 =92

-52,
2 而 l12 + l 2 =4a2,即 152-52+92-52=4a2,a=8,S 侧面=4×8×5=160.

8.D

26

解析:过点 E,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,

1 3 15 1 3 V=2× × ×3×2+ ×3×2× = . 2 2 2 3 4
9.B 解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度 不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不 变. 10.D 解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选 D. 二、填空题 11.参考答案:5,4,3. 解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台. 12.参考答案:1∶2 2 ∶3 3 .

r1∶r2∶r3=1∶ 2 ∶ 3 , r13 ∶ r23 ∶ r33 =13∶( 2 )3∶( 3 )3=1∶2 2 ∶3 3 .
1 13.参考答案: a 3 . 6
解析:画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥 O-AB1D1 的高 h=
3 3 3 1 1 1 a,V= Sh= × ×2a2× a= a3. 3 4 3 6 3 3

另法:三棱锥 O-AB1D1 也可以看成三棱锥 A-OB1D1,它的高为 AO,等腰三角形

OB1D1 为底面.
14.参考答案:平行四边形或线段. 15.参考答案: 6 , 6 . 解析:设 ab= 2 ,bc= 3 ,ac= 6 ,则 V = abc= 6 ,c= 3 ,a= 2 ,b= 1,

l= 3+2+1 = 6 .
16.参考答案:12.
27

解析:V=Sh=πr2h= 三、解答题 17.参考答案:

4 πR3,R= 3 64×27 =12. 3

3×190 000 3V 1 V= (S+ SS ′ +S)h,h= = =75. 3 S+ SS ′ +S ′ 3 600+2 400+ 1 600

18.参考答案: 如图是过正方体对角面作的截面. 设半球的半径为 R, 正方体的棱长为 a, 则 CC'=a,

OC=

2 a,OC'=R. 2

A'

C'

A

O
(第 18 题)

C

在 Rt△ C'CO 中,由勾股定理,得 CC' 2+OC2=OC' 2, 即 a2+( ∴R=
2 a)2=R2. 2

6 6 a,∴V 半球= πa 3 ,V 正方体=a 3 . 2 2

∴V 半球 ∶V 正方体= 6 π∶2. 19.参考答案:

S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2 2 =(60+4 2 )π.
28

V=V 台-V 锥
1 1 = π( r12 +r1r2+ r22 )h- πr2h1 3 3


148 π. 3

20. 解:(1) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,则仓库的体积

16 256 1 1 V1= Sh= × π×( )2×4= π(m3). 2 3 3 3
如果按方案二,仓库的高变成 8 m,则仓库的体积

288 12 1 1 V2= Sh= × π×( )2×8= π(m3). 2 3 3 3
(2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+42 =4 5 , 仓库的表面积 S1=π×8×4 5 =32 5 π(m2). 如果按方案二,仓库的高变成 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+62 =10, 仓库的表面积 S2=π×6×10=60π(m2). (3) 参考答案:∵V2>V1,S2<S1,∴方案二比方案一更加经济些.

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如 下的两个命题:①若? ? ∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则? ? ⊥?.那么( A.①是真命题,②是假命题
29

).

B.①是假命题,②是真命题

C.①②都是真命题

D.①②都是假命题 ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面? ? ,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥? ? 且? ? ∥?,则 m∥n;

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥? ? 且? ? ⊥?,则

m⊥n;
③m⊥?,n∥? ? 且? ? ∥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥? ? 且? ? ⊥?,则

m∥n.
其中真命题的序号是( A.①② ). B.③④ C.①④ D.②③

4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . A.1 ). B.2 ). C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面? ? 内 ?,则 l∥?

30

②若直线 l 与平面? ? 平 ?行,则 l 与平面? ? 内 ?的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面? ? 平 ?行,则 l 与平面? ? 内 ?的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). D.只有两个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体 积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° B.60° ). C.45° ). D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 ). B.3 C.2 D.1

31

10. 异面直线 a, b 所成的角 60°, 直线 a⊥c, 则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 120°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°]

).

D.[30°,

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的 面积分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 .

12. P 是△ ABC 所在平面? ? ? 外一点, 过 P 作 PO⊥平面? ? , 垂足是 O, 连 PA,

PB,PC.
(1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ ABC 的 线上. 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各 边的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中 点,将△ ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与
(第 13 题)

心; 心; 心; 点;

J

IJ 所成角的度数为



14.直线 l 与平面 ? ? 所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所成角的 取值范围 是 .

32

15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,

d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为



16. 直二面角? ? -l-? ? 的棱上有一点 A, 在平面? ? , ? ? 内各有一条射线 AB,

AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC=
三、解答题



17.在四面体 ABCD 中,△ ABC 与△ DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3, 求二面角 A -BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?, 猜想 ? ? 为 何值时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明)
(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

33

(第 18 题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,

1 SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= . 2
(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

(第 19 题)

34

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个 棱柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组 一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面? ? ∩平面? ? =直线 n,

l ??,m ??,
且 l∥n , m⊥n , 则 m⊥l , 显 然 平 面 ? ? ? 不 垂 直 平 面 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? 第1 ? 题? ) ? ? ? 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D ? ,

35

解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有无数点在 平面 ABCD 外,但 AA1 与平面 ABCD 相交,①不正确;

A1B1∥平面 ABCD, 显然 A1B1 不平行于 BD, ②不正确; A1B1∥AB,A1B1∥平面 ABCD,但 AB ?平面 ABCD
内,③不正确;l 与平面 α 平行,则 l 与? ? 无 ?公共点,l 与平面? ? 内 ?的所有直线都 没有公共点,④正确,应选 B. 6.B 解析:设平面 ? ? 过 l1,且 l2∥?,则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 ? ? , ? ? 与 ? ? 的交线 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析: 当三棱锥 D-ABC 体积最大时, 平面 DAC⊥ABC, 取 AC 的中点 O, 则△ DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
(第 5 题)

36

9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10.A 解析: 异面直线 a ,b 所成的角为 60°, 直线 c ⊥ a , 过空间任一点 P, 作直线 a’∥a,

b’∥b, c’∥c. 若 a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的
范围为(30°,90°],所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30°,90°] . 二、填空题 11.

1 3

2S1S 2 S3 .

解析:设三条侧棱长为 a,b,c. 则 ∴

1 1 1 ab=S1, bc=S2, ca=S3 三式相乘: 2 2 2

1 2 2 2 a b c =S1S2S3, 8

∴ abc=2 2 S1S2 S3 . ∵ 三侧棱两两垂直,

1 1 1 ∴ V= abc· = 2 3 3

2S1S 2 S3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°. 解析:将△ ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°.

37

14.[30°,90°]. 解析: 直线 l 与平面? ? 所 ?成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值, 当 m 在? ? ? 内适当旋转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°. 15.
6 . 3 1 ? 3 ×(d1+d2+d3+d4)= 1 ? 3 ·h,而 h= 6 . 3 4 3 4 3

解析:作等积变换:

16.60°或 120°. 解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ ABC,△ BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD.
(第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点 D 作 DE⊥AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=
3 BD=2 3 , 2 3 DE = , 2 DO 3 . 2

在 Rt△ DEO 中,sin?=

故二面角 A-BC-D 的正弦值为

38

(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18. 证明: (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, BB1=BC=1, E 为 D1C1 的中点.∴△DD1E 为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC= 45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE. 又 EC ? BC ? C , ∴DE⊥平面 EBC. ∵平面 DEB 过 DE, ∴平面 DEB⊥ 平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO⊥DC 于 O.在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,∵面 ABCD⊥ 面 D1DCC1 ,∴EO⊥面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中 作 OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二 面角 E-DB-C 的平面角.利用平面几何知识可得 OF= 又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .
1 1+ 1 2 ? 1= 3 , 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2 4 2
1 , 5
(第 18 题)

1 1 3 1 ∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V= · SA· M 底面= ×1× = . 4 4 3 3
(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角.
39

∵SB= SA2+AB2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BC 2 = , SB 2
(第 19 题)

即所求二面角的正切值为

2 . 2

20* .解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面

BB1C1C 的面积为 10,A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR ,使 AA1⊥截面 PQR , AA1∥CC1, ∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C, 过 P 作 PO⊥QR
于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6. ∴V 斜=S△ PQR· AA1= = =
1 · QR· PO· AA1 2
(第 20 题)

1 · PO· QR· BB1 2 1 ×10×6 2

=30.

第三章 直线与方程
A组
一、选择题 1.若直线 x=1 的倾斜角为 ?,则? ? ( A.等于 0 B.等于? . ) C.等于

? 2
).

D.不存在

2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

(第 2 题) 40

3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6), 且 l1∥l2,则 x=( A.2 ). B.-2 C.4 D.1

4.已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ),N( 2 ,- 3 )的直线垂直,则直线 l 的倾斜 角是( A. ).

? 3

B.

2? 3

C.

? 4

D.

3? 4

5.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

). D.第四象限

6.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方 程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 C.2y-x-4=0 ). B.2x-y-1=0 D.2x+y-7=0

7.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为 ( ). A.19x-9y=0 C.19x-3y= 0 B.9x+19y=0 D.3x+19y=0

8.直线 l1:x+a2y+6=0 和直线 l2 : (a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点,则 a 的值 是( ). A.3 B.-3 C.1 D.-1

9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位

41

得直线 l',此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为( A.

).

a a+ 1

B. -

a a+1

C.

a+ 1 a
).

D. -

a+1 a

10.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) 二、填空题 B.(-8,-6) C.(6,8)

D.(-6,-8)

11.已知直线 l1 的倾斜角 ?1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°,则直线 l2 的斜率 k2 的值 为 . 12.若三点 A(-2,3),B(3,-2),C(

1 ,m)共线,则 m 的值为 2



13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2), 求第四个顶点 D 的坐标为 . .

14.求直线 3x+ay=1 的斜率

15.已知点 A(-2,1),B(1,-2),直线 y=2 上一点 P,使|AP|=|BP|,则 P 点坐标为 .

16 .与直线 2x + 3y + 5 = 0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程 是 . 17.若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反射线所 在直线的方程是 三、解答题 18.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠- 1),根据下列条件分别求 m 的值: ①l 在 x 轴上的截距是-3; ②斜率为 1. .

42

19.已知△ ABC 的三顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线 l 平行于 AB, 交 AC,BC 分别于 E,F,△ CEF 的面积是△ CAB 面积的

1 .求直线 l 的方程. 4

(第 19 题)

20.一直线被两直线 l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰 好是坐标原点,求该直线方程.

21.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6, 求直线 l 的方程.

43

第三章 直线与方程
参考答案
A组 一、选择题 1.C 解析:直线 x=1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 2.D 解析:直线 l1 的倾斜角? ? ?3 均 1 是钝角,故 k1<0;直线 l2 与 l3 的倾斜角? ? 2, 为锐角且?2>?3,所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D. 3.A 解析:因为直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线 l1 的倾斜角为

? ,而 2

l1∥l2,所以,直线 l2 的倾斜角也为
2. 4.C 解析:因为直线 MN 的斜率为

? ,又直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),所以,x= 2

2+ 3 - 3- 2

=-1 ,而已知直线 l 与直线 MN 垂直,所以

直线 l 的斜率为 1,故直线 l 的倾斜角是 5.C

? . 4

解析:直线 Ax+By+C=0 的斜率 k= ? 以,直线不通过第三象限. 6.A

C A <0,在 y 轴上的截距 D=- >0,所 B B

解析:由已知得点 A(-1,0),P(2,3),B(5,0),可得直线 PB 的方程是 x+y -5=0.
44

7.D 8.D 9.B 解析: 结合图形,若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移,再沿 x 轴正方向平移后,所得直线 与 l 重合,这说明直线 l 和 l’ 的斜率均为负,倾斜角是钝角.设 l’ 的倾斜角为 ?,则 tan ?= - 10.D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线 5x+4y+21=0 是点 A(4,0) 与所求点 A'(x,y)连线的中垂线,列出关于 x,y 的两个方程求解. 二、填空题 11.-1. 解析:设直线 l2 的倾斜角为? ? 2,则由题意知: 180°-?2+15°=60°,?2=135°, ∴k2=tan ?2=tan(180°-45°)=-tan45°=-1. 12.

a . a+ 1

(第 11 题)

1 . 2

解:∵A,B,C 三点共线, ∴kAB=kAC,
-2-3 m-3 1 = .解得 m= . 1 3+2 2 +2 2

13.(2,3). 解析:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y), ∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD· kCD=-1,且 kAD=kBC. ∴

y-1 y-2 y-1 · =-1, =1. x-0 x-3 x-0
45

? x=0 ? x=2 解得 ? (舍去) ? ? y=1 ? y=3

所以,第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 14.-

3 或不存在. a

解析:若 a=0 时,倾角 90°,无斜率. 若 a≠0 时,y=- ∴直线的斜率为- 15.P(2,2). 解析:设所求点 P(x,2),依题意: ( x ? 2)2 ? (2 ? 1)2 = ( x ? 1)2 ? (2 ? 2)2 ,解得 x =2,故所求 P 点的坐标为(2,2). 16.10x+15y-36=0. 解析:设所求的直线的方程为 2x+3y+c=0,横截距为- 得

3 1 x+ a a 3 . a

c c ,纵截距为- ,进而 2 3

c= -

36 . 5

17.x+2y+5=0. 解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称,故将直线方程中的 y 换成 -y. 三、解答题 18.①m=-

5 4 ;②m= . 3 3

解析:①由题意,得

2m ? 6 =-3,且 m2-2m-3≠0. m 2 ? 2m ? 3
解得 m=- ②由题意,得

5 . 3

m 2 ? 2m ? 3 =-1,且 2m2+m-1≠0. 2m 2 ? m ? 1
46

解得 m=

4 . 3

19.x-2y+5=0. 解析:由已知,直线 AB 的斜率 k=

1?1 1 = . 3 ?1 2 1 . 2

因为 EF∥AB,所以直线 EF 的斜率为 因为△ CEF 的面积是△ CAB 面积的 直线 EF 的方程是 y- 20.x+6y=0.

1 5 , 所以 E 是 CA 的中点. 点 E 的坐标是(0, ). 4 2

5 1 = x,即 x-2y+5=0. 2 2

解析:设所求直线与 l1,l2 的交点分别是 A,B,设 A(x0,y0),则 B 点坐标为 (-x0,-y0). 因为 A,B 分别在 l1,l2 上,

? ?4 x0+y0+6=0 所以 ? ? ?-3x0+5 y0-6=0

① ②

①+②得:x0+6y0=0,即点 A 在直线 x+6y=0 上,又直线 x+6y=0 过原点, 所以直线 l 的方程为 x+6y=0. 21.2x+y-4=0 和 x+y-3=0. 解析:设直线 l 的横截距为 a,由题意可得纵截距为 6-a.

x y ∴直线 l 的方程为 + = 1. a 6-a 1 2 ∵点(1,2)在直线 l 上,∴ + = 1 ,a2-5a+6=0,解得 a1=2,a2=3.当 a 6-a x y a=2 时,直线的方程为 ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限.当 a=3 时,直线的方程 2 4 x y 为 ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限. 3 3
综上所述,所求直线方程为 2x+y-4=0 和 x+y-3=0.

47

第四章 圆与方程
一、选择题 1. 若圆 C 的圆心坐标为(2, -3), 且圆 C 经过点 M(5, -7), 则圆 C 的半径为( A. 5 B.5 C.25 D. 10 ). ).

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 ).

3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9

B.(x+3)2+(y-4)2=16 D.(x+3)2+(y-4)2=19 ). D.无解 ).

4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 D.4 3 B.6 C.6 2

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置 关系为( A.内切 ). B.相交 C.外切 D.相离

7.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段

AB 的垂直平分线的方程是(
A.x+y-1=0 C.x-2y+1=0

). B.2x-y+1=0 D.x-y+1=0

48

8.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有( A.4 条 B.3 条 C.2 条

). D.1 条

9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( A.3 ). B.2 C.1 D.0 ).

10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2 43 二、填空题 B.2 21 C.9

D. 86

11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值 为 . 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . . .

14. 两圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切, 试确定常数 a 的值

15 . 圆 心 为 C(3 , - 5) , 并 且 与 直 线 x - 7y + 2 = 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 . 16.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程 是 . 三、解答题 17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

49

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的 方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题 1.B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, (2-5)2+ (-3+7)2 =5. 2.C

50

解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点坐标 (1,-1)代入圆方程.A 不满足条件. ∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b =1. 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4), ∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16. 4.B 解析:∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切, ∴(0,0)到直线距离等于 m .
m 2



= m,

∴m=2. 5.A 解析:令 y=0, ∴(x-1)2=16. ∴ x-1=±4, ∴x1=5,x2=-3. ∴弦长=|5-(-3)|=8. 6.B
51

解析:由两个圆的方程 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4 可求 得圆心距 d= 13 ∈(0,4),r1=r2=2,且 r 1-r 2<d<r 1+r2 故两圆相交,选 B. 7.A 解析:对已知圆的方程 x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0,经配方,得 (x-1)2+y2=6,(x+1)2+(y-2)2=9. 圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2). 直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0. 8.C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4,两圆圆心分别为

O1(1,0),O2(0,-2),r1=1,r2=2,|O1O2|= 12+22 = 5 ,又 1=r2-r1< 5
<r1+r2=3,故两圆相交,所以有两条公切线,应选 C. 9.C 解:①②③错,④对.选 C. 10.D 解析:利用空间两点间的距离公式. 二、填空题 11.2. 解析:圆心到直线的距离 d=
3+4+8 5

=3,

∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2. 12.(x-1)2+(y-1)2=1. 解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1. 故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1. 13.(x+2)2+(y-3)2=4.
52

解析:因为圆心为(-2,3),且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2.故所求圆的方程 为(x+2)2+(y-3)2=4. 14.0 或±2 5 . 解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知 42+a 2 =6,即 a=±2 5 . 当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知

42+a 2 =4,即 a=0.
∴a 的值为 0 或±2 5 . 15.(x-3)2+(y+5)2=32. 解析:圆的半径即为圆心到直线 x-7y+2=0 的距离; 16.x+y-4=0. 解析:圆 x2+y2-4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直 线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB· kCP=-1,解得 kAB=-1,又直线 AB 过 P(3,1),则 所求直线方程为 x+y-4=0. 三、解答题 17.x2+y2=36. 解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB=120°,设 所求圆方程为:x2+y2=r2,则圆心到直线距离为 以 r=6,所求圆方程为
r ? ,所 2 5 15
A -5 y 4 2 -2 -4

O r B

5 x

x2+y2=36.

第 17 题

(第 17 题)

18.x2+y2-ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey=0. ∵圆过(a,0)和(0,b),
53

∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0, ∴D=-a,E=-b. 故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 19.x2+y2-2x-12=0. 解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得:

D-3E-F=10



4D+2E+F=-20 ② 设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中,令 x=0 得 y2+Ey+F=0, ∴b1+b2=-E;令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③ ①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 20.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 根据题意:r=

10 ? 6 =2, 2

圆心的横坐标 a=6+2=8, 所以圆的方程可化为:(x-8)2+(y-b)2=4. 又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)2+(3-b)2=4,解得 b=5 或 b=1, 所求圆的方程为(x-8)2+(y-5)2=4 或(x-8)2+(y-1)2=4.

高一数学阶段测试题
54

一.

选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,请把答案涂在答

题卡上) 1.下列叙述中,正确的是( )

(A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ? (B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ??,AB ? ? ,所以 ? ? ? =AB 2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= ( A、 -3 B、-6 C、 ?
3 2

)

D、 2
3

3 棱长为 a 的正方体有一个内切球,该球的表面积为 A、 ? a 2 B、2 ? a 2 C 、3 ? a 2

( D、 4? a 2 )



4. 若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( (A)只有一条

(B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线 (D)不存在 )

5. 倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0 ) . D.6

6. 长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( A. 3 2 B. 2 3 C. 6

7.已知三条不同的直线 l 、 m 、 n 与两个不同的平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m∥ l ,n∥ l ,则 m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n ②若 m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或

m ??
其中假命题 是( ) .(A) ... ① (B) ② (C) ③ (D) ④

55

8.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是(

).

(第 10 题)

9. .如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上 底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 B.
1+ 2 2

).
2+ 2 2

C.

D. 1+ 2

10 以 A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线 方程是( A C ) B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0

3x-y-8=0 3x-y+6=0

11 如图,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2 D. k3<k2<k1

C. k1<k2<k3

12.如图,A—BCDE 是一个四棱锥,AB ⊥平面 BCDE , 且四边形 BCDE 为矩形, 则图中互相垂直的平面共有 ( A.4 组 B.5 组 C.6 组 D.7 组 )

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,

56

请把答案填在答题纸中的横线上) 13. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ① BM 与 ED 平行 ③ CN 与 BM 成 60? ② CN 与 BE 异面 ④ DM 与 BN 垂直
E N D C M

A

B F

以上四个命题中,正确命题的序号是__________________

14 一条光线从点 P(4,3)射出,与 x 轴相交于点 Q(2,0),经 x 轴反射,则反射光 线的方程为___________________ .

15.已知正方方体 ABCD ? A' B1C1 D1 , 则 A1 B 和平面 CDA1 B1 所成角 的大小为__________________
A
A1

D1 B1

C1

D

C B

16.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后, 水面升高 9 厘米则此球的半径为_________厘米 三.解答题:(本大题共 6 个题,请把解题过程填在答题纸中正确的位置上) 17.求过点 P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线
y

方程.
C B D

57

O

1

A

x

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D, 求 CD 所在直线的方程.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知正四棱锥 V- ABCD 中,
AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm , VC ? 5cm ,

V

求正四棱锥 V - ABCD 的体积.
D A M B C

20 如图: AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上不同于
A, B 的任意一点,

P

(1)求证: BC ? 平面PAC C
58

A

O

B

(2)求二面角 P-BC-A.

D1

C1 B1

21.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-

A1

A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点.
(1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
A E D F B C

22. (本小题满分 14 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中, (1)作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC 1 1 位置关系,并给出证 明; (2)证明 B1D ⊥面 A1BC1 ; (3)求三棱锥 B1 -A1C1B 的体积.

59

参考答案 一.选择题 二.填空题 三.解答题 17.若截距为零,则直线方程为 2 x -y=0 ; 若截距不为零,则直线方程为 x ? 5分 7分 2分 4分 CBABD ,CCBAB, AD 13. ③ ④ 14. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 15. 30? 16. 12

y ?3 ? 0.

18. 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0

(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

6分 8分 10 分

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1),
即x ? 3 y ?10 ? 0 .

1 3

12 分

19. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 2 ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm ) 2 2 ? MC ?

3分 . 6分

且 S ABCD

? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
1 3 1 3

9分

3 ? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ) . 12 分

解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

且 AB ? BC ? 2 AC ? 3 2 (cm) .
2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm ).
2

? VM 是棱锥的高 ,
60

? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
3 ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ).

1 3

1 3

22.解: (1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l ,3 分 ∵ AC ∥ AC 1 1 , AC ? 平面ABCD ? A1C1 ? 平面ABCD 平面A1C1B ? 平面ABCD=l 5分 ? AC 1 1∥ l , (2)易证 AC 1 D ,同理可证 A 1B ⊥ B 1D , 1 1 ⊥面 DBB 1D 1 ,∴ AC 1 1⊥B 又 AC ∴ B1D ⊥面 A1BC1 . 10 分 1B = A 1, 1 1 ? A (3)
由正方体知,A1 B1 ? 平面BB1C , 1 ?VB1 ? A1BC ? VA1 ? BB1C ? S ?BB1C ? A1 B1 3 1 1 ? ? ? BB1 ? B1C1 ? A1 B1 3 2 a3 ? 6

高一数学阶段测试题
二. 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,请把答案涂在答题 卡上) 1.下列叙述中,正确的是( ) (A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ? (B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ??,AB ? ? ,所以 ? ? ? =AB 2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= ( A、 -3 B、-6 C、 ?
3 2

)

D、 2
3

3 棱长为 a 的正方体有一个内切球,该球的表面积为 A、 ? a
2

( D、 4? a
2



B、2 ? a

2

C、3 ? a

2

4. 若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( (A)只有一条



(B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线 (D)不存在 )

5. 倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是(
61

A. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0 ) . D.6

6. 长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( A. 3 2 B. 2 3 C. 6

7.已知三条不同的直线 l 、 m 、 n 与两个不同的平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m∥ l ,n∥ l ,则 m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n 其中假命题 是( ) .(A) ... ① ②若 m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? (B) ② (C)
).



(D)



8.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是(

(第 10 题)

9. .如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上 底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 B.
1+ 2 2

). D. 1+ 2

C.

2+ 2 2

10 以 A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线 方程是( A C ) B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0 3x-y-8=0 3x-y+6=0

11 如图,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. C. k1<k3<k2 k1<k2<k3 B. D. k3<k1<k2 k3<k2<k1

12.如图,A—BCDE 是一个四棱锥,AB ⊥平面 BCDE ,且四边
62

形 BCDE 为矩形,则图中互相垂直的平面共有( A.4 组 B.5 组 C.6 组 D.7 组



二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 请把答案填在答题纸中的横线上) 13. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ① BM 与 ED 平行 ③ CN 与 BM 成 60? ② CN 与 BE 异面 ④ DM 与 BN 垂直
E A B F N D C M

以上四个命题中,正确命题的序号是__________________

14 一条光线从点 P(4,3)射出,与 x 轴相交于点 Q(2,0),经 x 轴反射,则反射光线 的方程为___________________ .

15.已知正方方体 ABCD ? A' B1C1 D1 , 则 A1 B 和平面 CDA1 B1 所成角 的大小为__________________
A1

D1 B1

C1

D

C B

A

16.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水 面升高 9 厘米则此球的半径为_________厘米 三.解答题:(本大题共 6 个题,请把解题过程填在答题纸中正确的位置上) 17.求过点 P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程.
y

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D, 求 CD 所在直线的方程.

C

B D

O

1

A

x

63

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 已 知 正 四 棱 锥 V - ABCD 中 ,
AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm , VC ? 5cm ,
V

求正四棱锥 V - ABCD 的体积.

D A M B

C

C 是圆周上不同于 A, B 20 如图:AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,

的任意一点, (1)求证: BC ? 平面PAC (2)求二面角 P-BC-A. A

P

C O B

21.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

D1 A1 B1

C1

E A

D F B

C

22. (本小题满分 14 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中, (1)作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC 1 1 位置关系,并给出证 明; (2)证明 B1D ⊥面 A1BC1 ; (3)求三棱锥 B1 -A1C1B 的体积.

64

参考答案 一.选择题 二.填空题 三.解答题 17.若截距为零,则直线方程为 2 x -y=0 ; 若截距不为零,则直线方程为 x ? 5分 7分 2分 4分 CBABD ,CCBAB, AD 13. ③ ④ 14. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 15. 30? 16. 12

y ?3 ? 0.

18. 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0

(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

6分 8分 10 分

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1),
即x ? 3 y ?10 ? 0 .

1 3

12 分

19. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 2 ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm ) 2 2 ? MC ?

3分 . 6分

且 S ABCD

? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
1 3 1 3

9分

3 ? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ) . 12 分

解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

且 AB ? BC ? 2 AC ? 3 2 (cm) .
2

65

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm ).
2

? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
3 ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ).

1 3

1 3

22.解: (1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l ,3 分 ∵ AC ∥ AC 1 1 , AC ? 平面ABCD ? A1C1 ? 平面ABCD 平面A1C1B ? 平面ABCD=l 5分 ? AC 1 1∥ l , (2)易证 AC 1 D ,同理可证 A 1B ⊥ B 1D , 1 1 ⊥面 DBB 1D 1 ,∴ AC 1 1⊥B 又 AC ∴ B1D ⊥面 A1BC1 . 10 分 1B = A 1, 1 1 ? A (3)
由正方体知,A1 B1 ? 平面BB1C , 1 ?VB1 ? A1BC ? VA1 ? BB1C ? S ?BB1C ? A1 B1 3 1 1 ? ? ? BB1 ? B1C1 ? A1 B1 3 2 a3 ? 6

数学必修3 训练题
(全卷满分100 分,考试时间90 分钟) 一、选择题(本题共10 小题,每小题4 分,共40 分,将答案直接填在下表中) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 (1)期中考试之后,班长算出了全班40 个人的平均分 M,如果把M 当成一个同学的分数, 与原来的40 个人的分数一起,算出这41 个分数的平均分N,那么M∶N 为( ) (A)40∶41 (B)1∶1 (C)41∶40 (D)2∶1 (2)要从容量为102 的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9 的样本,则下列叙述正 确的是( ) (A)将总体分成11 组,抽样距为9 (B)将总体分成9 组,抽样距为11 (C)从总体中剔除2 个个体后分11 组,抽样距为9 (D)从总体中剔除3 个个体后分9 组,抽样距为11 (3)信息保留比较完整的统计图是( ) (A)条形统计图 (B)折线统计图 (C)扇形统计图 (D)茎叶图 (4)把一个样本容量为100 的数据分组,分组后,组距与频数如下:

66

(17,19],1; (19,21],1;(21,23],3.(23,25],3;(25,27],18;(27,29],16;(29,31],28;(
31,33],30;
根据累积频率分布,估计小于等于29 的数据大约占总数的( ) (A)42% (B)58% (C)40% (D)16% (5)用直接插入法把94 插入有序列50,62,70,89,100,104,128,162 中,则该有序 列中的第1 个数和最后1 个数的序号分别变为( ) (A)1,8 (B)2,9 (C)1,9 (D)2,8 (6)用冒泡排序法将数列8,7,2,9,6 从小到大进行排序,经过( )趟排序才能完成 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (7)阅读程序:

i := 0, s := 0;
repeat

i := i + 2; s := s + 2i -1; until i ? 8; 输出 s .
则运算结果为 (A)21 (B)24 (C)34 (D)36 (8)从1,2,3,4,5,6 这6 个数中,不放回地任意取两个数,每次取1 个数,则所取 的两个数都是偶数的概率为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (9)如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,每个图形涂 一种颜色,现用红、蓝两种颜色为其涂色,则三个形状颜色不全相同的概率 为( ) (A)34 (B)38 (C)14 (D)18 (10)将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n3

(n

? 3)个同样大小的小正方体,从这

些 小正方体中任取1 个,则其中三面都涂有颜色的概率为( ) (A) 31n (B) 34n (C) 38n (D) 21n 二.填空题(本题共4 小题,每小题4 分,共16 分



67

(11)一个容量为10 的样本数据,分组后,组距与频数如下: 组距 (1,2 ] (2,3 ] (3,4 ] (4,5 ] (5,6 ] (6,7 ] 频数 1 1 2 3 1 2 则样本落在区间(-∞,5 ] 的频率是 . (12) 某校有高级教师90 人, 中级教师150 人, 其他教师若干人.为了了解教师拓健康状况, 从中抽取60 人进行体检. 已知高级教师中抽取了18 人, 则中级教师抽取了 人,该校共有教师 人. (13)有一个简单的随机样本10,12,9,14,13,则样本的平均数x = ,样本方 差s2= . (14)有4 条线段,长度分别为1,3,5,7,从这四条线 段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的 概率为 . (15)将一条5 m 长的绳子随机地切成两条,事件Q 表示 所切两段绳子都不短于1 m 的事件,则事件Q 发生的 概率是 . (16)已知一个算法的程序框图如图所示,则输出的结果 为 .是 否 开始 输入x

x ? 0
y:=x2-1 y:=2x2-5 输入y
结束 三.解答题(本大题共6 小题,满分共44 分) (17) (本小题满分9 分) 对某种品牌的灯泡进行寿命跟踪调查,统计如下: 寿命(h) 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 个数 320 30 80 40 30 (Ⅰ)列出频率分布表; (Ⅱ)画出频率分布直方图; (Ⅲ)求灯泡寿命在100h ~400h 的频率. (18) (本小题满分9 分) 袋子中装有18 只球,其中8 只红球、5 只黑球、3 只绿球、2 只白球,从中任取1 球, 求: (Ⅰ)取出红球或绿球的概率; (Ⅱ)取出红球或黑球或绿球的概率. (19) (本小题满分9 分) 如图,在边长为25cm 的正方形中挖去边长为18cm 的两个等腰直角三 角形,现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的 概率是多少? (20) (本小题满分9 分) 如图,一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ,当Ⅰ、Ⅱ分别 输入正整数m, n时,输出结果记为f (m, n),且计算装置运算原理如下: ①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1,则f (1,1) = 1; ②若Ⅰ输入固定的正整数,Ⅱ输入的正整数增大1,则输出结果比 原来增大3;

68

③若Ⅱ输入1,Ⅰ输入正整数增大1,则输出结果为原来的3 倍. 试求: (Ⅰ) f (m,1)的表达式(m?N); (Ⅱ) f (m, n)的表达式(m, n?N); (Ⅲ)计算f 输入口 输出口

(7,7),

f

(8,8),并说明是否存在正整数n,使得f

(n, n)=2006?

m n
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

数学必修3 训练题参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A C C D D A C 二、填空题 (11)0.70 (12)30;300 (13)11.6;3.44 (14) 1 (15)5 (16)(

4 3

)

( )

2

2

1 0 ,

2 5 0 .

x x

y

x x

ì? - ? = í

?? - <

三、解答题 (17) (Ⅰ)频率分布表: (Ⅱ)频率分布直方图: (Ⅲ)灯泡寿命在100h~400h 的频率为0.64+0.06+0.16 =0.86. (18)记事件A=“从18 只球中任取1 球得红球”,B=“从18 只球中任取1 球得黑球”, C=“从18 只球中任取1 球得绿球”,D=“从18 只球中任取1 球得白球”, 则

8( )18P A = ,5( )18P B = ,3( )18P C = ,2( )18P D = .
根据题意,A、B、C、D 彼此互斥,有互斥事件概率加法公式得: (Ⅰ)取出红球或绿球的概率为P(A+C)=P(A)+P(C)=

818+318=1118
. (Ⅱ)解法1:取出红球或黑球或绿球的概率为: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

818+518+318=89
. 解法2:“取出红球或黑球或绿球”的对立事件是“取出白球”, 所以P(A+B+C)=1 -P(D)=1 - 2 18=16 818 9= .寿命分组 频数频率

频率组距

[100,

200)
69

320 0.64 0.0064

[200,300) [300,

30 0.06 0.0006

400) 80 0.16 0.0016
40 0.08 0.0008 30 0.06 0.0006

[400,500) [500,600]

100 200 300 400 500 600 0.0064 0.0016 0.0006 0.0008 寿命∶h 频率 组距 0 (19)因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 设A=“粒子落在中间带形区域”,则依题意得正方形面积为:25×25=625. 又两个等腰直角三角形的面积为:2×21×18×18=324, ∴ 带形区域的面积为:625-324=301. ∴

301( )625P A = . (20)
(Ⅰ) f (Ⅱ) f

(m,1) (m, n)

= 3 f = f

(m

-1,1) = 32 f

(m

- 2,1) =L= 3m-1 f - 2) + 3?2

(1,1)

= 3m-1.

(m,n

-1) + 3 = f

(m,n
-

f

(m,1) 3(n 1) (7,7)

3m 1 3(n 1) =L= + - =

+ - . = 37 + 21 = 2208,

(Ⅲ) f 由于f

= 36 +18 = 747, f

(8,8)

(7,7)<2006,

f

(8,8)>2006,

∴不存在正整数 n,使得 f (n, n)=2006

高中数学必修 4 测试试卷
一.选择题: (共.40 分) ? 1. 的正弦值等于 3 ( A)
3 2

( ( C) ?
3 2
70



( B)

1 2

( D) ?

1 2

2.215°是 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 3.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 cos? 的值为 4 3 (A)4 (B)-3 (C) (D) ? 5 5 4.若 sin ? <0,则角 ? 的终边在 (A)第一、二象限 (B)第二、三象限 (C)第二、四象限 (D)第三、四象限 5.函数 y=cos2x 的最小正周期是 ? ? (A) ? (B) (C) (D) 2? 2 4

















6.给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② AB ? BC ? AC ;③ AB 0  -AC ? BC ; ④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ( ) ( )

7.向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 (A) a ∥ b (C) a 与 b 的夹角为 60° 8. 化简 1 ? sin2160? 的结果是 (A) cos160? (B) ? cos160? (C) ? cos160? (B) a ⊥ b (D) a 与 b 的夹角为 30°

( (D) ? cos160? (

)

9. 函数 y ? 2 sin(2x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是



? ? 的奇函数 (B) 周期为 的偶函数 4 4 ? ? (C) 周期为 的奇函数 (D) 周期为 的偶函数 2 2
(A) 周期为 10.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此 函数的解析式为 (A) y ? 2 sin( 2 x ?
2? ) 3

( (B) y ? 2 sin( 2 x ?



?
3

)

x ? ? (C) y ? 2 sin( ? ) (D) y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 二.填空题: (共 20 分, 请将答案直接填在题后的横线上。 ) 11.已知点 A(2,-4) ,B(-6,2) ,则 AB 的中点 M 的坐标为



12.若 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y =
71



13.若 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ?



14.已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,那么 a ? b ? a ? b = 3




15.函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x 的值域是 y ?

三.解答题(共.40 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 16. 用五点作图法画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ?的简图. 17.求值: (1) tan( ?
23? ); 6

(2) sin 75 ?
1 10

18. 已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

,cos ? =

1 5

,求 ? ? ? 的值.

19.设 OA ? (3,1) , OB ? (?1,2) , OC ? OB , BC ∥ OA ,试求满足 。 OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标(O 为坐标原点) 20.已知对任意平面向量 AB ? ? x , y ? , 把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转?角得到 向量 AP ? ? x cos? ? y sin? , x sin? ? y cos? ? ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针 方向旋转 ... ?角得到点 P. (1)已知平面内点 A(2,1) ,点 B( 2 ? 4 2 ,1 ? 2 2 ).把点 B 绕点 A 沿逆时针 ... 方向旋转
? ?? ? ??
? ??

?
4

后得到点 P,求点 P 的坐标;

(2)设平面内曲线 C 上的每一点绕坐标原点 O 沿顺时针 方向旋转 ... 轨迹是曲线 x 2 ? y 2 ? 3 ,求原来曲线 C 的方程.

? 后得到的点的 4

参考答案
一.选择题: 题号 1 2 答案 A C 二.填空题: 3 C 4 D 5 A 6 B 14. 7 B 8 B 9 C 10 A

11. (-2,-1) 12. _ -6 __ 13._ -3 三.解答题: 16.略

21

15____[-1,3] ___

72

17.解: (1) tan( ?

23? ? ? 3 ) ? tan(?4? ? ) ? tan ? 6 6 6 3

(2)原式= sin(45? ? 30?) ? sin 45? cos30? ? cos45? sin 30?

= 18.

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

解: ?? , ? 为锐角, 且 cos ? ? ? sin? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 1 , cos ? ? 10 5

3 ; 10 2 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? .?? 6 ' 5 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ? 9 ' 1 1 3 2 ? ? ? ? 10 5 10 5 ?? 2 ??12 ' 2

?? ? ? ? (0, ? ) 3? ?? ? ? ? .??14 ' 4

? ?OC ? OB ? 0 ?( x, y ) ? (?1.2) ? 0 19. 解:设 OC ? ( x, y) ,由题意得: ? ?? ? ?( x, y ) ? (?1,2) ? ? (3,1) BC ? ? OA ?
?x ? 2 y ? x ? 14 ? ? ? x ? 1 ? 3? ? ? ? OC ? (14,7) y ? 7 ? ?y ? 2 ? ? ?

OD ? OC ? OA ? (11 ,6)
20. 解:(1) 设 P(x,y),
? ??

则 AP ? ? x ? 2, y ? 1? ,

? ??

AB ? 4 2 ,?2 2 ,

?

?

由题意,得:
? ??

? ? ? ?? ? AP ? ? 4 2 cos ? 2 2 sin ,4 2 sin ? 2 2 cos ? ? ?6,2? 4 4 4 4? ?
x-2=6,y-1=2, ∴x=8,y=3.



73

(2)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点, OP 绕绕坐标原点 O 沿顺时针方向旋转

? ??

? 后,点 P 的坐标为(x’,y’) ,则: 4

? ? ? ? x ? x' cos 4 ? y' sin 4 ? ? ? ? y ? x' sin ? y' cos 4 4 ?
又因为 x'2 ? y'2 ? 3 所以
3 . 2x

? 2 ?x ? y? x' ? ? ? 2 即? ? y' ? 2 ? y ? x ? ? 2 ?
1 ? x ? y ?2 ? 1 ? y ? x ?2 ? 3 2 2

化简得: y ?

高二数学必修 5 测试题
一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1.在 Δ ABC 中,已知 a=1,b= 3 , A=30°,则 B 等于 A、60° B、60°或 120° C、30°或 150° D、120° 2.等差数列{an}中,已知 a1 = ( ( ) ) ) )

1 , a 2 ? a5 =4,an=33,则 n 为 3

A、50 B、49 C、48 D、47 3.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 ( A、15 B、17 C、19 D、21 4.三个数 a,b,c 既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( A、 b ? a ? c ? b B、 b ? ac
2 0

C、 a ? b ? c
2

D、 a ? b ? c ? 0

5.在三角形 ABC 中,已知 C = 120 ,两边 a , b 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两根, 则 c 等于 ( ) A、 5 6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? 1? ,则 a5 的值为 A、80 B、40 C、20 D、10 a b 7.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是 A、18 B、6 8.若 b<0<a, d<c<0,则 A、ac > bd B、 C、2 3 D、2 3 ( D、a-c > b-d ) . )
4

B、 7

C、

11

D、 13 ( ( ) )

a b ? C、a + c > b + d c d 9.数列 {an } 满足 an?1 ? an ? n ,且 a1 ? 1 ,则 a8 ? (

A.29 B.28 C.27 D.26 10.为测量一座塔的高度,在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为 30 ? ,测得 塔基的俯角为 45 ? ,那么塔的高度是( )米. A. 20(1 ?

3 ) 3

B. 20(1 ?

3 ) 2

C. 20(1 ? 3)

D. 30

74

11.在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,则 ?ABC 是 ( ) . A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 12 .等差数列 {an } 满足 7a5 ? ?5a9 ,且 a1 ? ?17 ,则使数列前 n 项和 Sn 最小的 n 等于
2 2 2 2

( ) . A.5 B.6 二.填空题(共 4 题,每题 4 分) 13.已知 0<2a<1,若 A=1+a , B=
2

C.7

D.8

1 , 则 A 与 B 的大小关系是 。 1? a 14 . 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? n2 ?10 n ( n ? 1 ,, 2 , 3? , ) 则此数列的通项公式


1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3 16. ?ABC 中, a、b、c 分别是 ?A、?B、?C 的对边,下列条件 ① b ? 26 , c ? 15, C ? 23? ; ② a ? 84 , b ? 56 , c ? 74 ; ③ A ? 34? , B ? 56? , c ? 68 ; ④ a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? 能唯一确定 ?ABC 的有 (写出所有正确答案的序号) .
15.在 △ ABC 中,若 tan A ? 三.解答题(共 6 题,17,18,19,20,21 每题 12 分,22 题 14 分) 17、已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为 s n , s k =2550. (1)求 a 及 k 的值; (2)求



1 1 1 ? ?? ? s1 s2 sn

18 、 设 {an } 是 一 个 公 差 为 d (d ? 0) 的 等 差 数 列 , 它 的 前 10 项 和 S10 ? 110 , 且 满 足

a22 ? a1a4 . 求数列 {an } 的通项公式.
A

在 △ ABC 中 , 已 知 B ? 45? , D 是 BC 上 一 点 , B D AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3 ,求 AB 的长. 1 3 20.在 △ ABC 中, tan A ? , tan B ? . 4 5 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 19 .

C

21.某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后 侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少
75

2

时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

22.已知等比数列{an}满足 a1+a6=11,且 a3a4= (2)如果至少存在一个自然数 m,恰使

32 . 9

(1)求数列{an}的通项 an;

4 2 a m ?1 , a m 2 ,am+1+ 这三个数依次成等差数列,问 9 3

这样的等比数列{an}是否存在?若存在,求出通项公式;若不存在,请说明理由.

答案
一选择题 BABDB 一. 填空题 13. CBCAA A<B 14. CB 2n-11 15. 16. ②③④.

10 2 三. 解答题 17. (1) 设该等差数列为 ?an ? , 则 a1 ? aa, 2 ? a 4 , 3? 3 a

, 由已知有 a ? 3a ? 2 ? 4 ,

解得 a1 ? a ? 2 ,公差 d ? a2 ? a1 ? 2 ,将 s k =2550 代入公式 sk ? ka1 ?

k ? 50, k ? ?50 (舍去) ? a ? 2, k ? 50 。 n(n ? 1) 1 1 1 1 ?d ,得 sn ? n(n ? 1) , ? (2)由 sn ? n?a1 ? ? ? 2 sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? ? = n(n ? 1) s1 s2 sn 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 1 ) = (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 1 =1 ? n ?1 18. 解:设数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d ,
∵ a2 ? a1a4 ,即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,
2 2

k (k ? 1) ?d ,得 2

整理,得 a1 ? 2a1d ? d ? a1 ? 3a1d
2 2 2

∴ d (a1 ? d ) ? 0 , 又 d ? 0 ,∴ a1 ? d ,
76

又 S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d ? 55a1 ? 110 , 2 ∴ a1 ? d ? 2 ,

数列 {an } 的通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . 19.解:在 ?ADC 中,由余弦定理得 cos ?ADC ? ∵ ?ADC ? (0 , ? ) ,∴ ?ADC ? 120? , ∴ ?ADB ? 60? , 在 ?ABD 中,由正弦定理得 AB ? 20.解: (Ⅰ)∵ C ? ? ? ( A ? B) ,

32 ? 52 ? 72 1 ?? , 2 ? 3? 5 2

AD sin ?ADB 5sin 60? 5 6 . ? ? sin B sin 45? 2

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又∵ 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)∵ C ? ? , 4 ? AB 边最大,即 AB ? 17 ? 又 tan A ? tan B ,A ,B ? (0 , ) , ? 所以 ? A 最小, BC 边为最小边. sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
17 . 17 AB BC AB sin A ? ? 2. 由 得: BC ? sin C sin A sin C 所以,最小边 BC ? 2 .
得 sin A ? 21.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,蔬菜的种植面积 S 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808? 2(a ? 2b). 所以 S ? 808? 4 2ab ? 648 (m2 ). 当 a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648 (m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种 2 植面积为 648m .

32 ? ?a1 ? a1 q 5 ? 11, 1 a1 ? , ? ? ? ? ?a1 ? , 3 或? 22.解: (1)由题意得 ? 3 32 ? ? 2 3 ?a1 q ? a1 q ? ?q ? 1 ? ?q ? 2. 9 ? ? 2 ?

77

1 32 1 n ?1 1 ( ) ? ×26-n 或 an= ·2n-1. 3 3 2 3 1 n-1 (2)对 an= ·2 ,若存在题设要求的 m,则 3 1 1 m-1 2 2 m-2 1 m 4 2( ·2 ) = · ·2 + ·2 + . 3 3 3 3 9
∴an= ∴(2 ) -7·2 +8=0. m ∴2 =8,m=3. 对 an=
m 2 m

1 6-n 6-m 2 6-m ·2 ,若存在题设要求的 m,同理有(2 ) -11·2 -8=0. 3
2

而 Δ =11 +16×8 不是完全平方数,故此时所需的 m 不存在. 综上所述,满足条件的等比数列存在,且有 an=

1 n-1 ·2 . 3

78


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