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高一数学立体几何练习题及部分答案汇编


立体几何试题
一.选择题(每题 4 分,共 40 分)
1.已知 AB//PQ,BC//QR,则∠PQP 等于( A
30 0

) D 以上结论都不对

B

30 0

C

1500

2.在空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线 m//平面 ? ,直线 n 在 ? 内,则 m 与 n 的关系为( ) A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面 ? 外一点,作与 ? 平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0 个或 1 个 C 1个 D 0个 6.如图,如果 MC ? 菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直

7.经过平面 ? 外一点和平面 ? 内一点与平面 ? 垂直的平面有( A 0个 B 1个 C 无数个 D 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 ? ? ? 成立的一个条件是( A C
m // n, n ? ? , m ? ? m ? n, ?

) 1 个或无数个

)

B

m // n, n ? ? , m ? ?

? ? m, n ? ?

D

m ? n, m // ? , n // ?

10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

二.填空题(每题 4 分,共 16 分)
11.已知 ? ABC 的两边 AC,BC 分别交平面 ? 于点 M,N, 设直线 AB 与平面 ? 交于点 O, 则点 O 与直线 MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个, 过平面外一点与该平面平行的直线 有 _____________条 13.一块西瓜切 3 刀最多能切_________块 14.将边长是 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得折起后 BD 得长为 a,则三棱锥 D-ABC 的体积为___________

三、 解答题
15(10 分)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱 AA 1 和棱 CC1 上的点,且

AE ? C1 F 。求证:四边形 EBFD1 是平行四边形

16(10 分)如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点, 证明:直线 PC 与平面 ABD 垂直
P D

C A

B

17(12 分)如图,正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a,则侧棱长为 2a,E,F 分别为 AC,AD 上 的动点,求截面 ?BEF 周长的最小值和这时 E,F 的位置.

A F E

D B C

18(12 分)如图,长方形的三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方体对角线 AC ? 的长
D1 C1

A1 a

B1 D c C

A

b

B

答案 1.D 2.B

3.D 4.C

5.C

6.C 3. 7

7.D 8.D 9.A 10.D 4
2 3 a 12

1 三点共线 2 无数 1 证明:

无数

AE ? C1 F

AB ? C1D1 ?EAB ? ?FC1D1
? ?EAB ? ?FC1D1

? EB ? FD1
过 A1 作 AG // D1F 1 又由 A1E ∥ BG 且 A1E = BG 可知 EB // AG 1

? EB // D1F
∴四边形 EBFD1 是平行四边形 2 ∵ AP ? AC D 为 PC 的中点 ∴ AD ? PC ∵ BP ? BC D 为 PC 的中点 ∴ BD ? PC ∴ PC ? 平面 ABD ∴ AB ? PC
3 11 提示:沿 AB 线剪开 ,则 BB? 为周长最小值.易求得 EF 的值为 a ,则周长最小值为 a . 4 4
2

3

AC?? 4 解: ?

? ? AC ? ? ? CC??
2
2

2

? ? AB ? ? ? BC ? ? (CC ?) 2
2

? a 2 ? b2 ? c 2

15(10 分)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱 AA 1 和棱 CC1 上的点,且

AE ? C1 F 。求证:四边形 EBFD1 是平行四边形

6(10 分)如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为 PC 的中点, 证明:直线 PC 与平面 ABD 垂直
P D

C A

B

17(12 分)如图,正三棱锥 A-BCD,底面边长为 a,则侧棱长为 2a,E,F 分别为 AC,AD 上 的动点,求截面 ?BEF 周长的最小值和这时 E,F 的位置.

A F E

D B C

18(12 分)如图,长方形的三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方体对角线 AC ? 的长
D1 C1

A1 a

B1 D c C

A

b

B

答案 1 证明:
AE ? C1 F

AB ? C1D1 ?EAB ? ?FC1D1
? ?EAB ? ?FC1D1

? EB ? FD1
过 A1 作 AG // D1F 1 又由 A1E ∥ BG 且 A1E = BG 可知 EB // AG 1

? EB // D1F
∴四边形 EBFD1 是平行四边形 4 ∵ AP ? AC D 为 PC 的中点 ∴ AD ? PC ∵ BP ? BC D 为 PC 的中点 ∴ BD ? PC ∴ PC ? 平面 ABD ∴ AB ? PC
3 11 提示:沿 AB 线剪开 ,则 BB? 为周长最小值.易求得 EF 的值为 a ,则周长最小值为 a . 4 4

5

4 解: ?

AC?? ? ? AC ? ? ? CC??
2 2
2

2

? ? AB ? ? ? BC ? ? (CC ?) 2
2

? a 2 ? b2 ? c 2

高一数学必修 2 立体几何测试题
试卷满分:100 分 考试时间:120 分钟 班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________

第Ⅰ卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1、线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 与平面 ? 的位置关系是 A、 AB ? ? B、 AB ? ? C、由线段 AB 的长短而定 2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、以上都不对

D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点

3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交 C、异面

D、以上都有可能

4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是

DC 成 45 角 D、 AC A、 AC 1 1 ? AD B、 D 1C1 ? AB C、 AC1 与 1 1与B 1C 成 60 角
5、若直线 l∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A、l∥a B、 l 与 a 异面 C、 l 与 a 相交 D、 l 与 a 没有公共点

6、下列命题中: (1)平行于同一直线的两个平面平行; (2)平行于同一平面的两个平面平行; (3)垂直 于同一直线的两直线平行; (4)垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4 7、在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果与 EF、GH 能 相交于点 P ,那么 A、点 P 不在直线 AC 上 B、点 P 必在直线 BD 上 C、点 P 必在平面 ABC 内 D、点 P 必在平面 ABC 外 8、a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若 b ? M,a ∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正确命题的个数有 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 9、已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? ,? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的距离为 4, 那么 tan ? 的值等于 A、

3 4

B、

3 5

C、

7 7

D、

3 7 7

A' B'

10、如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 P AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为

C' 和 CC1 上, Q

A B

C

A、

V 2

B、

V 3

C、

V 4

D、

V 5

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 _____ S正方体 (填”大于、小于或等于”). 12、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为 13、已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC ? BD ,平
A1 B1 C1 D1

行则四边形

ABCD 一定是 . 14、如图,在直四棱柱 A1B1C1 D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD _________时,有 A1 B⊥B1 D1.(注:填上你认为正确的一种条件 所有可能的情形.)

满 足 条 件 即可, 不必考虑
C

D A

第Ⅱ卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

9

B 10

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11、 12、 13、 14、

三、解答题(共 54 分,要求写出主要的证明、解答过程)
15、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7 分)

16、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥FG. A 求证:EH∥BD. (8 分)
E B F H D G C

17、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .(8 分)

S

D A C B

18、一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加 工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (9 分)

10 5 x E

19、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角线的交
A

D

D1 A1 D

O B

C F

C1 点.

求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . (10 分) 1

B1

C O B

A

20、已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ ADB=60 ° , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且 (Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? (12 分)

A

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD
E C F D

B

高一立体几何试题
一、选择题:(每题 5 分) 1.下列说法中正确的个数为 ( ) ①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥, 得到一个圆锥和一个圆 台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等, 则该棱锥可能是六棱锥 ⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图,一几何体的三视图如下:则这个几何体是 ( ) A. 圆柱 B. 空心圆柱 C. 圆 D. 圆锥

正 视 图

侧视图
主视图

y?

O 俯视图

450

x?

3.一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形,且梯形 OA B C 的面积为 2 ,则原梯形的面积为
/ / /

主视图

( A.

)

2

B.

2
128? 3

C.

2 2
64?

D.

4


4. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2? ,则圆锥的体积是 ( A.

64? 3

B

C

D

128 2?

5. 一个圆台的上、下底面面积分别是 1 cm2 和 49 cm2 ,一个平行底面的截面面积为 25 cm2 ,则这个 截面与上、下底面的距离之比是 A 2: 1 B. 3: 1 C. ( ) D.

2: 1

3: 1

6. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为 3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的 表面积是 ( ) A.

20 2 ?

B.

25 2 ?

C.

50?

D. 200? ( )

7. 下列命题中正确的个数是

①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥? ②若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知直线 l ? 平面? , 有以下几个判断: ①若 m ? l , 则 m//? ; ②若 m ? ? , 则 m//l ; ③若 m//? , 则 m ? l ;④若 m//l ,则 m ? ? .上述判断中正确的是 ( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 如图是正方体的展开图,则在这个正方体中,以下四个命题中正确的序号是( ① BM 与 ED 平行. ② CN 与 BE 是异面直线.



N
D

③ CN 与 BM 成 60?角.④ DM 与 BN 垂直. A. C. ①②③ ②④ B. D. ③④ ②③④

C

M

E

10.在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,

A

B
F

若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB ,则 AB 与 CD 所成的角的度数为 A. 30
0





B. 45

o

C. 60

o

D. 90

o

11. 在 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB= ( A. 30
0

3 , B1B=BC=1 ,则 面 BD1C 与面 AD1D 所成 二面 角的大 小为

) B. 45
o

C. 60

o

D. 90

o

B

12. 蚂蚁搬家都选择最短路线行走,有一只蚂蚁沿棱长分别为 1cm,2cm,3cm 的长方体木块的顶点 A 处沿表面达到顶点 B 处 (如图所示) ,这只蚂蚁走的路程是( ) A.

14cm

B.

3 2cm

C.

26cm

D.1+ 13cm

二、填空题(每题 5 分) 13. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为________________. 14.已知 a, b 是一对异面直线,且 a, b 成 70 角, P 为空间一定点,则在过 P 点的直线中与 a, b 所 成的角为 70 的直线有 15. 三个平面可将空间分成 条。 部分(填出所有可能结果) 。

16.如果直线 a, b 和平面 ? 满足 a ∥ ? , b ∥ ? 那么直线 a, b 的位置关系是 三.解答题。 (17 题 10 分,其余每题 12 分) 17. 已知:四边形 ABCD 是空间四边形,E, H 分别是边 AB,AD 的中点,F, G 分别是边 CB,CD 上的点, 且 BF ? DG ? 2 ,求证 FE 和 GH 的交点在直线 AC 上.
BC DC 3

A E B H D F C G

18. 已知圆台的上、下底面半径分别是 2、6,且侧面面积等于 积之和. (Ⅰ)求该圆台的母线长; (Ⅱ)求该圆台的体积。

两底面面

19.如图,已知△ABC 是正三角形,EA、CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a, F 是 BE 的中点,求证: (1) FD∥平面 ABC;(2)AF⊥平面 EDB E

D F A C

0 20.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 900 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,

求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

21. 三棱柱中 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A 垂直于底面 ABC ,B1C1=A1C1,,AC1⊥A1B, M,N 分别为 A1B1,AB 中点,求证: (1)平面 AMC1∥平面 NB1C C1 (2)A1B⊥AM. M B1

A1

C N B

A

22 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90 ? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 当 D 为 PB 的中点时, 求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明 .

理由.

高一数学必修 2 立体几何测试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ACDDD BCBDB 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线 A1C1 与 B1D1 互相垂直

三、解答题(共 74 分,要求写出主要的证明、解答过程) 15、解:设圆台的母线长为 l ,则 圆台的上底面面积为 S上 ? ? ? 22 ? 4? 圆台的上底面面积为 S下 ? ? ? 52 ? 25? 所以圆台的底面面积为 S ? S上 ? S下 ? 29? 又圆台的侧面积 S侧 ? ? (2 ? 5)l ? 7? l
于是 7? l ? 25?

1分 2分 3分 4分 5分
6分 7分

29 为所求. 7 16、证明: EH FG, EH ? 面 BCD , FG ? 面 BCD ∴EH∥面 BCD 又 EH ? 面 BCD ,面 BCD 面 ABD ? BD ,
即l ? ∴EH∥BD 17、证明:

4分 8分 1分 3分

? B C? A C ?ACB ? 90 ? S A? B C 又 SA ? 面 ABC

? BC ? 面 SAC ? BC ? AD 又 SC ? AD, SC BC ? C ? AD ? 面 SBC
18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm . 在 Rt△EOF 中,

4分 6分 8分

EF ? 5cm, OF ?
所以 EO ?

1 xcm , 2

2分

1 25 ? x 2 , 4

5分

于是 V ?

1 2 1 x 25 ? x 2 3 4

7分 9分

依题意函数的定义域为 {x | 0 ? x ? 10} 19、证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 AC 1 1

B1D1 ? O1 连结 AO1 , ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 ? A1 ACC1 是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 AC 1分 1 1 ? AC 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO 3分 ? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1 ∴C1O∥面 AB1D1 5分 (2) CC1 ? 面 A1B1C1D1 6分 ?C C 1 ? B 1 D ! 又 AC 7分 1 1 ?B 1D 1, ?B 1D 1? 面 A 1 C1 C 8分 即AC ? B1D1 1 同理可证 AC 9分 ? AB1 , 1 又 D1B1 AB1 ? B1 10 分 ? 面 AB1D1 ? AC 1

20、证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?

2分

5分 7分

2, AB ? 2 tan60? ? 6,

9分

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

11 分 12 分

7

AC

7

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

高一立几复习题(一)
1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 ? 外”为 2.右图所示的直观图,其原来平面图形的面积是 3.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的侧面积为 。
4

A 2 O 2
45?

B

3 3
正视图 侧视图 俯视图

4.a,b,c 分别表示三条直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若 b ? M,

a∥b, 则 a∥M; ③若 a⊥c, b⊥c, 则 a∥b; ④若 a⊥M, b⊥M, 则 a∥b.其中不正确命题的有
序号) 5.已知正方体外接球的体积是

(填

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3
条;经过一点和一平面垂直的直线有 () 条.

6. 经 过 一 点 和 一 直 线 垂 直 的 直 线 有 条;经过平面外一点和平面平行的直线有

7. 在棱长为 1 的正方体上, 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下 的凸多面体的体积是 8.PA 垂直于⊿ABC 所在的平面,若 AB=AC=13,BC=10,PA=12,则 P 到 BC 的距离为 9.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=a,AB=b,则 AA1 到对角面 DD1B1B 的距离是 . .

10. 下列四个正方体图形中, A 、 B 为正方体的两个顶点, M 、 N 、 P 分别为其所在棱的中点,能得出

AB // 平面MNP 的图形的序号是

.

11.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题: (1) 如果m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交 . (2)m∥β,m⊥n,则 n⊥β. (3)如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面有且只有一个. (4)若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ? 且n // ? . 其中正确的命题是 ▲ .

12.正方体的全面积是 6a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是______,体积是_______. 13.正四面体的四个顶点都在表面积为 36π 的一个球面上,则这个四面体的高等于________. 14.棱长为 a 的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值,则这个定值等于_________.

15.某师傅需用合板制作零件,其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm) ,图中的水平线与竖线垂 直. (1)作出此零件的直观图; (2)若按图中尺寸,求做成的零件用去的合板的面积.(制作过程合 板的损耗和合板厚度忽略不计). 2 2

1
主视图

1
左视图

1 1
俯视图

16 已知 Rt⊿ABC 中,∠C=90?,C∈?,AB∥平面?,AB=8,AC、BC 与平面?所成角分别 30?、60?,求 AB 到平面?的距离. A B

?

C

17.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,此三棱锥内有一个球和四个面都相切. (1)求棱锥的全面积; (2)求球的体积. A

D B

.

18.在四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,问底面的边 BC 上是否存在点 E, (1)使得∠PED=900; (2)使∠PED 为锐角.证明你的结论. P

A

D

B

Q

C

19. 三棱锥各侧面与底面成 45° 角,底面三角形各角成等差数列,而最大边和最小边的长是方程

3x 2 ? 27x ? 32 ? 0 两根,求此三棱锥的侧面积和体积.

20.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥底面 ABCD 于 A,E、F 分别是 AB、PD 之中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)若二面角 P-CD-B 为 45° ,求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)在(2)的条件下,若 AD=2,CD= 2 2 ,求 F 点到平面 PCE 距离. P F A E D

立体几何测试题
1.[原创]以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A.球的三视图总为全等的圆 B.正方体的三个视图总是正三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 2.[原创]圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A. ? S B . 2? S C . 4? S D.



2 3 ?S 3

P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点.那么,正方体的 3.正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,
过 P 、 Q 、 R 的截面图形是( A.三角形 ) 。 C.五边形 D.六边形 )

B.四边形

4.[改编]将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( A.

3 ? 2

B.

2 ? 3

C.

? 6

D.

4? 3


5.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( A.75° B.60° C.45° D.30°

6.正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5 ,则它的侧面积为( A.24 B.12 C. 24 2 D. 12 2



7.设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 l 上两点到 ? 的距离相等,则 l // ? ; ③若 l ? ? , l // ? , 则? ? ? ④若 ? // ? , l ? ? , 且l // ? , 则l // ? .

其中正确的命题是 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 8. 在正四面体 P-ABC 中, D, E, F 分别是 AB, BC, CA 的中点, 下面四个结论中不成立 的是 ( ... A.BC//平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC B.DF⊥平面 PA E D.平面 PAE⊥平面 ABC
?

) 。

9.[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰梯 形,则这个平面图形的面积是 A. ( )

1 2 2 ? B. 2 ? 2 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2 2 2 10. (文科)如图 1,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、 CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角的余弦值是( ) 。
A. 15
5

B.

2 2

C. 10
5

D. 1

(理科)甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢 四面体,中心碳原子与四个氢原子等距离,且连成四线段,两 为θ ,则 cosθ 值为( ) A. ?

D1 A1 E D A F 图1

B1

C1 G C B

原子构成 两所成角

1 3

B.

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2

11.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB=2, AA1 ? 1 则 面 A1 BC 的距离为( ) A.

点 A 到平

3 4

B.

3 2

C.

3 3 4

D. 3

12.[改编]已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 距离是 集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 ( A. )

2 3 的点的 3

3 2 3 5 3 ? ? ? B C. D. 3? 3 3 6 13.正三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱两两垂直,且侧棱长为 a ,则 P 点到面 ABC 的距离是 14.[改编](文科)三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别是 6, 8,10,则 OP 的长为 。 (理科)已长方体的全面积是 8,则其对角线长的最小值是 15.如图 2,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, P 底面各边都相等,M 是 PC 上的一个动点,当点 M 满足 时,平面 MBD ? 平面 PCD.
16.在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点 线;②若两条直线没有共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是 求的命题序号都填上) . (把 B 图2 C 符合要 A M D 都不共

17.[原创]如图 3 所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会 溢出杯子吗?
4cm 12cm

图3

18. 矩形 ABCD 中,AB ? 1, BC ? a(a ? 0) ,PA ? 平面 AC ,BC 边上存在点 Q , 使得 PQ ? QD , 求 a 的取值范围.

19.如图 4,在三棱锥 P-ABC 中, AB ? BC ,

AB ? BC ?

1 PA , 点O,D分别是 AC , PC 的 2
P D
小.

中点, OP ? 底面 ABC . (1)求证 OD //平面 PAB ; (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值的大

A
图4

O

C

B

20. (文科)如图 5,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 ,底面 ABCD 是直角梯形,A 是直角,AB//CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 成角的余弦值。
A1 D1 C1 B1

与 DC 所

D A 图5

C B

(理科)如图 6,在棱长 AB ? AD ? 2 , AA1 ? 3 的长方体 点 E 是平面 BCC1B1 上的点,点 F 是 CD 的中点. (1)试求平面 AB1F 的法向量; (2)试确定 E 的位置,使 D1 E ? 平面 AB1 F 。 B B1

A1 C
1

D1

AC1 中,

A F 图6 C

D

21.[改编]如图 7 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、M、N 分别为棱 DD1、AB、BC 的中点. (1)求二面角 B1 -MN-B 的正切值; (2)画出一个正方体的表面展开图,使其满足“有 4 个正方形相连成一个长方形”这一条件,并求 展开图中 P、B 两点间的距离(设正方体的棱长为 1).

D1

C1

A1
D

B1
P C N

22.一只小船以 10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20 米的桥上,一辆汽车由西向 东以 20 m/s 的速度前进(如图 8) ,现在小船在水平 P 点以南的 40 米处,汽车在桥上 Q 点以西 30 米处 (其中 PQ⊥水面) ,求小船与汽车间的最短距离为.(不考虑汽车与小船本身的大小) . Q

P

图8

参考答案: 1.选 A。画几何体的三视图要考虑视角,对于球无论选择怎样的视角,其三个视图均为全等的圆。 2 .选 C 。圆柱的底面积为 S ,则底面半径 r ?

S

?

,底面圆的周长是 2?r ? 2 ?S ,故侧面积

S 侧 ? (2?r ) 2 ? 4?S 。
3.选 D。通过画图,可以得到这个截面与正方体的六个面都相交,所以截面为六边形。 4.选 C。正方体削成最大的球,即正方体棱长为球的直径, 即 2R ?1 ,

4 ?1? ? 1 R ? ,故 V球 ? ? ? ? ? ? 。 3 ?2? 6 2
5.如图所示,设侧棱与底面所成的角为 ? ,则 A B

3

S

D
O

第 5 题图

C

cos ? ?

OC 2 ? ,所以 ? ? 45 0 。 SC 2

6. 选 A。 由底面边长为 2, 可知底面半径为 2, 由勾股定理可知侧棱长为 2, 所以 S 侧 ? 6 ? 2 ? 2 ? 24 。 7.选 D。命题① ? 和 ? 可能平行;命题②中 l 和 ? 相交。 8.选 C。如图所示:取 DF 的中点 O,易证 ?POA 为二面角 P ? DE ? A 的平面角,因为 P 点在底面 上的射影是底面的中心,故 ?POA 不可能为直角,所以平面 PDF 与平面 ABC 不垂直。 P D C

A

C O H A 第 9 题图 B 且

B 第 8 题图 9.选 B。还原成平面图形为如图所示的直角梯形,

AB ? 1 ? 2 , AD ? 2 , DC ? 1 ,故 S ?

1 ? (1 ? 1 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 。 2

10. (文科)如图所示,连结 B1G 、 B1 F ,则 ?B1GF 或其补角是异面直线 A1E 与 GF 所成的角,由 余弦定理: ?B1GF ?

B1G 2 ? B1 F 2 ? GF 2 2?5?3 10 ,所以 ? ? arccos 10 。 ? ? 5 2 B1G ? B1 F 5 2 2? 5

D1 A1 E D A (理 即正四面 F

B1

C1 G

P

O C B A H B
第 10 题(理)图

C D 科)选 A。 体的各顶点

第 10 题(文)图

与中心连线所成的角,如图,设棱长为 1,则有: AD ?

3 , 2
A1 B1

3 6 PH ? PA 2 ? AH 2 ? , , 设 3 3 OA ? OB ? OC ? OD ? OP ? r , 在 Rt?O A H 中 , 由 AH ?
OA2 ? OH 2 ? AH 2 得: r ?

C1

r2 ? r2 ?1 1 6 ?? 。 ,故 cos ? ? 2 4 3 2r

A B
第 11 题图

C

11 . 设 点 A 到 平 面 A1 BC 的 距 离 为 h , 则 由

S ?ABC ? AA1 3 3 。 ? ? 1 S ?A1BC 2 ? 2 ? 5 ?1 2 2 3 12.曲线在过 A 的三个面上都是以 A 为圆心, 为半径的四分之一圆弧,所以曲线的总长度为 3 3 2 3 ? 2? ? ? 3? 。 4 3 2 2 3 1 1 a。 13.设 P 点到面 ABC 的距离为 h ,由体积公式可得: 2a ? h ? a 3 ,故 h ? 3 3 6 14.如图,构造长方体,其中侧面 AO,BO,A1O 所在的 平面 C B 即为已知的三个两两垂直的平面,则长方体的长、宽、高分别 为 6, P 8 , 10 , 而 OP 的 长 即 为 长 方 体 的 体 对 角 线 的 长 , 所 以 A O B1 2 OP =36+64+100=200. 故 OP ? 10 2 。 A1 ( 理 科 ) 设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 a , b, c , 则 第 14 题图 ab ? bc ? ca ? 4 , 对 角 线

V A? A1BC ? V A1 ? ABC 可得: h ?

? ?

l ? a2 ? b2 ? c2 ?

2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 2ab ? 2bc ? 2ca ? ?2 2 2

15.答案:BM⊥PC(或 DM⊥PC) .底面四边形 ABCD 各边都相等,所以四边形 ABCD 是菱形, 故 AC⊥BD,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,又 PA ? AC ? A ,所以 BD⊥平面 PAC,即有 PC⊥ BD,故要使平面 MBD⊥平面 PCD,只须 BM⊥PC,或 DM⊥PC. 16.答案②.①的逆命题是: “若四点中的任何三点都不共线,则这四点不共面” ,为假命题,反例 可以找正方形,没有三点共线,但四个顶点共面;②的逆命题是: “若两条直线是异面直线,那么这两条 直线没有公共点” ,由异面直线的定义知这个命题正确. 17.解:V半球 ?

1 4 128? 1 1 1 ;V锥 ? ? Sh ? ? r 2 h ? ? ? 4 2 ? 12 ? 64? 。因为 V半球 ? V锥 , ? ? ? 43 ? 2 3 3 3 3 3

故冰淇淋融化了,不会溢出杯子。 18.如图,连结 AQ,∵PQ⊥QD,PA⊥QD,PQ∩PA=P,∴QD⊥平面 PQA,于是 QD⊥AQ,∴在 线段 BC 上存在一点 Q,使得 QD⊥AQ,等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有交点,∴

a ? 1 , a ? 2. 2

P

P

D

A B

D C
A O F E 第 19 题图 B C

Q
第 18 题图

19. (1)

O、D分别为 AC 、 PC 的中点.∴ OD // PA ,又 PA ? 平面 PAB , OD ? 面PAB ,

∴ OD // 平面 PAB . (2)

AB ? BC , OA ? OC ,∴ OA ? OB ? OC, 又

OP ? 平面 ABC ,∴ PA ? PB ? PC .取

BC 中点E, 连结 PE ,则 BC ? 平面 POE .作 OF ? PE 于 F,连结 DF ,则 OF ? 平面 PBC ,∴ ?ODF
是 OD 与平面 PBC 所成的角.在 Rt ?ODF 中, sin ?ODF ?

OF 210 .所以 OD 与平面 PBC 所成 ? OD 30

的角正弦值为

210 . 30 20. (文科)由题意 AB∥CD,∴∠C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角。连结 AC1 与 AC,在 Rt

△ADC 中,可得 AC= 5 。 又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3。在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H,得∠CHB=90° ,CH=2,HB=3, ∴CB= 13 。又在 Rt△CBC1 中,可得 BC1= 17 ,在△ABC1

3 17 3 17 ,∴∠C1BA=arccos .所以异面直 17 17 A1 3 17 与 DC 所成角的余弦值大小为 . 17 (理) 如图, 建立空间直角坐标系 A-xyz, 则A (0, 0, 0) ,
中,cos∠C1BA=
A

D1

C1 B1

线

BC1

D H

C 第 20 题文图 z B

B( 0, 1 2,

3) ,F(1,2,0) ,∴ AB1 ? (2,0,3) , AF ? (1,2,0) 。 ( 1 )设平面 AB1F 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,由

A1 B1 A B x
第 20 题理图

D1 C
1

2x ? ? ?z ? ? 3 , ? AB1 ? n, ? ? AB1 ? n ? 0, ?2 x ? 3z ? 0, ? 得? 即? ∴? , ? x ? 2 y ? 0, x ? ? ? AF ? n , AF ? n ? 0 , ? ? ? y?? , ? 2 ?
∴可取平面 AB1F 的一个法向量为 n ? (6,?3,?4) .

y D F C

(2)∵D1(0,2,3) ,设 E(2,y,z) ,则 D1 E ? (2, y ? 2, z ? 3) ,由(1)知,平面 AB1F 的一个法

?6 ? 2k , ? 向量为 n ? (6,?3,?4) ,∴要使 D1E ? 平面 AB1F,只须使 D1 E // n ,∴令 n ? k D1 E ,即 ?? 3 ? ( y ? 2)k , ∴ ?? 4 ? ( z ? 3)k , ?

? ?k ? 3, ? 5 ? y ? 1, ∴当 E 点坐标为(2,1, ) 时,D1E ? 平面 AB1F. 3 ? 5 ?z ? . 3 ?

21.设棱长为 1,取 MN 的中点 E,连结 BE, B1 E. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 、 N 分别为棱 AB 、 BC 的中点,∴
BM ? BN

D1

C1 B1

A1
D A

P C E N B M 第 21 题(1) P D

, ∴ BE ? MN

, ∵ B1 B ? MN

, ∴

MN ? 平面B1BE , ∴∠ B1 EB 是二面角 B1 ? MN ? B 的平面
角.且 BE= MB 2 ? ME 2 ?

BB 1 2 . tan ?B1 EB ? 1 ? ? 2 2. 4 BE 2 4

D1

?

C B



A1

A ②

(2)展开图如右图所示. P、B 两点间的距离共计 4 种情

13 89 29 17 ; ② PB= ;③ PB= ; ④ PB= . 2 2 2 2 求得其中一个即可.
况 , ① PB=

A1


B1 C1 B1
B

D1
P? D ④

C

第 21 题(2) 22.设经过时间 t 汽车在 A 点,船在 B 点,如图所示, 则 AQ=30–20t,BP=40—10t,PQ=20,且有 AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB,设小船所在平面为α ,AQ,QP 确定平面为β ,记α ∩β =l,由 AQ∥α , AQ ? β 得 AQ∥l, 又 AQ⊥PQ, 得 PQ⊥l, 又 PQ⊥PB, 及 l∩PB=P 得 PQ⊥α .作 AC∥PQ,则 AC⊥α .连 CB,则 AC⊥CB,进而 AQ⊥BP,CP∥AQ 得 CP⊥BP,∴ AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40-10t)2+(30—20t)2=100[5(t—2)2+9] ,t=2 时 AB 最短,最短距 Q A 离为 30 m..

P C B

l

备用题: 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,则 A1C 与 DE 所成的角的余弦值为(



30 15 10 B. C. D. 15 15 6 解:选 A.分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,
A. 设棱长为 2,则 A1 (2,0,2) , E (2,1,0) , C (0,2,0) ,故 有: A1C ? (?2,2,?2) , DE ? (2,1,0) ,由 cos ? ?

10 10 D1
A1 B1 D A 图

C1

A1C ? DE A1C ? DE

R

C ·E B

?

?2 2 15

??

15 15 。所以 A1C 与 DE 所成的角的余弦值为 。 15 15

2.如图,是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数 是 .

主视图

左视图

俯视图

解:这种题型最直接的解决方法就是还原法,根据三视图画出它的立体图形。本题的立体图形如下, 所以正确答案应该是 5 个。

3.已知 A,B,C,D 为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于 2,则球心到平面 BCD 的距离等于_____________。 解: 易知四面体 ABCD 是以棱长为 2 的正四面体, 球心为正面体的中心, 可求得正四面体的高为 球的半径为

6 , 3

3 6 6 6 6 6 ? ? ? ? ,所球心到底面的距离为 。 4 3 4 3 4 12

4.已知平面?与平面?交于直线 l,P 是空间一点,PA⊥?,垂足为 A,PB⊥?,垂足为 B,且 PA=1, PB=2,若点 A 在? 内的射影与点 B 在?内的射影重合,则点 P 到 l 的距离为________. 解:因为“点 A 在? 内的射影与点 B 在?内的射影重合” ,记为 H,则四边形 PAHB 为矩形,所以点 P 到 l 的距离为矩形的对角线,对角线的长度为 5 ,所以 P 到 l 的距离 5 。 5.在 ?ABC 中, BC ? 21 , ?BAC ? 1200 , ?ABC 所在平面外一点到 A、B、C 的距离都是 14,则 点 P 到面 ABC 的距离为 解:由 P 到 A、B、C 的距离知,P 点在底面上的射影 O 为底面的外心,故 2OA ? 即 OA ? 7 3 ,设 P 到面 ABC 的距离为 h ,则 h ? PA2 ? OA2 ? 7 。

21 ? 14 3 , sin120 0

6.在梯形 ABCD 中, ?DAB ? ?ABC ?

?
2

, AB ? BC ? 2 AD ? 4, E , F 分别是 AB、CD 上的点,

AE DF 现沿 EF 将四边形 AEFD 折起, 使 AE ? BE, EG ? BD(如 ? ? ? (0 ? ? ? 1) ,G是BC 的中点. AB DC
图 9-11-4) . (1)求证:平面 AEFD ? 平面 BEFC ; (2)确定 ? 的值并计算二面角 D ? BF ? C 的大小; (3)求点 C 到平面 BDF 的距离. A E D F A E D F

B

· G

C 图 9-11-4

B

· G

C

2 AE ? EF , 折 起 后 : 由 AE ? BE
A E ? 平面

(1)在原图中:

?DAB ? ?ABC ?

?

. ? AB ? BC, AB ? AD .∵
及 已 知 AE ? EF

AE DF , ∴ EF // BC // AD , ? EB FC
, BE

EF ? E

所 以

B E , F AEC ? 平面AEFD,?平面 AEFD ? 平面BEFC .
z A E D F A E D F y

B

· G 图

C

x

B

· G

C

(2) 知 EA, EB, EF 两 两 垂 直 , 建 立 以 E 为 空 间 坐 标 系 原 点 EB, EF , EA 分 别 为 x, y, z 轴 . 则

E (0,0,0), B(4 ? 4?,0,0), C(4 ? 4?, 4,0)



G(4 ? 4? , 2,0), D(0, 2, 4? )



? BD ? (4? ? 4,2,4?), EG ? (4 ? 4?,2,0) ,

EG ? BD , ??(4? ? 4)2 ? 4 ? 0 解 得 ? ?

1 ?1 . 即 2

A(0,0, 2), B(2,0,0), D(2, 2,0), F (0,3,0) , ? BF ? (?2,3,0), BD ? (?2, 2, 2) . 设平面 D B F 的一个法向
量为 n1 ? ( x, y, z) ,由 n1 ? BD ? 0 , n1 ? BF ? 0 ,即 n1 ? (3,2,1) .又平面 BCF 的一个法向量 n2 ? (0,0,1) . ∴ cos ? ?

n1 ? n2 n 1 ? n2

?

14 ,又因为二面角 D ? BF ? C 的平面角为钝角,所以为 ? ? arccos 14 . 14 14

(3) C(2,4,0),? BC ? (0,4,0),?点 C 到面 BDF 的距离为 d ?

BC ? n1 n1

?

8 14

?

4 14 . 7


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