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2016高考数学人教A版(理)复习学案:第二章 函数与基本初等函数I(6)


学案 6 函数的奇偶性与周期性 导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 自主梳理 1.函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有______________,则称 f(x)为奇函数;如果 对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有____________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x) 是偶函数 ? f(x) 的图象关于 ____ 轴对称; f(x) 是奇函数 ? f(x) 的图象关于 _____ ___ 对称. (3) 奇 函数 在对 称的 单调区 间内 有相 同的 单调 性 ; 偶函 数在 对称 的单 调区 间内 有 ________的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= ________,则称 f(x)为________函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的________________. T T (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)= f(x). 1 ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f?x? 1 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f?x? 自我检测 1. 已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数, 则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2011· 茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区 间 [ - 7 , - 3] 上 是 ( ) A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3 . 函 数 y = x - 的 图 象 x ( ) A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 4.(2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+ 2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1), 则 f(-2 012)+f(2 011)的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 ?x+1??x+a? 5.(2011· 开封模拟)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1 1 (1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=x( x + ); 1+x 2 -1 2 2 ? ?x +x, x<0, ? (3)f(x)=log2(x+ x +1);(4)f(x)= 2 ?-x +x,x>0. ? 2 变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x2-x3; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2;

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