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空间向量在立体几何中的应用教案


空间向量在立体几何中的应用
教学目标: (1)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (2)能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 (3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程: 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角



分别为异面直线

的方向向量,则

2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角

? l n 设 是直线 的方向向量, 是平面的法向量,则
3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角 ? (00 ? ? ? 1800 ) 设 分别为平面 的法向量,则 ? 与 互补或相等,

注意:运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标。 (2)求出相关点的坐标。 (3)写出向量坐标。 (4)结合公 式进行论证、计算。 (5)转化为几何结论。

1 例 1:已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= 2 AB,N 为 AB 上一点,
AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 分析:本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题,考 查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

解:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系,如图。

1 1 1 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, 2 ),N( 2 ,0,0),S(1, 2 ,0)
(1)

???? ? ? 1 ??? 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0), 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为CM ?SN ? ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以CM ? SN ???? 1 (II) NC ? (? ,1, 0), 2 ? 设a ? ( x, y, z )为平面CMN的一个法向量, z ? x? y? ?0 ? ? ? 2 则? 令x ? 2, 得a ? (2,1, ?2) ?? 1 x ? y ? 0 ? ? 2 1 -1? ??? ? 2 ? 2 因为|cos ? a SN ? |= 2 2 3? 2 所SN与平面CMN所成的角为45o
例 2:如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB , EF ? FB ,

AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。
(1)求证: FH ∥平面 EDB ; (2)求证: AC ? 平面 EDB ; (3)求二面角 B ? DE ? C 的大小。 分析:本题主要考查了空间几何体的 线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题, 考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解:

?四边形ABCD为正方形, ? AB ? BC , 又 ? EF ? FB, EF // AB,? AB ? FB, 且BC ? FB ? B, ? AB ? 平面FBC ,? AB ? FH , 又BF ? FC , H 为BC中点, ? FH ? BC , 且AB ? BC ? B, ? FH ? 平面ABC.
D H B X E Z F C Y G A

??? ? ???? ???? 如图,以H 为坐标原点,分别以HB、 GH、 HF的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系,
令BH ? 1, 则A(1, ?2,0), B(1,0,0), C(?1,0,0), D(?1, ?2,0), E(0, ?1,1), F (0,0,1).
(1)

?? ? 设AC与BD的交点为G,连接GE、GH,则G(0,-1,0), ? GE ? (0, 0,1), ???? ?? ? ???? 又 ? HF ? (0, 0,1),? GE // HF GE ? 平面EDB,HF ? 平面EDB,? HF // 平面EDB

(2)

??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? AC ? (?2, 2,0), GE ? (0,0,1),? AC ? GE ? 0,? AC ? GE. 又AC ? BD,且GE ? BD=G, ? AC ? 平面EBD.
?? ? 设平面BDE的法向量为n1 ? (1, y1 , z1 ), ??? ? ??? ? ? BE ? (?1, ?1,1), BD ? (?2, ?2, 0). ??? ? ?? ? ? ? BE ?n1 ? 0 ??1 ? y1 ? z1 ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,得y1 ? ?1,z1 ? 0, ? ?? ? ? 2 ? 2 y ? 0 BD ? n ? 0 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? n1 ? ( 1, ? 1,0) ?? ? 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), ??? ? ??? ? ? CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1). ??? ? ?? ? ? CD ? n y2 ? 0 ? ? 2 ?0 由 ? ??? ,即 ? ,得y2 ? 0,z2 ? ?1, ? ?? ? 1 ? y ? z ? 0 CE ? n ? 0 ? 2 2 ? ? 2 ?? ? ? n2 ? ( 1, 0,-1) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , | n1 || n2 | 2 2 2 ?? ?? ? ?? n1 , n2 ?? 60? , 即二面角B-DE-C为60?。
(3)

例 3:如图,在长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1

AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 上的点, CF ? AB ? 2CE ,
(1)求异面直线 EF 与 (2)证明 AF ? 平面 (3)求二面角

A1D 所成角的余弦值; A1ED

A1 ? ED ? F 的正弦值。

分析:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空 间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 解: (1)以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 X 轴,AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系

? 3 ? E ?1, , 0 ? A (0,0, 4) (如图所示) ,设 AB ? 1 ,依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , 1 , ? 2 ?

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? EF ?A1 D 3 ??? ? ? 1 ? cos EF , A1 D ? ??? ?? ? ???? ? ???? ? EF ? ? 0, ,1? 5 EF A1 D ? 2 ? , A1D ? (0, 2, ?4) ,于是 易得 ,
3 A D 所以异面直线 EF 与 1 所成角的余弦值为 5 。

???? ? ? ? 3 ? ??? 1 ? ??? ? EA1 ? ? ?1, ? , 4 ? ED ? ? ?1, , 0 ? 2 ?, 2 ? ? ? (2)证明:已知 AF ? (1, 2,1) ,
???? ???? ???? ??? ? AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E EA 于是 AF · 1 =0, AF · ED =0.因此,

A ED 所以 AF ? 平面 1
?1 y?z ?0 ? ? ??? ? ?2 ? ?u ?EF ? 0 ? ? ?? x ? 1 y ? 0 ? ? ??? ? u ? ED ? 0 ? ? 2 (3)解:设平面 EFD 的法向量 u ? ( x, y, z) ,则 ? ,即 ?
不妨令 X=1,可得

u ? (1, 2 ?1)
? ?

?

。由(2)可知,

AF 为平面 A ED 的一个法向量。
1
?

?

cos
于是

u,AF

?

?

? AF 2 =u = ? ? 3 |u||AF|

sin
,从而

u,AF =

?

5 3

5 A -ED-F 的正弦值为 3 所以二面角 1
本课小结:利用空间向量方法求线线角,线面角,二面角 巩固练习: 1, 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2,BC= 2 2 , E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 .

2. 某组合体由直三棱柱 ABC ? A1B1C1 与正三棱锥 B ? ACD 组成,如图所示,其中,

AB ? BC .它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为 2 2 +1,1, 2 2 +1.

(1)求直线 CA1 与平面 ACD 所成角的正弦; (2)在线段 AC1 上是否存在点 P ,使 B1 P ? 平面 ACD ,若存在,确定点 P 的位置;若不 存在,说明理由.


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