kl800.com省心范文网

高中数学解题基本方法--参数法 大全


高中数学解题基本方法--参数法 高中数学解题基本方法--参数法 -参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 (参数) ,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程 都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就 是要揭示事物之间的内在联系, 从而发现事物的变化规律。 参数的作用就是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已 经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数 提供的信息,顺利地解答问题。 再现性题组: Ⅰ、再现性题组: 1. 设 2 x =3 y =5 z >1,则 2x、3y、5z 从小到大排列是________________。

2. (理)直线 ?

? x = ?2 ? 2t ? ? y = 3 + 2t ?

上与点 A(-2,3)的距离等于 2 的点的坐标是________。

2 2 (文)若 k<-1,则圆锥曲线 x -ky =1 的离心率是_________。

3. 点 Z 的 虚 轴 上 移 动, 则 复 数 C = z 2 + 1 + 2 i 在 复 平 面 上 对 应 的 轨 迹 图 像 为 ____________________。 4. 三棱锥的三个侧面互相垂直,它们的面积分别是 6、4、3,则其体积为______。 5. 设函数 f(x)对任意的 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0, 则 f(x)的 R 上是______函数。(填“增”或“减”) 6. 椭圆

x2 y2 + =1 上的点到直线 x+2y- 2 =0 的最大距离是_____。 16 4
B.

A. 3

11

C.

10

D.

2 2

【简解】1 小题:设 2 x =3 y =5 z =t,分别取 2、3、5 为底的对数,解出 x、y、z,再 用“比较法”比较 2x、3y、5z,得出 3y<2x<5z; (文)已 2 小题: (理)A(-2,3)为 t=0 时,所求点为 t=± 2 时,即(-4,5)或(0,1); 知曲线为椭圆,a=1,c= 1 +

1 1 ,所以 e=- k k

k2 + k ;

3 小题:设 z=bi,则 C=1-b 2 +2i,所以图像为:从(1,2)出发平行于 x 轴向右的 射线; 4 小题:设三条侧棱 x、y、z,则

1 1 1 xy=6、 yz=4、 xz=3,所以 xyz=24,体积为 4。 2 2 2

5 小题:f(0)=0,f(0)=f(x)+f(-x),所以 f(x)是奇函数,答案:减;

6 小题:设 x=4sinα、y=2cosα,再求 d= Ⅱ、示范性题组: 示范性题组:

|4 sin α + 4 cos α ? 2 | 的最大值,选 C。 5

2 2 2 例1. 实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,求 a +b +c 的最小值。

【分析】由 a+b+c=1 想到“均值换元法” ,于是引入了新的参数,即设 a= b=

1 +t 1 , 3

1 1 2 2 2 +t 2 ,c= +t 3 ,代入 a +b +c 可求。 3 3 1 1 1 【解】由 a+b+c=1,设 a= +t 1 ,b= +t 2 ,c= +t 3 ,其中 t 1 +t 2 +t 3 =0, 3 3 3 1 1 1 1 2 ∴ a 2 +b 2 +c 2 =( +t 1 ) 2 +( +t 2 ) 2 +( +t 3 ) 2 = + (t 1 +t 2 +t 3 ) 3 3 3 3 3 1 1 +t 1 2 +t 2 2 +t 3 2 = +t 1 2 +t 2 2 +t 3 2 ≥ 3 3 1 2 2 2 所以 a +b +c 的最小值是 。 3

【注】由“均值换元法”引入了三个参数,却将代数式的研究进行了简化,是本题此种 解法的一个技巧。 本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解,解法是:a 2 +b 2 +c 2 = (a+b+c) 2 -2(ab+bc+ac)≥1-2(a 2 +b 2 +c 2 ),即 a 2 +b 2 +c 2 ≥

1 。 3

两种解法都要求代数变形的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形能力。 例2. 椭圆

x2 y2 1 + =1 上有两点 P、Q,O 为原点。连 OP、OQ,若 k OP ·k OQ =- , 16 4 4
②.求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程。

①.求证:|OP| 2 +|OQ| 2 等于定值;

【分析】 由“换元法”引入新的参数,即设 ?

? x = 4 cos θ ? y = 2 sin θ

(椭圆参数方程) ,参数θ 1 、

θ 2 为 P、Q 两点,先计算 k OP ·k OQ 得出一个结论,再计算|OP| 2 +|OQ| 2 ,并运用“参数 法”求中点 M 的坐标,消参而得。

? x = 4 cos θ x2 y2 【解】 由 + =1, ? 设 , P(4cosθ 1 ,2sinθ 1 ), Q(4cosθ 2 ,2sinθ 2 ), 16 4 ? y = 2 sin θ
则 k OP ·k OQ =

2 sin θ1 2 sin θ2 1 ? =- ,整理得到: 4 cos θ1 4 cos θ2 4

cosθ 1 cosθ 2 +sinθ 1 sinθ 2 =0,即 cos(θ 1 -θ 2 )=0。


1 +cos 2

|OP| +|OQ| =16cos θ 1 +4sin θ 1 +16cos θ 2 +4sin θ 2 =8+12(cos θ θ 2 )=20+6(cos2θ 1 +cos2θ 2 )=20+12cos(θ 1 +θ 2 )cos(θ 1 -θ 2 )=

2

2

2

2

2

2

2

20, 即|OP| 2 +|OQ| 2 等于定值 20。 由中点坐标公式得到线段 PQ 的中点 M 的坐标为 ?

?x M = 2(cos θ1 + cos θ 2 ) , ? y M = sin θ1 + sin θ 2

所以有(

x 2 2 ) +y =2+2(cosθ 1 cosθ 2 +sinθ 1 sinθ 2 )=2, 2

x2 y2 + =1。 即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 8 2
【注】由椭圆方程,联想到 a 2 +b 2 =1,于是进行“三角换元” ,通过换元引入新的参数, 转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法” ,在由中点坐 标公式求出 M 点的坐标后,将所得方程组稍作变形,再平方相加,即(cosθ 1 + cosθ 2 )
2

+(sinθ 1 +sinθ 2 ) 2 ,这是求点 M 轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地,求动点

的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的 x、y 坐标分别表示成为一个或几个参数的 函数,再运用“消去法”消去所含的参数,即得到了所求的轨迹方程。 本题的第一问,另一种思路是设直线斜率 k,解出 P、Q 两点坐标再求: 设直线 OP 的斜率 k,则 OQ 的斜率为-

1 ,由椭圆与直线 OP、OQ 相交于 PQ 两点有: 4k

?x 2 + 4 y 2 ? 16 = 0 4 ,消 y 得(1+4k 2 )x 2 =16,即|x P |= ; ? 1 + 4k 2 ? y = kx
? x 2 + 4 y 2 ? 16 = 0 |8k | 1 ? 2 ,消 y 得(1+ ; ? 1 2 )x =16,即|x Q |= 4k y=? x 1 + 4k 2 ? 4k ?
所以|OP| 2 +|OQ| 2 =( 1 + k
2

?

4 1 + 4k
2

) 2 +( 1 +

|8k | 1 )2 2 ? 2 16k 1 + 4k



20 + 80k 2 =20。即|OP| 2 +|OQ| 2 等于定值 20。 1 + 4k 2
2

在此解法中,利用了直线上两点之间的距离公式|AB|= 1 + k AB 和|OQ|的长。

? |x A -x B |求|OP|

例 3.已知正四棱锥 S—ABCD 的侧面与底面的夹角为
2 β,相邻两侧面的夹角为α,求证:cosα=-cos β。

S E

【分析】要证明 cosα=-cos 2 β,考虑求出α、β的 D 余弦,则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。 【解】连 AC、BD 交于 O,连 SO;取 BC 中点 F,连 SF、 OF;作 BE⊥SC 于 E,连 DE。则∠SFO=β,∠DEB=α。 设 BC=a (为参数), 则 SF= O A B F C

OF a = , cos β 2cos β

SC= SF + FC = (
2 2

a a )2 + ( )2 2 cos β 2



a 1 + cos 2 β 2cos β

SF·BC a2 = × 又 ∵BE= SC 2 cos β

1 a = a 1 + cos 2 β 1 + cos 2 β 2 cos β

a2 2× ? 2a 2 2BE 2 ? BD 2 1 + cos 2 β 在△DEB 中,由余弦定理有:cosα= = =-cos 2 a2 2BE 2 2× 1 + cos 2 β
β。 所以 cosα=-cos 2 β。

【注】 设参数 a 而不求参数 a,只是利用其作为中间变量辅助计算,这也是在参数法中 参数可以起的一个作用,即设参数辅助解决有关问题。 巩固性题组: Ⅲ、巩固性题组: 1. 已 知 复 数 z 满 足 |z| ≤ 1 , 则 复 数 z + 2 i 在 复 平 面 上 表 示 的 点 的 轨 迹 是 ________________。 2. 函数 y=x+2+ 1 ? 4x ? x 2 的值域是________________。 3. 抛物线 y=x 2 -10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2 θ与 x 轴两个交点距离的最大值为 _____ A. 5

B. 10

C.

2 3

D. 3

4. 过点 M(0,1)作直线 L,使它与两已知直线 L 1 :x-3y+10=0 及 L 2 :2x+y-8=0 所 截得的线段被点 P 平分,求直线 L 方程。 5. 求半径为 R 的球的内接圆锥的最大体积。

6. f(x)=(1- a cos x)sinx,x∈[0,2π),求使 f(x)≤1 的实数 a 的取值范围。
2

2
2 3 2 2 2 2 7. 若关于 x 的方程 2x +xlg (a ?31) +lg ( a ? 1 )+lg 2 a =0 有模为 1 的虚根, 求

8a

2a

a ?1

实数 a 的值及方程的根。 8. 给定的抛物线 y 2 =2px (p>0),证明:在 x 轴的正向上一定存在一点 M,使得对于 抛物线的任意一条过点 M 的弦 PQ,有
1 + 1 为定值。 | MP| 2 | MQ| 2


赞助商链接

最新高中数学解题方法大全

高中数学解题方法大全 2 目 录 2 3 3 7 14 19 23 28 32 33 33 33 33...元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ② 数学逻辑方法:分析法...

高中数学解题方法及解析大全

高中数学解题方法及解析大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学解题方法...元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、...

高中数学解题秘籍之参数法

高中数学解题秘籍之参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 (参数) ,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。...

高中数学解题基本方法

高中数学解题基本方法_数学_高中教育_教育专区。很好用 美国著名数学教育家波利亚...元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、...

高中数学解题常用的11种方法 高中数学解题思维归纳

高中数学解题常用的 11 种方法 参数法 参数法是指在解题过程中, 通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新 变量(参数) ,以此作为媒介,再进行分析和综合...

高中数学解题学科方法_参数法

学科方法?参数法 参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现.参数是解析几何中最活跃的元素, 也是解题的一种主要方法.解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点....

一篇收全高中数学解题基本方法

一篇收全高中数学解题基本方法_数学_高中教育_教育专区...Ⅰ、再现性题组: 六、参数法 参数法是指在解题...中医养生知识大全 女人养生之道120份文档 2014...

高中数学解题的21个典型方法与技巧

高中数学解题的 21 个典型方法与技巧 1、解决绝对...11、方程中除未知数以外,含有的其他字母叫做参数,...解决最值型应用题的基本思路是函数方程法,其解题...

高中数学解题思想方法全集

第一章 高中数学解题基本方法 ??? 一、 配方法 ...法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、...灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法...

(免费)高中数学解题思想方法全部内容_高分必备

目 录 第一章 高中数学解题基本方法 ……… 1、...法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、...灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法...