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新版高考数学题型全归纳:正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案)

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正余弦定理常见解题类型

1. 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知两角和任一边,求其他两边和 一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角. 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知三边,求三个角;②已知两边 和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

例 1 已知在 △ABC 中, ?A ? 45 ,a ? 2,c ? 6 ,解此三角形.

解:由余弦定理得 b2 ? ( 6)2 ? 2 6b cos 45 ? 4 ,

从而有 b ? 3 ? 1.

又 ( 6)2 ? b2 ? 22 ? 2 ? 2b cos C , 得 cos C ? ? 1 , ?C ? 60 或 ?C ? 120 .
2 ??B ? 75 或 ?B ? 15 . 因此, b ? 3 ? 1, ?C ? 60 , ?B ? 75

或 b ? 3 ?1, ?C ? 120 , ?B ? 15 . 注:此题运用正弦定理来做过程会更简便,同学们不妨试着做一做.

2. 判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或

边的关系,一般的,利用正弦定理的公式 a ? 2R sin A,b ? 2R sin B,c ? 2R sin C ,可将边转化

为角的三角函数关系,然后利用三角函数恒等式进行化简,其中往往用到三角形内角和定理:

A ? B ? C ? ? ;利用余弦定理公式 cos A ? b2 ? c2 ? a2 ,cos B ? a2 ? c2 ? b2 ,

2bc

2ac

cos C ? a2 ? b2 ? c2 ,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识 2ab

来解决问题.

例2 在 △ABC 中,若 b2 sin2 C ? c2 sin2 B ? 2bc cos B cos C ,判定三角形的形状. 解:由正弦定理 a ? b ? c ? 2R ,为 △ABC 外接圆的半径,
sin A sin B sin C

可将原式化为 8R2 sin2 B sin2 C ? 8R2 sin B sin C cos B cos C , ∵sin B sin C ? 0 , ?sin B sin C ? cos B cos C ,即 cos(B ? C) ? 0 . ? B ? C ? 90 ,即 A ? 90 ,故 △ABC 为直角三角形.

3. 求三角形中边或角的范围

例3 在 △ABC 中,若 ?C ? 3?B ,求 c 的取值范围. b
解: ?A ? ?B ? ?C ? ? ,??A ? ? ? 4?B .

?0 ? ?B ? ? .可得 0 ? sin2 B ? 1 .

4

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又∵ c ? sin C ? sin 3B ? 3 ? 4sin2 B , b sin B sin B

?1 ? 3 ? 4sin2 B ? 3 .故1 ? c ? 3 . b

点评:此题的解答容易忽视隐含条件 ?B 的范围,从而导致结果错误.因此,解此类问题

应注意挖掘一切隐含条件.

4. 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构,可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式.

例4 在 △ABC 中,若 a2 ? b(b ? c) ,求证: A ? 2B .

证明:∵cos B ? a2 ? c2 ? b2

bc ? c2 ?

?b?c ?

a



2ac

2ac 2a 2b

?cos 2B ? 2 cos2 B ?1 ? 2 ? a2 ?1 ? a2 ? 2b2 ? b2 ? bc ? 2b2 ? c ? b .

4b2

2b2

2b2

2b

又∵cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? b2 ? c2 ? (bc ? b2 ) ? c ? b ,

2bc

2bc

2b

?cos A ? cos 2B ,而 A,B 是三角形内角,? A ? 2B .

一般的,能用正弦定理解的三角形问题,也可用余弦定理去解.在具体的解题过程

中,同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式.