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解三角形知识点及题型总结


基础强化(8)——解三角形
1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); ②. 三角形三边关系:a+b>c; a-b<c ③.锐角三角形性质:若 A>B>C 则 60? ? A ? 90?,0? ? C ? 60? 2、 三角形中的基本关系:sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2 3、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接 a b c ? ? ? 2R . 圆的半径,则有 sin ? sin ? sin C sin
4、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ =2R sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
②化边为角: sin ? ? 5、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知 两角和其中一边的对角,求其他边角 .(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解 的情况(一解、两解、三解)) 6、三角形面积公式:

abc r ( a ? b ? c) 1 1 1 S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? .=2R2sinAsinBsinC= = 4R 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 7、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 8、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
9、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角 10、三角形的五心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 11. 仰角与俯角,方向角与方位角

题型一:求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高 线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 42 cm,解三角形.

(2)在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45? , a ? 2, 求b和B, C .

(3)在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1, 求a和A, C .

(4)在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

(5)在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

1 .在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则

sin 2 A ? sin C



2.在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. , cos B ? 3 6

题型二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 例 2. (1)在 ?ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 (2)在 ?ABC 中,若 sin C ? 2 cos A sin B ,则此三角形必是( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 (3)设 ?ABC 的内角 A, B ,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? (b ? c )cos C ,则 ?ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 )

1、在 ?ABC 中,若 lgsin A ? lgcos B ? lg sin C ? lg 2, 则 ?ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

2.在 ?ABC 中,若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 ?ABC 的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

题型三:与面积有关问题
例 3、已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n, 若函数 g ( x) 的 图象与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称.

(1)求函数 g ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值,并求出此时 x 的值; 4 6 3 , 2

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,A 为锐角,若 f ( A) ? g ( A) ?

b ? c ? 7, ?ABC 的面积为 2 3, 求边 a 的长.

1.、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 cos A ? (1)求 tan C 的值;(2)若 a ? 2 , 求 ?ABC 的面积.

2 , sin B ? 5 cosC. 3

2.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

题型之四:三角形中求值问题 1. 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , c 1 2 2 2 设 a、b、c 满足条件 b ? c ? bc ? a 和 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ? 2.在锐角 △ ABC 中,角 A
tan 2 B?C A ? sin 2 的值; (2)若 a ? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值。 2 2

2 2 , (1)求 3

3.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;

? . 3

(Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

题型五:解三角形中的最值问题 例 5. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 c ? 2 , C ?
(1) 求△ABC 周长的取值范围 (2) 求△ABC 面积的取值范围

? 3

1.在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . 1)求角 B 的大小;(2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围

2.△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .

(Ⅰ)求 B ;(Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

3.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
4. 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围.

.

5. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 求出这个最大值。

B?C 取得最大值,并 2

题型六:图形中的解三角形
例 6. 如图,在 ?ABC 中, D 是边 AC 上的点,且

AB ? AD,2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为
A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

1.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AC ? AD ,

sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 ,则 BD 的长为___ __. 3
C

题型七:正余弦定理解三角形的实际应用
(一)测量问题 1.如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、 B 两点, 望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30°, ∠CBA=75°, AB=120cm,求河的宽度。 A 图1

D

B

(二)遇险问题 2.某舰艇测得灯塔在它的东 15°北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进,30 分 钟后又测得灯塔在它的东 30°北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行 有无触礁的危险? 北 西 A 南 15° B 30° 图2 东 C

(三)追击问题 3.如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速 度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽 快追上乙船? 北 A 45° B 15°

图3

C


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