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1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(二)


1.3.1 函数的单调性性与最大(小)值
第二课时

一、问题导入
1.函数图象在增区间上是随着自变量的增大而增高 的,在减区间上时随着自变量的增大而降低的,那 么函数的图象有最高点和最低点吗?

2. 函数图象上升与下降反映了函数的单调性,如果 函数的图象存在最高点或最低点,它又反映了函数 的什么性质?

二、探索新知(一)——最大值
观察下列两个函数图象:
y M M y

x0

x

x0

x

思考1: 这两个函数图象上升下降趋势有何共同特征?是 否都有最高点和最低点?最高点和最低点通常叫什么名 字? 都有最高点,我们把最高点叫最大值,最低点叫最小值.

思考2: 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对 函数定义域内的任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 思考3: 怎样定义函数f(x)的最大值?
一般地,设函数y ? f ( x)的定义域为I, 如 果存在实数M 满足: (1)对于任意的x ? I , 都有f ( x)≤M ; (2)存在x0 ? I , 使得f ( x0 ) ? M . 那么,我们称M 是函数y ? f ( x)的最大值.

思考4:函数都有最大值吗?如果都有,请说明理由; 如果不是都有,请举出一个反例. 思考5:函数y=-x2 在(-1,+∞)上有最大值吗?
1 思考6:函数y ? 在R上有最大值吗? x

探索新知(二)——最小值
观察下列两个函数图象:
y xo M y

x0
x M x

思考1: 这两个函数图象上升下降趋势有何共同特征? 是否都有最高点和最低点?

思考2: 设函数y=f(x)图象上最低点的纵坐标为M,则 对函数定义域内的任意自变量x,f(x)与M的大小关系 如何? 思考3: 仿照函数最大值的定义,怎样定义函数的最小 值?
一般地,设函数y ? f ( x)的定义域为I , 如 果存在实数M 满足: (1)对于任意的x ? I , 都有f ( x)≥M ; (2)存在x0 ? I , 使得f ( x0 ) ? M . 那么,我们称M是函数y ? f ( x)的最小值.

探索新知(三)——最值的相关性质
思考1: 如果在函数 f(x)定义域内存在x1和 x2,使对 定义域内任意x,都有f(x1)≥f(x) ≥f(x2)成立,由此你能 得到什么结论?如果都有f(x1)>f(x)>f(x2)恒成立呢? 思考2: 如果函数f(x)的最大值是n,最小值是m,那 么函数 f(x)的值域是[m,n]吗?若函数不存在最大 值或者最小值,值域又如何表示呢?

思考3: 根据上面两个探索新知,几个函数要么有最
大值 ,要么有最小值,那么所有的函数都有一个最 值吗?请问函数最值存在性有哪几种可能情况?
思考 4: 如果一个函数有最大值,无最小值,这时我 们可以把它的值域表示为(m,n]或(-∞,n],它们都是半开 半闭区间,那么我们是否能通过一个函数是否拥有最 大值或最小值来确定它的值域区间的开闭情况?如果 能,如何表示?如果不能,说明理由.

三、课堂练习
1.已知函数y ? kx+2(x ? [?2, 2]),则下列说法正确的是( D ) A.最大值为2k ? 2, 最小值为 ? 2k ? 2 B.最大值为-2k ? 2, 最小值为2k ? 2 C.无论k 取何值时,都不存在最大值和最小值 D.存在k 取某个值,函数有最大值和最小值

2.函数f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? a在区间? ?1, 4 ? 上的最大值和最小值为( C ) 1 A.最大值为a,最小值为a2 B.最大值为40 ? a,最小值为a 1 C.最大值为40 ? a,最小值为a2 D.由于a的值不确定,故函数的单调区间不确定,从而最 大值,最小值也不确定

四、理论迁移
例1 菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望 再它达到最高点时爆炸.如果烟花距地面的高度( h m),与时间 ( t s)之间的关系为h(t ) ? -4.9t 2 ? 14.7t ? 18,那么烟花冲出后什么 时候是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是多少?

分析:由题意知,烟花的最佳爆炸时刻是在它冲出地面后的最高
点,即求高度函数h(t ) ? -4.9t 2 ? 14.7t ? 18的最大值的时间t 及此时取得 最大值h.

解: 容易作出函数h(t ) ? -4.9t ? 14.7t ? 18的图象.如下图.
2

显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,当t =? 1.5时,函数有最大值, 且hmax 4 ? ( ?4.9) ? 18 ? 14.7 2 ? ? 29. 4 ? ( ?4.9)
0 1.5

14.7 2 ? ( ?4.9)

y

所以烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳 时刻,这时距地面的高度约为29m.

x

事实证明:图象法是求最值有效的方法.

2 例2 已知函数f ( x)= ( x ?? 2,6? , 求函数的最大值和最小值. x ?1
2 ?? x ? ? 2, 6?? ? 的图象可知,函数 ? x ?1 ? 2 2 f ( x )= 在区间? 2, 6? 上递减.所以函数f ( x)= 在x =2处 x ?1 x ?1 处得最大值,在x=6处取得最小值.

分析: 由函数f ( x) ?

解: 设x1 , x2是区间? 2, 6? 上的任意两个实数,且x1 ? x2 . 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2 2 则f(x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? . ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 由 2≤x≤6,得x2 ? x1 ? 0, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0,
所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ). 2 所以函数f ( x) ? 在区间? 2, 6? 上是减函数. x ?1 2 所以函数f ( x) ? 在x ? 2时取得最大值,且f ( x) max ? 2; x ?1 在x ? 6时取得最小值,且f ( x) min ? 0.4.

单调性法是求最值最普通的方法

六、拓展训练
1.设 ? a, b ? , ? c, d ? 都是f ( x)的递减区间,且x1 ? ? a, b ? , x2 ? ? c, d ? , x1 ? x2 , 则f ( x1 )与f ( x2 )的大小关系是( D ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C.f ( x1 ) ? f ( x2 ) B.f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不能确定
)

1 的最值是 ( C 11 ? x(4 ? x) 1 A.最大值为 ,无最小值 11 1 1 B.最大值为 ,最小值为 11 16 1 C.最大值为 ,无最小值 7 1 1 D.最大值为 ,最小值为 7 16 2.函数f ( x) ?

七、课堂小结
求函数最值的常用方法:
1.定义法: 2.图象法;

3.单调性法(最常用);
4.利用常见函数最值的求法.

八、作业
第32页练习5.

第39页习题1.3A组第5题,B组第1,2题


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