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2019-2020年高三数学二轮复习 专题辅导(9)解答题解题策略精品教学案

2019-2020 年高三数学二轮复习 专题辅导(9)解答题解题策略精品教学案
【考情分析】 高考数学解答题是在高考试卷中的第二部分(或第Ⅱ卷),在近几年的高考中其题量已基本稳定在 6
题,分值占总分的 49.3%,几乎占总分一半的数学解答题(通常 6 大题,74 分)汇集了把关题和压轴题, 在高考中举足轻重,高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标
像圆锥曲线综合题、函数方程不等式的交汇题、三角向量的结合问题等仍将是 12 年高考的重点; 预计 13 年高考的热点: 1、三角函数解答题多集中在以下几个类型上:①三角函数的化简、求值问题;②三角函数的图象与 性质问题;③涉及解三角形 的三角函数问题;④三角函数与平面向量、导数、数列等的交汇问题。三角形 中的边角关系特别是正余弦定理,它是三角形本身内在的一种确定关系。 近几年高考考查三角问题主要有两种形式:一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质、图像的变 换、值域或者最值;二是三角形中有关边角的问题。高考试卷中将这两种形式合二为一,这很可能会是今 后命题的趋势。对于第一种形式的问题,一般要根据角、次、名、结构等方面,进行三角公式变换,然后 运用整体代换思想或者结合函数思想进行处理。对于第二种形式的问题,一般要结合正余弦定理和三角形 的边角知识进行处理。备考复习的重点应该放在三角恒等式的等价变形、三角函数的图像和性质、正余弦 定理的使用、三角形知识的掌握和灵活应用以及三角函数常用基本思想、技能、方法方面。 2、立体几何:①多角度训练证明平行、垂直问题;②注重数量关系中空间角、距离的计算与转化; ③继续关注作图 ,识图,空间想象能力。学会两种法解题,侧重于传统解法。 立体几何解答题的考查近几年基本形成一定规律,就是以棱柱、棱锥等简单几何体为载体考查平行、 垂直的判定和性质、角和距离的计算、表面积和体积的计算。试题的设置一般两问或者三问,近几年大多 是两问。若设置两问,则第一问往往考查平行、垂直的判定和性质(尤其垂直是重点);第二问考查空间 角的计算(尤其二面角是重点 );出 现第三问,则一般考查空间距离的计算(尤其是点面距离)或者体积 的计算,体积经常也是以求空间距离为核心。其中空间角和距离的计算往往转化到三角形中进行。另外还 要注意立体几何探索性问题的出现,主要是探索空间点的存在性。备考复习的重点应该放在三个方面。第 一方面是掌握线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质,尤其要注意平行链和垂直链知识之间的转化。 第二方面是掌握空间角和距离的求法。在空间角中,异面直线所成角要注意定义法和补形法;线面角要注 意定义法和点面距离法;二面角要注意三垂线定理法和射影面积法。至于空间距离,要着重注意线面距离、 面面距离转化为点面距离,点面距离的求法以及等体积转化求点面距离。第三方面是注意立体几何常用的 思想方法和解题技巧:方程思想(特别适用于解探索性问题)、转化思想、空间问题平面化思想。 3、概率与统计:①概率作为近几年应用问题的考查题型,几乎是不变的准则(只有极个别省市寻求 变化没出现),注意图表意识,向统计方向转移这一点在有些省市高考试题中已有体现;②准确识别概率 模型;掌握事件间的运算关系;③熟悉常见的离散型随机变量的分布列并准确计算出期望。近几年概率统 计问题经常结合实际应用问题考查,是近几年的热点。预计 2012 年仍将突出概率应用题的考查,主要分 两个层次:文科主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率 的计算方法以及运用概率知识解决实际问题的能力;理科主要考查离散型随机变量的分布列与期望、方差 的计算。离散型随机变量的分布列与正态分布的内容在近几年的考查中得到了加强,估计 2012 年不仅不 会减弱对的考查,而且还很可能加大对正态分布的考查,提醒同学们注意。备考复习的重点应该放在掌握 基本题型,搞清楚互斥事件、对立事件、等可能事件、相对独立事件的概念和算法;掌握离散型随机变量 的分布列以及期望、方差的计算;注意如何抽取样本、估计总体以及如何利用正态分布解决实际应用问题。 4、数列:①把握数列的整体结构,会求通项和前 n 项和;②数列就是一列数,可从函数与方程思想 角度来理解,多用归纳,猜想,③数列中经常出现的一些不等式放缩问题要多总结。近几年解答题关于数 列知识的考查,重点是数列的通项公式、数列的求和及其应用、Sn 与 an 的关系,且这类题目多与函数、 不等式、解析几何等学科交叉命题,此类题目难度大、综合性强需要运用各种数学思想和方法。备考复习 中,需要同学们注重基础,熟练掌握等差数列、等比数列的概念与性质、通项公式、求和公式(公比 q 的 讨论);数列 Sn 与 an 的关系,并项法、裂项法、错位相减法等常用求和方法。另外,还要注意数列知识

与极限知识的结合,三种基本极限对于 q 的讨论等知识的掌握。还有两点想提醒同学们注意:一是探索性 问题在数列中考查较多;二是数列应用问题可能会在高考题目中出现。
5、解析几何:①小题小做,多用圆锥曲线定义、性质和平面几何知识;②大题注重通性通法,强化 运算代换能力,加强意志品质的培养,注意分步得分,踩点得分;③有向量背景的几何问题,注意图形特 征及意义,一般情况都是坐标表示,实施数与形的转化。与解析几何有关的试题约占试题总数的六分之一。 试题既坚持了注重通性通法、淡化特殊技巧的命题原则,又适度地体现了灵活运用的空间,还集中考查了 考生的运算能力,真正做到了有效检测考生对解析几何知识所蕴含的数学思想和方法的掌握程度。解析几 何解答题,常常以圆锥曲线为载体,高考一般设置两问,第一问经常考查圆锥曲线的方程、定义、轨迹、 离心率等基础知识;第二问经常研究直线与圆锥曲线的位置关系,弦长、焦点弦长、 中点弦、参数范围、 最值问题等。经常在题目设置时,结合平面向量,有时还结合导数知识(例如切线问题),构成知识交汇 问题,综合考查分析和解决问题的能力。备考复习时,首先应该注意对基础知识的掌握和灵活应用,熟练 掌握直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、性质;其次突出抓好高考考查的重点、热点内容以及方法的复习, 如轨迹问题、对称问题、参数范围问题、最值问题、弦长问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、向量和 解析几何综合问题等;最后还要重视运算能力的培养,尽可能达到优化解题思维、简化解题过程的目的。
6、函数、导数与不等式:①考查求函数的解析式、定义域、值域、函数的奇偶性与周期性的问题; ②对函数图象的考查;③函数的单调性及最值问题;④函数与导数、不等式,函数与数列、不等式等综合。 函数是高中数学的重要内容,函数的观点和方法贯穿整个高中数学。导数作为新课标新增内容,近几年已 由解决问题的辅助地位,上升为分析问题和解决问题必不可少的工具。不等式与函数、导数之间存在千丝 万缕的关系。在近几年的高考解答题中,对于函数、导数、不等式的考查,理科基本是利用导数作为工具 研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程以及不等式相关的综合问题;文科基本上是以三次函 数为载体考查函数的单调性、极值与最值以及结合不等式考查参数的取值范围问题。其中以参数的取值范 围问题和函数单调性、最值方面的应用为重点,更多的是函数、数列、解析几何等交叉渗透命题,以导数、 不等式为工具加以解决的综合性题目。有时也出现考查解含参数不等式的解答题。备考复习中,应将重点 放在二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系;基本初等函数的图像和性质;原函数与反函数、原函 数与导函数的关系;不等式的基本性质、均值不等式的使用、八类不等式的解法(一元一次不等式、一元 二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、高次不等式、无理不等式、指对数不等式、三角不等式)等基 本知识的熟练掌握,以及结合函数与方程的思想、分类讨论思想(含参数不等式)、转化与化归思想、数 形结合思想,引进变量、运用函数、导函数分析问题,解决问题的能力提高上。另外,特别提醒两点注意: 一是函数和不等式结合,研究命题恒成立时的参数范围问题;二是导数与传统不等式的证明相互结合,用 导数法证明不等式也有可能成为新的命题趋势。
还有高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测计算型和信息迁移型也时有 出现。当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科 综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线。多数出现在像理科概率中分布列的期望方差解释实际 问题、函数和数列知识及其性质解释、解决实际问题中。 【知识归纳】
在高考数学试题的三种题型中,解答题占分的比重最大,足见它在试卷中地位之重要。解答题也就是 通常所说的主观性试题,这种题型内涵丰富,包含的试题模式灵活多变,其基本架构是:给出一定的题设 (即已知条件),然后提出一定的要求(即要达到的目的),让考生解答。而且,“题设”和“要求”的模 式则五花八门,多种多样。考生解答时,应把已知条件作为出发点,运用有关的数学知识和方法,进行推 理、演绎或计算,最后达到所要求的目标,同时要将整个解答过程的主要步骤和经过,有条理、合逻辑、 完整地陈述清楚。
1.数学综合题的解题策略
解综合性问题的三字诀“三性”:综合题从题设到结论,从题型到内容,条件隐蔽,变化多样,因此 就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中,要把握好“三性”,即(1)目的性:明 确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性:提高概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐

含性:注意题设条件的隐含性。审题这第一步,不要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理, 这是提高解题速度和准确性的前提和保证。
“三化”:(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究,字母用常数来 代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确,有时可画表格或图形,以便于把一般 原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系 的简单问题,把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论,使其表 现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点,或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。
“三转”:(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所 组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转 换能力:综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数形转换能力。解题中的数形结合,就 是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义,力图在代数与几何的结合上找出解题思路。 运用数形转换策略要注意特殊性,否则解题会出现漏洞。
“三思”:(1)思路:由于综合题具有知识容量大,解题方法多,因此,审题时应考虑多种解题思路。 (2)思想:高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法,解题时应注意数学思想方法的运用。(3)思辩: 即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。
“三联”:(1)联系相关知识,(2)连接相似问题,(2)联想类似方法。
2.数学综合题的解题策略
求解应用题的一般步骤是(四步法): (1)、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系; (2)、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题; (3)、求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)、评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,作出解释或验证. 4.在近几年高考中,经常涉及的数学模型,有以下一些类型:数列模型、函数模型、不等式模型、 三角模型、排列组合模型等等。 Ⅰ.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常 可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决; ⑴ 根据题意,熟练地建立函数模型; ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型。 Ⅱ.几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题,常常需要应用几 何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数知识来求解;
Ⅲ.数列模型 在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实 际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题一 是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律。 【考点例析】
题型 1:二次函数综合问题
例 1.(2012 年高考(北京文))已知函数 f (x) ? ax2 ?1( a ? 0 ), g(x) ? x3 ? bx .
(1)若曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? g(x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值;
(2)当 a ? 3,b ? ?9 时,求函数 f (x) ? g(x) 在区间[k, 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值范围.
解:(1) f ?(x) ? 2ax , g?(x)=3x2 ? b .因为曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? g(x) 在它们的交点 ?1,c? 处具有公
共切线,所以 f (1) ? g(1) , f ?(1) ? g?(1) .即 a ?1 ?1? b 且 2a ? 3 ? b .解得 a ? 3,b ? 3

(2)记 h(x) ? f (x) ? g(x)

当 a ? 3,b ? ?9 时, h(x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ?1 , h?(x) ? 3x2 ? 6x ? 9

令 h?(x) ? 0 ,解得: x1 ? ?3 , x2 ?1 ; h(x) 与 h?(x) 在 (??, 2]上的情况如下:

x

(??, ?3)

?3

(?3,1)

1

(1,2)

2

h(x)

+

0



0

+

h?(x)

?

28

?

-4

?

3

由此可知:

当 k ? ?3 时,函数 h(x) 在区间[k, 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ;

当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h(x) 在区间[k, 2] 上的最大值小于 28.

因此, k 的取值范围是 (??, ?3]
点评:三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有 丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题 与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式 的思想和方法.

例 2.设 f ? x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? ,若 f ?0? ? 1, f ?1? ? 1 , f ?-1? ? 1 , 试证明:对于任意

?1? x ? 1,有

f ?x?

?

5
.

4

分析:同上题,可以用 f ?0?, f ?1?, f ??1?来表示 a,b, c .

解:∵ f ??1? ? a ? b ? c, f ?1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c ,

∴ a ? 1 ( f ?1? ? f ??1? ? 2 f ?0?),b ? 1 ( f (1) ? f (?1)),c ? f ?0?,

2

2

? ? ∴

f ?x? ?

f

?1?????

x

2

? 2

x

????

?

f

??

1?????

x

2

? 2

x

????

?

f ?0?1? x2

.

∴ 当 ?1 ? x ? 0 时,

f ?x? ? f ?1? ? x2 ? x ? f ??1? ? x2 ? x ? f ?0? ? 1 ? x2

2

2

? x2 ? x ? x2 ? x ? 1? x2

2

2

?

?????

x

2

? 2

x

????

?

????

x

2? 2

x

????

?

(1

?

x2

)

? ?x2 ? x ?1

? ?(x ? 1)2 ? 5 ? 5 . 2 44
当 0 ? x ? ?1时,

f ?x? ? f ?1? ? x2 ? x ? f ??1? ? x2 ? x ? f ?0? ? 1? x2

2

2

? x2 ? x ? x2 ? x ? 1? x2

2

2

?

????

x2

? 2

x

????

?

????

?

x2 2

?

x

????

?

(1

?

x

2

)

? ?x2 ? x ?1 ? ?(x ? 1)2 ? 5 ? 5 .
2 44
综上,问题获证。 点评:由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二 次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质。 题型 2:代数推 理题的典例解析
例 3.已知 f (x) ? x (x ? ?1). x ?1

(1) 求f (x) 的单调区间;

(2)若 a ? b ? 0, c ? 1 ,求证 : f (a) ? f (c) ? 3 .

(a ? b)b

4

解析:(1) 对 已 知 函 数 进行 降 次 分 项 变 形 , 得 f (x) ? 1 ? 1 , x ?1
? f (x)在区间(??,?1)和(?1,??)上分别单调递增 .

(2)首先证明任意 x ? y ? 0, 有f (x ? y) ? f (x) ? f ( y). 事实上: f (x) ? f ( y) ? x ? y ? xy ? xy ? x ? y ? xy ? x ? y ? f (xy ? x ? y)
x ? 1 y ? 1 xy ? x ? y ? 1 xy ? x ? y ? 1

而 xy ? x ? y ? x ? y, 由(1)知f ?xy ? x ? y? ? f (x ? y),

? f (x) ? f ( y) ? f (x ? y)

?c? 1 ?

1

? 4 ? 0,

(a ? b)b ( a ? b ? b)2 a2

2

? a ? c ? a ? a ? 4 ? 3. 2 2 a2

? f (a) ? f (c) ? f (a ? c) ? f (3) ? 3 . 4

点评:函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型 , 在高考备考中

有较高的训练价值.针对本例的求解,你能够想到证明任意 x ? y ? 0, 有f (x ? y) ? f (x) ? f ( y).采用逆
向分析法, 给出你的想法。

例 4.对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R,使f (x0 ) ? x0 成立,则称 x0为f (x) 的不动点。如果函数

f (x) ? x2 ? a (b, c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f (?2) ? ? 1 ,

bx ? c

2

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)已知各项不为零的数列{an }满足4Sn

?

f

(1 an

)

? 1,求数列通项 an



(3)如果数列{an } 满足 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2时,恒有 an ? 3 成立.

解析:依题意有 x 2 ? a ? x ,化简为 (1 ? b)x 2 ? cx ? a ? 0, 由违达定理, bx ? c

得:

???2 ? ???2

?0?? c 1?
?0 ? a , 1?b

b

,

解得

??a ???b

?0 ?1?

c , 代入表达式 2

f

(x)

?

(1 ?

x2 c)x 2

?

c



由 f (?2) ? ? 2 ? ? 1 , 得 c ? 3,又c ? N,b ? N,若c ? 0,b ? 1,则f (x) ? x 不止有两个不动点, 1?c 2

? c ? 2,b ? 2, 故 f (x) ? x2 , (x ? 1). 2(x ?1)

( 1 )2

(2)由题设得 4Sn

?

2(

an 1

? 1)

? 1得 : 2Sn

?

an

?

an2 ,

an

(*)

且 an

? 1,以n ? 1代n得 : 2Sn?1

?

an?1

?

a

2 n?1

由(*)与(**)两式相减得:

(**)

2an

? (an

? an?1 ) ? (an2

?

a

2 n?1

),



(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0,

? an ? ?an?1或an ? an?1 ? ?1,以n ? 1代入(*)得 : 2a1 ? a1 ? a12 ,

解 得 a1 ? 0 ( 舍 去 ) 或 a1 ? ?1 , 由 a1 ? ?1 , 若 an ? ?an?1得a2 ? 1, 这 与 an ? 1 矛 盾 ,

? an ? an?1 ? ?1 ,即{ an } 是以-1 为首项,-1 为公差的等差数列,

? an ? ?n;

(3)采用反证法,假设 an

? 3(n ?

2), 则由(1)知 an?1

?

f (an )

?

a

2 n

2an ? 2

? an?1 an

?

an 2(an ?1)

?

1 ? (1 ? 2

1 )? an ?1

1 (1 ? 2

1) 2

?

3 4

? 1,即an?1

?

an (n

?

2, n ? N )

,



an ? an?1 ? ? ? a2 ,

而当 n

?

2时, a2

?

a12 2a1 ? 2

?

16 8?2

?

8 3

?

3;

?an ? 3, 这与假设矛盾,故假设不成立,? an ? 3。

关于本例的第(3) 题,我们还可给出直接证法,事实上:

由 an?1

?

f (an )得an?1

?

an2 , 1 2an ? 2 an?1

? ?2( 1 an

? 1)2 2

?1 2

?

1 2



a n ?1

<0



a n ?1

?

2.

若an?1 ? 0,则an?1 ? 0 ? 3, 结论成立;



a n ?1

? 2 ,此时 n

?

2, 从而

an?1

? an

?

? an (an ? 2) 2(an ? 1)

?

0, 即数列{ an

}在 n

?

2 时单调递减,由

a2

?

22 3

,可知 an

?

a2

?

22 3

? 3,在n

?

2 上成立.

点评:比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能

长进。

题型 3:解析几何综合问题

? ? 例 5.已知双曲线 C : y 2 ? x 2 ? 1,直线 l 过点 A 2,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1时,双曲线的上支 22

上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。
分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问
题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B 作与 l 平行的直线,必与双 曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 ? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:
l : y ? k(x ? 2) ?0 ? k ? 1?

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2 l': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k

解题过程略.

解得k的把值直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ? ? 0

分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点 B 到直
线 l 的距离为 2 ”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2k

关于 x 的方程

? 2 ?0 ? k ? 1? 有唯一解

k 2 ?1

转化为一元二次方程根的问题

求解

解析:设点 M (x, 2 ? x2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:

kx ? 2 ? x2 ? 2k

? 2 ?0 ? k ? 1?

?? ?

k2 ?1

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程.

由于 0 ? k ? 1,所以 2 ? x2 ? x ? kx,从而有

kx ? 2 ? x2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x2 ? 2k.

于是关于 x 的方程 ???

? ? kx ? 2 ? x2 ? 2k ? 2(k 2 ?1)

? ? ?

?? ?

2
2 ? x 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ?

2k ? kx)2 ,

?? 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0

? ? ? ? ? ? ?

?? ?

k2

?1

x2

?

2k

2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

2
2(k 2 ? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?? 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0.

由 0 ? k ? 1可知:
? ? ? ? ? ?2
方 程 k 2 ?1 x2 ? 2k 2(k 2 ?1) ? 2k x ? 2(k 2 ?1) ? 2k ? 2 ? 0 的 二 根 同 正 , 故

2(k 2 ?1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于
? ? ? ? ? ? 2
k 2 ?1 x2 ? 2k 2(k 2 ?1) ? 2k x ? 2(k 2 ?1) ? 2k ? 2 ? 0 .

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得 k ? 2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性。
例 6.已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 8 和点 P(4,1),过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,在线段 AB 上取点 Q, 使 AP ? ? AQ ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程。
PB QB
分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨 迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达, 最后通过消参可达到解题的目的。
由于点 Q(x, y) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参数,如何将 x, y AP AQ
与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上;另一方面就是运用题目条件: ? ? 来转化.由 PB QB
A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ? 4(xA ? xB ) ? 2xA xB ,要建立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB 的 8 ? (xA ? xB )
方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可。 通 过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数。
AP AQ ??
PB QB
x ? 4(xA ? xB ) ? 2xA xB 8 ? (xA ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理
x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k
点 Q 的轨迹方程

在得到 x ? f ?k ? 之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于 x, y 的方程 (不含 k),则可由 y ? k(x ? 4) ?1解得 k ? y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即可得到轨迹方程。从而简
x?4
化消去参的过程。

简解:设

A?x1 ,

y1 ?, B(x2,y2 ), Q(x,

y) ,则由

AP PB

?

?

AQ QB

可得:

4 ? x1 x2 ? 4

?

x ? x1 x2 ? x



解之得: x ? 4(x1 ? x2 ) ? 2x1x2 8 ? (x1 ? x2 )

(1)

设直线 AB 的方程为: y ? k(x ? 4) ?1,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程:

? ? 2k 2 ? 1 x2 ? 4k(1 ? 4k)x ? 2(1 ? 4k)2 ? 8 ? 0

(2)



???x1

?

x2

?

4k(4k ?1) ,
2k 2 ?1

? ??? x1 x2

?

2(1 ? 4k)2 ? 8 . 2k 2 ? 1

代入(1),化简得: x ? 4k ? 3 .

(3)

k?2

与 y ? k(x ? 4) ?1联立,消去 k 得: ?2x ? y ? 4?(x ? 4) ? 0.

在 ( 2 )中 ,由 ? ? ?64k 2 ? 64k ? 24 ? 0 , 解 得 2 ? 10 ? k ? 2 ? 10 , 结 合( 3 )可 求 得

4

4

16 ? 2 10 ? x ? 16 ? 2 10 .

9

9

故知点 Q 的轨迹方程为: 2x ? y ? 4 ? 0 ( 16 ? 2 10 ? x ? 16 ? 2 10 ).

9

9

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块 思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参,而“引参、用参、消参”三步曲, 正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。 题型 4:立体几何应用问题

例 7.在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形

组成的,并且这三个四边形也全等,如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器,如图②.则

当容器的高为多少时,可使这个容器的容积最大,并求出容积的最大值。

图①

图②

解析:设容器的高为 x.则容器底面正三角形的边长为 a ? 2 3x ,

?V (x) ? 3 ? x ? (a ? 2 3x)2 (0 ? x ? a )

4

23

? 3 ? 1 ? 4 3x ? (a ? 2 3x)(a ? 2 3x) 4 43

? 1 (4 3x ? a ? 2 3x ? a ? 2 3x)3 ? a3 .

16

3

54

当且仅当

4

3x ? a ? 2

3x,

即x ? 3 a时, 18

Vm a x

?

a3 54

..

故当容器的高为 3 a 时,容器的容积最大,其最大容积为 a3 .

18

54

点评:对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最方便的,请读者不妨一试. 另外,

本题的深化似乎与 2002 年全国高考文科数学压轴题有关,还请做做对照. 类似的问题是:某企业设计一

个容积为 V 的密闭容器,下部是圆柱形,上部是半球形,当圆柱的底面半径 r 和圆柱的高 h 为何值时,制

造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小)。 例 8.(2011,江苏 17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去

阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD四个点重合于图中的点 P,正好 形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB= x cm。

(1)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm 2 )最大,试问 x 应取何值?

(2)某广告商要求包装盒容积 V(cm 3 )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长

的比值。

D

C

P

A x E Fx B
解:设馐盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm), 由已知得:

a ? 2x, h ? 60 ? 2x ? 2(30 ? x),0 ? x ? 30. 2

(1) S ? 4ah ? 8x(30 ? x) ? ?8(x ?15)2 ?1800,

所以当 x ? 15时,S 取得最大值.

(2)V ? a2h ? 2 2 ? (x2 ? 30x2 ),V ? ? 6 2x(20 ? x).

由V ? ? 0得x ? 0 (舍)或 x=20.

当 x ? (0,20) 时,V ? ? 0;当x ? (20,30)时V ? ? 0.
所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值.

h ? 1即1

1.

此时 a 2 2 装盒的高与底面边长的比值为 2

点评:解决此类问题要结合问题的实际情景,把问题分解、转化解决。

题型 5:数列中的实际应用问题

例 9.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每

年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不

应超过多少辆?

解析:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,……,每 年新增汽车 x 万辆,则

b1 ? 30 , bn?1 ? 0.94bn ? x

所以,当 n ? 2时, bn ? 0.94bn?1 ? x ,两式相减得: bn?1 ? bn ? 0.94?bn ? ? bn?1

( 1 ) 显 然 , 若 b2 ? b1 ? 0 , 则 bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 ? ? ? 0 , 即 bn ? ? ? b1 ? 30 , 此 时 x ? 30 ? 30? 0.94 ? 1.8.
(2)若 b2 ? b1 ? ? 0 ,则数列 bn?1 ? bn ?为以 b2 ? b1 ? x ? 0.06b1 ? x ?1.8 为首项,以 0.94 为公比的

等比数列,所以, bn?1 ? bn ? 0.94 n ? ?x ? 1.8? .

(i)若 b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn?1 ? bn ? 0 ,所以,bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,此 时, x ? 30 ? 30? 0.94 ? 1.8.
( ii ) 当 x ? 1.8万 时 , b2 ? b1 ? 0 , 则 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 bn?1 ? bn ? 0 , 所 以 ,

bn?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,

由 bn?1 ? bn ? 0.94 n ? ?x ? 1.8?,

? ? 得: bn

?

?bn

? ? ? bn?1 ? bn?1

? bn?2 ? ? ? ? ?b2

? b1 ? ? b1

?

?b2

? b1 ? 1 ? 0.94 n?1
1 ? 0.94

? 30

? ? ? ?x ?1.8?1 ? 0.94 n?1 ? 30 , 0.06

要使对于任意正整数 n ,均有 bn ? 60 恒成立,



? ? ?x ?1.8?1 ? 0.94 n?1 ? 30 ? 60

0.06

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得 x ? 1.8 ? 1.8, 1 ? 0.94n

上式恒成立的条件为: x

?

?? ?

1

1.8 ? 0.94

n

? 1.8??

,由于关于 n 的函数

? 在n?N上的最小值

f ?n? ? 1.8
1 ? 0.94n

? 1.8

单调递减,所以, x ? 3.6 。
点评:本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不等式恒 成立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题。
例 10.(2012 年高考(湖南文))某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有 资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底 企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元.

(Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an?1 与 an 的关系式;

(Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

【解析】(Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

a2

?

a1(1? 50%)

?

d

?

3 2

a1

?

d

,

an?1

?

an (1?

50%)

?

d

?

3 2

an

?

d

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an

?

3 2

an?1

?d

?

( 3 )2 2

an?2

?

3 2

d

?

d

?

3 2

(

3 2

an?2

?

d)

?

d

?

?

(

3 2

)n?1

a1

?

d

???1

?

3 2

?

(

3)2 2

?

?

(

3 2

)

n?2

? ??

.

整理得

an

?

( 3)n?1(3000 2

?

d)

?

2d

???(

3 2

)n

?1

?1???

? ( 3)n?1(3000 ? 3d ) ? 2d . 2

由题意,

an

?

4000,?( 3)n?1(3000 2

? 3d)

?

2d

?

4000,

解得

d

?

???(

3 2

)n

?

2???

?1000

(3)n ?1

?

1000(3n ? 2n?1) 3n ? 2n

.

2

故该企业每年上缴资金

d

的值为缴

1000(3n 3n ?

? 2n?1) 2n

时,经过

m(m

?

3)

年企业的剩余资金为

4000

元.

【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问

题的能力.第一问建立数学模型,得出 an?1 与

an 的关系式 an?1 ?

3 2

an

?

d

,第二问,只要把第一问中的

an?1

?

3 2

an

?

d

迭代,即可以解决.由于数列知识与社会问题联系密切,如银行存、贷;按揭买房、买车;

生产中的增长率等等,这些都是数列问题也都是生活中的现实问题,当我们认清本质以后,会发现它们其

实都是等比数列问题,只是引发问题的角度不同罢了。

题型 6:函数、导数应用题

例 11.(2010 湖北理,17)为了 在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造

隔热层,某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元,该建筑物每年

的能源消耗费用为 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= k (0 ? x ? 10), 3x ? 5
若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。

(Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式;

(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

解:(Ⅰ)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= k ,再由 C(0)=8,得 3x ? 5

k=40,因此 C(x)= 40 。而建造费用为 C1(x)=6x,最后得隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用 3x ? 5

之和为 f(x)=20C(x)+ C1(x)=20? 40 +6x= 800 +6x(0 ? x ? 10)。 3x ? 5 3x ? 5

(Ⅱ)f’(x)=6- 2400 ,令 f’(x)=0,即 2400 =6,解得 x=5,x=- 25 (舍去)。

(3x ? 5)2

(3x ? 5)2

3

当 0<x<5 时,f’(x)<0;当 5<x<10 时,f’(x)>0。故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值

为 f(5)=6? 5+ 800 =70。 15 ? 5
当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元。

点评:考查应用型的函数题,第一问写出函数表达式比较简单,第二问考查的是导数的知识,较为容

易。

例 12.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,

y

以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救

P

援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路

径可视为抛物线

y

?

12 49

x2

;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救

援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为.

O

x

(1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会

合,求救援船速度的大小和方向;(6 分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分)

A

[ 解 ] (1 ) t ? 0.5 时 , P

的横坐标

xP=

7t

?

7 2

,代入抛物线方程

y

?

12 49

x2

中,得

P

的纵坐标

yP=3.

……2 分

由|AP|=

949 ,得救援船速度的大小为
2

949 海里/时.

……4 分

7



tan∠OAP=

2
3?12

?

7 30

, 得 ∠OAP=arctan

7 30

,故救援船速度的方向为北偏东

arctan 7 30



度.

……6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t, 12t 2 ) .

由vt ?

(7t)2

?

(12t 2

? 12)2

,整理得 v2

? 144(t2

?

1 t2

)

?

337 .……10



因为 t 2

?

1 t2

?

2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,所以 v2

? 144? 2 ? 337 ?

252 ,即 v ? 25 .

因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

……14 分

点评:本小题主要考查函数、及均值不等式应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题

的能力。

【方法技巧】 1.它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题时要把握好“三
性”。即明确目的性,提高准确性,注意隐含性。解题实践表明:条件暗示可知并启发解题手段,结论预 告需知并诱导解题方向。一般地,解题设计要因题定法,无论是整体考虑或局部联想,在确定方法时必须 遵循的原则是:
(1)熟悉化原则。(2)具体化原则。(3)简单化原则。(4)和谐化原则。 2.解综合题的基本策略是:(1)语言转换策略。(2)数形结合策略。(3)进退并举策略。(4)辨证 思维策略。(5)联想迁移策略。(6)分类讨论策略。 由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专一性,这些都给学 生能读懂题目提供的条件和要求,在陌生的情景中找出本质的内容,转化为函数、方程、不等式、数列、 排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题。 【专题训练】 1、已知向量 a=( 3,1),b=(-2 3,k)。 (1)k 为何值时,a∥b? (2)k 为何值时,a⊥b? (3)k 为何值时,a、b 夹角为 120°?

2、如图,现在要在一块半径为 1m.圆心角为 60°的扇形纸板 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ,使点 P 在 AB 弧上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设∠BOP=θ , MNPQ 的面积为 S. (1)求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应 θ 的值.
A

Q

P

OM

NB

3、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等

的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包 装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm. (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm 2 )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm 3 )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比 值.

4、已知椭圆 C:x42+y2=1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.
y

O

x

5、已知 f (x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-ln(x-x),其中 e 是自然常数,a∈R. (1)讨论 a=-1 时, f (x)的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,|f (x)|>g(x)+12; (3)是否存在实数 a,使 f (x)的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由.

6、已知数列 a,b,c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d(d>0),在 a,b 之间和 b,c 之间共插入 m 个实数 后,所得到的 m+3 个数所组成的数列{an}是等比数列,其公比为 q.

(1)若 a=1,m=1,求公差 d; (2)若在 a,b 之间和 b,c 之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的 m 数的乘积(用 a,c,m 表示); (3)求证:q 是无理数.

【参考答案】

1、解:(1)由 3k-1·(-2 3)=0 ,得:k=-2,∴k=-2 时,a∥b;

(2)由 3·(-2 3)+k=0,得:k=6,∴k=6 时,a⊥b;

(3)a·b= 3·(-2 3)+k =6-k,︱a︱=2,︱b︱= 12+k2,得 k=2,∴a、b 夹角为 120°

2、解:在△OPQ

中,

OQ sinθ

=sin(6P0Q?-θ

)=sinO1P20?=

2 3

∴ OQ= 23sinθ ,PQ= 23sin(60?-θ )

∴S

MNPQ=2S△OPQ=OQ·PQ·sin120?=

23sinθ

·sin(60?-θ

)=

33cos(2θ

-60?)-

3 6

∵0<θ <60?∴-60?<2θ -60?<60?∴12<cos(2θ -60?)≤1∴0<S

3 ≤ MNPQ 6

∴θ

=30?时,S 的最大值为

3 6

3、

4、解:(Ⅰ)由已知得 a ? 2,b ? 1, 所以 c ? a2 ? b2 ? 3.

所以椭圆 C 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ? c ? 3 . a2
(Ⅱ)由题意知,| m |? 1 .当 m ? 1时,切线 l 的方程 x ? 1,

点 A、B 的坐标分别为 (1, 3 ), (1,? 3 ), 此时| AB |? 3

2

2

当 m=-1 时,同理可得| AB |? 3

当| m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k(x ? m),

?y ? k(x ? m),



? ?

x

2

得(1 ? 4k 2 )x2 ? 8k 2mx ? 4k 2m2 ? 4 ? 0 ;

?? 4 ? y 2 ? 1.



A、B

两点的坐标分别为 (x1,

y1 )( x2 ,

y2 ) ,则 x1

?

x2

?

8k 2m 1? 4k 2

, x1x2

?

4k 2m2 ? 1? 4k 2

4



又由 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,得 | km | ? 1,即m2k 2 ? k 2 ? 1. k2 ?1

∴| AB |?

(x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ?

(1 ?

k 2 )[ 64k 4m? (1? 4k 2 )2

?

4(4k 2m2 ? 4) ]
1? 4k 2

?

4 3|m m2 ? 3

|.

由于当 m ? ?3时,| AB |? 3,
因为| AB |? 4 3 | m | ? 4 3 ? 2, 且当 m ? ? 3 时,|AB|=2, m2 ? 3 | m | ? 3 |m|
所以|AB|的最大值为 2. 5、解:(1)∵f (x)=-x-ln(-x)∴f ?(x)=-1-1x=-x+x 1
∴当-e≤x<-1 时,f ?(x)<0,此时 f (x)为单调递减 当-1<x<0 时,f ?(x)>0,此时 f (x)为单调递增∴f (x)的极小值为 f (-1)=1 (2)∵f (x)的极小值,即 f (x)在[-e,0)的最小值为 1∴|f (x)|min=1 令 h(x)=g(x)+12=-ln(x-x)+12 又∵h?(x)=ln(-xx2 -1),当-e≤x<0 时,h?(x)≤0 ∴h(x)在[-e,0)上单调递减,∴h(x)max=h(-e)=1e+12<12+12=1=|f (x)|min ∴当 x∈[-e,0)时,|f (x)|>g(x)+12 (3)假设存在实数 a,使 f ( x)=ax-ln(-x)有最小值 3,x∈[-e,0), f ?(x)=a-1x ①当 a≥-1e时,由于 x∈[-e,0),则 f ?(x)=a-1x≥0,∴函数 f (x)是[-e,0)上的增函数∴f (x)min =f (-e)=-ae-1=3 解得 a=-4e<-1e(舍去) ②当 a<-1e时,则当-e≤x<1a时,f ?(x)=a-1x<0,此时 f (x)是减函数 当1a<x<0 时,f ?(x)=a-1x>0,此时 f (x)=ax-ln(-x)是增函数 ∴f (x)min=f (1a)=1-ln???-1a???=3 解得 a=-e2. 6、解:(1)由 a=1,且等差数列 a,b,c 的公差为 d,可知 b=1+d,c=1+2d,
①若插入的数在 a,b 之间,则 1+d=q2,1+2d=q3,消去 q 可得(1+2d)2=(1+d)3,d=1+2 5. ②若插入的数在 b,c 之间,则 1+d=q,1+2d=q3,消去 q 可得 1+2d=(1+d)3,此方程无正根.
故所求公差 d=1+2 5 (2)设在 a,b 之间插入 l 个数,在 b,c 之间插入 t 个数,则 l+t=m,

a1

l个

al ? 2

t个

am?2

a , a2 , a3 , , al?1 , b , al?2 , , am?1 , c 【由等比中项得:】

在等比数列{an}中,∵a1=a, al+2=b=a+2 c, am+3=c,akam+4-k=a1am+3=ac(k=2,3,···,m+2), ∴(a2a3…am+2)2=(a2am+2)·(a3am+1)···(am+2a2)=(ac)m+1 又∵ql+1=ba>0,qt+1=cb>0,l,t 都为奇数,∴q 可以为正数,也可以为负数.

m+1 ①若 q 为正数,则 a2a3…am+2=(ac) 2 ,所插入 m 个数的积为 a2a3

am?2 ?

2

m?1
(ac) 2 ;

b

a?c

②若

q

为负数,a2,a3,…,am+2

m 中共有2+1

个负数,

当m2是奇数,即

m=4k-2(k∈N*)时,所插入

m

个数的积为

a2a3

b

am?2

?

2

m?1
(ac) 2 ;

a?c

当m2是偶数,即

m=4k(k∈N*)时,所插入

m

个数的积为

a2a3

b

am?2

?

?

2

m?1
(ac) 2 .

a?c

综上所述,当 m=4k-2(k∈N*)时,所插入 m 个数的积为 a2a3

am?2 ?

2

m?1
(ac) 2 ;

b

a?c

当 m=4k(k∈N*)时,所插入 m 个数的积为 a2a3

am?2 ? ?

2

m?1
(ac) 2 .

b

a?c

注:可先将 a2,a3,…,am+2 用 a 和 q 表示,然后再利用条件消去 q 进行求解.

(3)∵在等比数列{an},由 ql+1=ba=a+a d,可得 ql+1-1=da,同理可得 qm+2-1=2ad,

∴qm+2-1=2(ql+1-1),即 2ql+1-1=qm+2 (m≥l),

反证法:假设 q 是有理数, ①若 q 为整数,∵a,b,c 是正数,且 d>0,∴|q|>1,在 2ql+1-qm+2=q(2ql-qm+1)=1 中,∵2ql+1-qm+2

是 q 的倍数,故 1 也是 q 的倍数,矛盾.

②若 q 不是整数,可设 q=yx(其中 x,y 为互素的整数,x>1),

则有(yx)m+2=2(yx)l+1-1,即 ym+2=xm?l+1(2yl+1-xl+1),∵m≥l,可得 m-l+1≥1, ∴ym+2 是 x 的倍数,即 y 是 x 的倍数,矛盾. ∴ q 是无理数.