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第31讲 数列的递推


第 12 讲

数列的递推

本节主要内容两个基本递推:an+1=an+d,an=qan;线性递推,二阶或高阶递推的特征方程与特征根; 其他递推. 1.基本概念: ①递归式:一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ?1 , a n ? 2 ,?, a n ? k ( k ? n )的关系式称为递归 式. ②递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列. 2.常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等. 3.思想策略:构造新数列的思想. 4.常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为: (1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列. ①形如 a n ?1 ? a n ? q(n) 的递归式,其通项公式求法为: an ? a1 ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? q(k )
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1

②形如 a n ?1 ? p(n)a n 的递归式,其通项公式求法为: an ? a1 ? 2 ? 3 ??? ③形如 an ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 1) 的递推式,两边同除以 p n ?1 得 来处理. 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

a a a1 a2

an ? a1 ?p (1) p (2)? p (n ? 1) ?? an ?1

a a n ?1 a n q(n) ? n ? n ?1 ,令 nn ? bn 则句可转化为① n ?1 p p p p

解题方法:利用特征方程 x 2 ? px ? q ,求其根 ? 、 ? ,构造 a n ? A? n ? B? n ,代入初始值求得 A , B . ①若 p+q=1 时,有 a n ?1 ? a n ? ?q (a n ? a n ?1 ) 可知 {a n ?1 ? a n } 是等比数列,先求得 a n ?1 ? a n ,再求出 a n . ②若 p+q≠l, 则存在α , 满足 a n ?1 ? ?a n ? ?(a n ? a n ?1 ) 整理得 a n ?1 ? (? ? ?)a n ? ??a n ?1 从而α +β =p, α β =q, β 可解出α 、β ,这样可先求出 {a n ?1 ? ?a n } 的通项表达式,再求出 a n . 注意α 、 实质是二次方程 x 2 ? px ? q 的两个根, β 将方程 x 2 ? px ? q 叫做递归式 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 的特征方程. 在数列{ a n }中,给出 a1, a2,且 an ? 2 ? pan ?1 ? qan ,它的特征方程 x 2 ? px ? q 的两根为α 与β .如果α ≠β , 则 a n ? A? n ? B? n ;如果α =β 则 a n ? ( An ? B)? n ,其中 A 与 B 是常数,可由初始值 a1,a2 求出. 类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1 ?
aan ? b ,其中 c≠0,ad-bc≠0,以及初始值 a0≠f(a1),则称此数列为分式线 ca n ? d

a ?p 性递归数列.我们称方程 x ? ax ? b 的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点 p、 则 { n q, }为 an ? q cx ? d

等比数列;若该数列仅有惟一的不动点 p,则 {

1 } 是等差数列· an ? p

5.求递归数列通项的常用方法有:换元法、特征根法、数学归纳法等.

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A 类例题
例 1 一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? ( 0 , 1 ) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 { a n } 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则该函数的图象是( )(2005 年辽宁卷)

y
1

y
1

y
1

y
1

x
O 1 O 1

x
O (C) 1

x
O (D) 1

x

分析 解

(A) (B) 利用递推式意义及数形结合

由 an?1 ? f (an ) , an?1 ? an ,得 f (an ) ? an ,即 f ( x) ? x ,故选 A .

说明 分析清楚函数值与自变量的关系,即可判断. 链接

例 2 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, 中 (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 分析

a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,??. (2004 年全国高考题)

解(I)a2=a1+(-1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(-1)2=4, a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k= a2k-1+(-1)k+3k, 所以 a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k, - - 同理 a2k-1-a2k-3=3k 1+(-1)k 1, ?? a3-a1=3+(-1). 所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+?+(a3-a1) - - =(3k+3k 1+?+3)+[(-1)k+(-1)k 1+?+(-1)], 由此得 a2k+1-a1=

3 k 1 (3 -1)+ [(-1)k-1], 2 2

于是 a2k+1=

3k ?1 1 ? (?1) k ? 1. 2 2 3k 1 3k 1 ? (-1)k-1-1+(-1)k= ? (-1)k=1. 2 2 2 2
n ?1 2

a2k= a2k-1+(-1)k=

{an}的通项公式为: 当 n 为奇数时,an= 3
? (?1)
n ?1 2

2

1 ? ? 1; 2
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n 2 当 n 为偶数时, a n ? 3 ? (?1) 2 ? 1 ? 1. 2 2 n

说明 链接

情景再现
1.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+n-2(n≥2),求通项 an. 2.设 f ( x) ? (2004 年四川省高中数学联赛)

x 1 x ( b, c 为常数) ,若 f (2) ? ,且 f ( x) ? ? 0 只有唯一实数根 bx ? c 2 2 (1)求 f (x) 的解析式
(2)令 a1 ? 1, an ? f (an?1 ) 求数列 ?a n ?的通项公式.

B 类例题
例 3 (1)一次竞赛在 n(n>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了 1 枚及余下的 m -1 枚的 枚及余下的

1 ,第 2 轮发了 2 7

1 ,?,直至第 n 轮正好发了 n 枚而没有余下奖章.这个竞赛共包括几轮?一共发了多少枚奖章? 7

(第 9 届国际数学奥林匹克) (2)把一个圆分成 n 个不同的扇形(n≥2),依次记为 S1,S2,?, Sn,每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色 中任一种涂色,要求相邻的扇形颜色互不相同,问有多少种涂法? 分析 第(1)题,每一轮发的奖章数具有一定规律,因而可以建立每一轮发的奖章数的关系或每一轮余下的 奖章数的关系.第(2)题,设法建立涂法总数的递推关系和求得初始值,进而求得涂法总数. 解 (1)设竞赛进行了 k 轮后,余下 ak 枚奖章.因为第 k

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说明 这类试题经常在全国高中数学联赛及国际数学奥林匹克中出现.这两个问题都是用递推方法解决计 数问题,希望读者对这类问题能够进行较为深入的钻研. 链接

例 4 数列{an}定义如下:a1=1,an+1 =

1 (1+4 an + 1? 24an ),求它的通项公式. 16

分析 带根号的部分不好处理,容易想到作代换:令 bn ? 1? 24an
解 设 bn ? 1? 24an ,则 an ?
bn2 ? 1 , b1 ? 5. 于是原递推式可化为 24

bn2?1 ? 1 1 b2 ?1 + bn ) ? (1 ? 4 ? n 24 16 24

即(2bn+1)2=(bn+3)2,由于 bn、bn+1 非负,所以 2bn+1=bn+3. 故 bn+1-3= (bn-3). 所以 bn+1-3= (bn-3)( )n-2 即 bn ? 3 ? ( ) n ? 2
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1 2

1 2

1 2

所以 an ?

1 1 bn2 ? 1 1 ? n = ? 2 n ?1 3 3? 2 2 24

说明 这是 1981 年 IMO 的预选题,解题的关键是换元、转化. 例 5 设{xn}、{yn}为如下定义的两个数列:x0=1,x1=1,xn+1=xn+2 xn-1,y0=1,y1=7,yn+1=2yn+3yn-1,(n=1,2,3?), 于是这两个数列的前 n 项为 xn:1,1,3,5,11,21?, yn:1,7,17,55,161,487,?.证明:除了“1”这项外,不存在那 样的项,它同时出现在两个数列之中. (第二届美国中学生数学竞赛试题) 分析 本题题均属于线性递归数列问题,可用特征根的方法来解决. 解

说明 在求得特征方程的根以后,要依据根的重数正确写出数列通项的一般表达式,再根据初始值求得待 定系数的值. 链接

例 6 数列{an}满足 a0=1, an?1 ?

7a n ? 45an2 ? 36 2

, n ? N ,证明:(1)对于任意 n ? N ,a 为整数;(2)对于

任意 n ? N , an an ?1 ? 1为完全平方数。(2005 年高中数学联赛) 证明:(1)由题设得 a1=5,且数列{an}严格单调递增,将条件变形得
2 2an?1 ? 7an ? 45an ? 36 ,

两边平方法整理得 an2?1 ? 7an an?1 ? an2 ? 9 ? 0 ∴ a ? 7an?1an ? a ? 9 ? 0 ①-②得 (an?1 ? an )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0
2 n 2 n ?1

① ②

∵ a n ? a n ?1 , ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ? 0 , a n ?1 ? 7a n ? a n ?1 ③ 由③及 a0=1, a1=5 可得 an 为正整数.

a n ?1 ? a n 2 ) ④ 3 a ? an 2 a ? an 2 a ? an 2 记 f (n) ? a n a n ?1 ? ( n ?1 ) 由于 f (n) ? f (n ? 1) ? (a n a n ?1 ? a n ?1 a n ) ? [( n ?1 ) ? ( n ?1 ) ] 3 3 3 a ? an ?1 a ? a1 2 (a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ) ? 0 从而 f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (0) ? a0 a1 ? ( 0 = n ?1 ) ?1 9 3
(2)将①两边配方得 (a n ? a n ?1 ) 2 ? 9(a n an ?1 ? 1) ∴ an an ?1 ? 1= ( ∴④式成立∴ an an ?1 ? 1为完全平方数. 说明

情景再现
3.小伟和小明来到咖啡店,他们买了一杯咖啡和一杯牛奶各 150ml,每个杯子的容积为 200ml,甲杯盛牛奶,乙 杯盛咖啡,想将二者混合,兑换成近乎相同的奶咖啡,没有其它的容器,只得利用二个杯子中的剩余空间倒来倒 去,使其混合.规定将乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛满饮料,充分搅匀,再将甲杯里的饮料倒入乙杯中,使 甲、乙杯中的饮料相等.这叫做一次操作.请你回答下列四个问题:
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Ⅰ、一次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比为多少? Ⅱ、求第 n 次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比的数学表达式. Ⅲ 至少几次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比不超过 51%? Ⅳ、你能否设计新操作,得到更优的方案以减少操作次数? (2003年北京应用知识竞赛题) 4. 已知 a1=1,a2=3,an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,若当 m≥n,am 的值都能被 9 整除,求 n 的最小值. (湖南省 2002 年高中数学竞赛)

C 类例题
例 7 数列{an}按如下法则定义:a1=1 a n ?1 ?

1 1 2 an ? , 证明:对 n>1, 均为自然数· 2 2 4a n 2a n ? 1
(1991 年全苏数学冬令营)

分析 因为结论中涉及到根号及 a 2 项,因而令 bn ? n 思路. 解

2 2a n ? 1
2

,并对已给递推关系两边平方就容易找到解题

说明 这道试题,通过换元,将关于如的问题转化为关于 bn 的问题,可使问题得到顺利解决. 例 8. 设 a1=1,a2=3,对一切自然数 n 有 an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,求所有被 11 整除的如的值. 分析 先根据给定的递推关系,通过换元,把问题转化,最后求得 an 的通项公式,进而完成本题. 解

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说明 这是 1990 年巴尔干地区的数学奥林匹克试题,本题中换元起了重要的作用.

情景再现
5.3 个数列{an}、{ bn}、{ cn}存在下列关系:a1=1, b1= (n=1,2,3?)这里的 p 为正常数. (1)求 an; (2)证明:若 cn ≥0,则 cn+1>0; (3)若数列{bn}的最小项为 b4,求 p 取值范围. 6.数列{an}、{ bn}满足 0<a1<b1, 证明下列命题: (1) a2<b2<b1; (2) 对任何正整数 n 有 bn> an+1; (3) 对任何整数 n≥2,有 bn<b1.
1 1 1 1 2bn ?1 ? an ? bn (n=1,2,3?) ? ? 2 an?1 an 2bn
1 ,bn=an+1-an, cn=bn+1-bn= 3 n ?1 ? np 2

习题 12
1. (2001 上海春季高考)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案
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如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得奖金

b 元,然后 n

再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基 金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n ??

2.已知点的序列 An(xn,0),n∈N*,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?, An 是线段 An-2An-1 的中点,?. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3) 求 lim xn.
n??

3.

4.

(首届中国东南地区数学奥林匹克试题) 5.设数列 {an } 满足条件: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1, 2, 3, ? )求证:对于任何正整数 n, 都有
n

an?1 ? 1 ?

1
n

(湖南省 2004 年高中数学竞赛)

an

6.求所有 a∈R,使得由 an+1=2n-3an(n∈N)所确定的数列 a0, a1, a2,?是递增数列.(1980 年英国中学生数学竞 赛试题) 本节“情景再现”解答: 1.解:由已知可得:an+n=2(an-1+n-1)(n≥2) 令 bn=an+n,则 b1=a1+1=2,且 bn=2bn-1(n≥2) - 于是 bn=2·2n 1=2n,即 an+n=2n 故 an=2n-n(n≥2), 因为 a1=1 也适合上述式子, 所以 an=2n-n(n≥1)
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2. (1)? f (2) ?

x x(2 ? c ? bx) x 2 1 令 f ( x) ? ? 0 得 x(2 ? c ? bx) ? 0 ? ? c ? 4 ? 2b ,又 f ( x) ? ? 2b ? c 2 2 2bx ? 2c 2 2?c b

当 b ? 0 时得方程的实数根 x ? 0 和 x ?
? f ( x) ?

于是 c ? 2, b ? 1 , 当 b ? 0 时 c ? 4 方程有唯一实数根 x ? 0

x an ?1 1 x x 或 f ( x) ? (2)当 f ( x) ? 时, an ? ,令 bn ? , 则 bn ? 2bn?1 ? 1 , an ?1 ? 2 an 2? x 4 2? x
n

?bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1) ? bn ? 2 ? 1

? an ?

1 x 1 当 f ( x) ? 时 , a n ? a n ?1 ??an ? 为 等 比 数 列 , 4 4 2 ?1
n

1 a n ? ( ) n ?1 ? 4
3. Ⅰ.设 p=150 ,

an ?

1 或 an ? 41?n 2 ?1 p 3 a1 ? ? ? 75% 1 4 p? p 3
n

Ⅱ. 设 n 次操作前、后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比

分别为 an?1、 an ,则 n 次操作前、后乙杯里的饮料中牛奶的体积百分比分别为 1 ? an?1 1 ? an , 、

an ?

an?1 p ? (1 ? an?1 ) ? p?
2 2

1 p 3
2

1 p 3 = 1 a ? 1 , ∴法 ① a ? a ? 1 (a ? a ) n ?1 n n ?1 n ?1 n?2 2 4 2
∴ an ? 1 ? 1?1 n
2 2

∴ an ?

1 1 ? n?1 2 2

∴ 法② an ? 1 ? 1 (an?1 ? 1 ) Ⅲ. ∴ 1 ?
2 1 51 ? 2 n?1 100

∴n≥6.

Ⅳ. 规定将乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛满饮料,充分搅匀,再将甲杯里的饮料倒入乙杯中,使乙杯盛 满饮料,充分搅匀.这叫做一次操作. 设 n 次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比分别为 an ,乙杯里的饮料中牛奶的体积百分比为 bn .

p 3 a1 ? ? , 1 p? p 4 3

3 2 ? p 3 4 3 b1 ? ? . 2 2 8 p? p 3 3

3 2 3 2 ? p? ? p 4 3 8 3 ? 9 a2 ? 2 2 16 p? p 3 3

9 2 3 2 ? p? ? p 16 3 8 3 ? 15 b2 ? 2 2 32 p? p 3 3

2 2 p ? bn?1 ? p 2 4 3 3 ∴ an ? 第 n 次操作后甲杯里的饮料 p ,乙杯里的饮料 p . 4 3 3 p 3 2 n ?1 2 n ?1 2 4 1 3 ∴ p ? an ? p ? bn ? p ∴ 3an ? 4bn ? 3 . an = an?1 ? , ∴ an ? 2 2 n? 1 ∴ 2 2 n? 1 ? 51 , ∴n≥4. 3 3 4 8 2 100 2 an?1 ?
至少 4 操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比不超过 51%. 4.

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除,故所求的 n 的最小值为 5 5.

6.

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本节“习题 4”解答:

b 1 1 1 1 , 2 位职工的奖金 a2= (1- )b, 3 位职工的奖金 a3= (1- )2b, 第 第 ?, n n n n n 1 1 - 第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b; n n 1 1 k-1 (2)ak-ak+1= 2 (1- ) b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则. n n 1 1 1 (3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数,则 f1(b)=(1- )b,f2(b)=(1- )2b,…,fk(b)=(1- )kb.得 n n n 1 b Pn(b)=fn(b)=(1- )nb,故 lim Pn (b) ? . n?? n e x ? xn?2 x ?x 1 1 2.(1)当 n≥3 时,xn= n?1 ; (2)a1 ? x 2 ? x1 ? a, a 2 ? x3 ? x 2 ? 2 1 ? x 2 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? ? a, a 2 ? 2 2 2 2 x ? x2 1 n-1 1 1 1 1 ? x 4 ? x3 ? 3 ? x3 ? ? ( x3 ? x 2 ) ? ? (? a) ? a , 由此推测 an=(- ) a(n∈N. 证:因为 a1=a>0,且 2 2 2 2 4 2 xn ? xn?1 xn?1 ? xn 1 1 1 an ? xn?1 ? xn ? ? xn ? ? ( xn ? xn?1 ) ? ? an?1 (n≥2)所以 an=(- )n-1a.(3)当 n≥3 时, 2 2 2 2 2 1 有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+?+a1,由(2)知{an}是公比为- 的等比数列,所以 2 a1 2 ? a. lim xn ? 1 n?? 1 ? (? ) 3 2
1. (1)第 1 位职工的奖金 a1= 3. (1)

(2)

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(3)

(4)

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4.

5.证明:令 a0 ? 1 ,则有 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ,且
n ak a ? ? k ?1 ? a k ?1 a k ?1 k ?1 k ?1 n

1?

ak a ? k ?1 (k ? 1, 2, ?) ak ?1 ak ?1

于是 n ?

由算术-几何平均值不等式,可得

1? n

a a1 a 2 a a a ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n?1 a 2 a3 a n ?1 a 2 a3 an?1

注意到

a0 ? a1 ? 1,可知

1?
n

1 an?1

?
n

1 an an?1

,即

n

an?1 ? 1 ?

1
n

an

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6.

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第31讲 数列求和_图文.ppt

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