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连分数及不定方程

2

中 等 数 学

● 数学活动课程讲座 ●

连分数及不定方程
余应龙
( 上海市杨浦区教师进修学院 ,200093)

  ( 本讲适合初中) 实数通常用十进制数表示 , 可写成整数 部分与小数部分 . 实数也可用连分数表示 . 连 分数在用有理数逼近无理数和解不定方程时 常起着重要的作用 . 限于篇幅 ,本文中的定理 就不证明了 .
1  连分数的定义

讲解 : 因 为

67 9 29 2 = 2 + , = 3 + , 29 29 9 9

9 1 =4 + ,所以 , 2 2 67 =2 + 29 1 3+ 1 4+ = [2 ,3 ,4 ,2 ] . 1 2 =2 + 1 1 1 3 + 4 + 2

定义 1  形如 a1 +
a2 +

1 1
a3 +

的式子
1

2  渐近分数

ω 称为连分数 , 其中 , a1 是 0 或正整数或负整 数 , a2 , a3 , …是正整数 , 分别称为连分数的 第一 ,第二 ,第三 , …… 部分商 . 连分数也可写 1 1 成紧 凑 的 形 式 : a1 + , 或用 a2 + a3 + … [ a1 , a2 , a3 , …] 表示 . 显然 ,每一个有限连分数都可化为一个 有理数 . 反之 ,每一个有理数也可化为有限连 分数 . 例如 , 1 1 [ 2 ,3 ,4 ] = 2 + 3 + 4
=2 + 1 3+ 1 4 =2 + 4 30 = ; 13 13
a1

定义 2   在连分数 a1 +
a2 +

1 1
a3 +

中,
1

ω

1

称 第 一 个 渐 近 分 数 ( 当 a1 = 0 时 , 写 成

a1 a2 + 1 0 1 ) ; a1 + = 称第二个渐近分数 ; 1 a2 a2 a1 +

1
a2 +

1
a3

=

a1 a2 a3 + a1 + a3 称第三个渐 a2 a3 + 1

近分数 ; …… 设 p1 , p2 , p3 , …分别表示第一个 , 第二 个 ,第三个 , …… 渐近分数化简后的分子 , q1 ,
q2 , q3 , … 分别表示相应的分母 , 则第 n 个渐 pn ( n ∈N+ ) . 于是 , qn

1 1 1 [ 0 ,2 ,3 ,4 ] = 2 + 3 + 4 = 2+ 1 1 1 3+ 4 = 1 2+ 4 13 = 13 . 30

近分数是

p1 = a1 , p2 = a1 a2 + 1 , p3 = a1 a2 a3 + a1 + a3 , …… q1 = 1 , q2 = a2 , q3 = a2 a3 + 1 , ……

67 例1  把有理数 化为连分数 . 29
   收稿日期 :2007 - 08 - 30

若设 p - 1 = 0 , p0 = 1 , q - 1 = 1 , q0 = 0 ,则
p1 = a1 = a1 p0 + p - 1 , p2 = a1 a2 + 1 = a2 p1 + p0 ,

2008 年第 2 期

3

p3 = a1 a2 a3 + a1 + a3

面每一个渐近分数 . 同理 ,
p2 p2 1 1 = a1 + > a1 + , 大 q2 a2 a2 + … q2

= a3 ( a1 a2 + 1) + a1 = a3 p2 + p1 ,

…… q1 = 1 = a1 q0 + q - 1 ,
q2 = a2 = a2 q1 + q0 , q3 = a2 a3 + 1 = a3 q2 + q1 ,

于后面每一个渐近分数 ;
p3 = a1 + q3

1
a2 +

1
a3

< a1 +
a2 +

1 1 a3 + …

,

…… 一般地有以下定理 . 定理 1   连续三个渐近分数的分子和分 母有以下递推关系 : pn = an pn - 1 + pn - 2 , ( n ∈N+ ) . qn = an qn - 1 + qn - 2 例2  求3+
4 ,5 ] 的渐近分数 . 1 1 1 1 = [ 3 ,2 ,3 , 2 + 3 + 4 + 5

p3 小于后面每一个渐近分数 ; q3

……    故
<
p1 p3 p5 p2 n - 1 < < < …< < … q1 q3 q5 q2 n - 1 p2 n p6 p4 p2 < …< < < . q2 n q6 q4 q2

例如 ,对 [ 3 ,2 ,3 ,4 ,5 ] 的渐近分数

3 7 、 、 1 2

讲解 : 先把 p - 1 = 0 , p0 = 1 , q - 1 = 1 , q0 =
0 , a1 = 3 , a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = 4 , a5 = 5 , 列入

24 103 539 3 24 539 103 7 、 、 ,有 < < < < . 7 30 157 1 7 157 30 2

表1:
表  1
n an pn qn

定理 3   两个连续渐近分数的分子和分 母满足 n pn qn - 1 - pn - 1 qn = ( - 1) . 例如 ,对 [ 3 ,2 ,3 ,4 ,5 ] 的渐近分数
24 103 539 、 、 ,有 7 30 157 7× 1- 3× 2 =1, 24 × 2- 7× 7= - 1, 103 × 7 - 24 × 30 = 1 , 539 × 30 - 103 × 157 = - 1. 3 7 、 、 1 2

- 1

0

1 3

2 2

3 3

4 4

5 5

0 1

1 0

   再利用定理 1 中的递推关系 , 依次求出 pn 、 qn 的值填入表 2.
表  2
n an pn qn

- 1

0

1 3

2 2 7 2

3 3 24 7

4 4 103 30

5 5 539 157

0 1

1 0

3 1

推论 1   每个渐近分数都是既约分数 . 3 7 24 103 539 例如 , 、 、 、 、 都是既约分数 . 1 2 7 30 157 推论 2   两个连续渐近分数的差满足 pn pn - 1 ( - 1) n = .
qn qn - 1 qn qn - 1

   于是 ,得到 [ 3 ,2 ,3 ,4 ,5 ] 的渐近分数依次 3 7 24 103 539 是 、 、 、 、 . 1 2 7 30 157 定理 2   第奇数个渐近分数小于后面每 一个渐近分数 , 第偶数个渐近分数大于后面 每一个渐近分数 . 因为
p1 p1 = a1 < a1 + …, 所以 , 小于后 q1 q1

例如 ,

7 3 1 = , 2 1 1× 2

24 7 - 1 = , 7 2 2× 7 103 24 1 = , 30 7 7× 30 539 103 - 1 = . 157 30 30 × 157

4

中 等 数 学

3  利用渐近分数解二元一次不定方程

例 如 , [ 2 ,5 ,3 ] 是 纯 循 环 连 分 数 , [ 4 ,5 ,2 ,5 ,3 ] 是混循环连分数 .
5  循环连分数和二次无理数的互化

例3  求方程 205 x + 93 y = 7 的整数解 . 205 讲解 : 先把 写成连分数的形式 : 93 205 19 93 17 =2 + , =4 + , 93 93 19 19 19 2 17 1 =1 + , =8 + , 17 17 2 2 205 1 1 1 1 得   =2 + = [2 ,4 ,1 ,8 ,2]. 93 4 + 1 + 8 + 2 再求出它的渐近分数 ,于是 ,得表 3.
表  3
an pn qn

定义 4   若 A、 B 是有理数 , 且 B ≠ 0,D 是非平方数的正整数 ,则形如 A + B D 的无 理数称为二次无理数 .
5 +1 41 - 4 例如 , 11 、 和 等都是二次 2 5 无理数 . 定理 4  二次无理数可化为循环连分 数 . 反之 ,循环连分数可化为二次无理数 . 例4  把纯循环连分数 1 1 1 1 2+ =2 + = [2 ,3] 3 + … 3 + 2 + 3 + … 化为二次无理数 . 1 1 讲解 : 设 x = [ 2 ,3 ] , 则 x = 2 + . 3 + x 于是 ,有表 4.
表  4
an pn qn

2 0 1 1 0 2 1

4 9 4

1 11 5

8 97 44

2 205 93

5    从而 ,205 × 44 - 93 × 97 = ( - 1) = - 1. 将上式的两边同乘以 - 7 得 205 ×( - 44 × 7) + 93 ×( 97 × 7) = 7. 所以 , x = - 308 , y = 679 是方程 205 x + 93 y = 7 的一组整数解 . 它的一般解为 x = - 308 - 93 t , y = 679 + 205 t ( t ∈Z) .

2 0 1 1 0 2 1

3 7 3

x

7x +2 3x +1

同样地 ,方程 205 x - 93 y = 7 有解 x = - 308 , y = - 679.
4  无限连分数

   所以 , x = 解得 x =

7x +2 2 ,即 3 x - 6 x - 2 = 0. 3x +1 15 3 .

3+

显然 ,每一个无限的连分数都是无理数 . 反之 ,每一个无理数都可唯一地表示为无限 连分数 . 定义 3   在无限连分数 1 1 1 a = a1 + a2 + a3 + … + a n + …
= [ a1 , a2 , a3 , …, an , …]

中 ,如果部分商 a1 , a2 , a3 , …, an 中有一些 部分商按某顺序重复出现 ,那么 ,这个无限连 分数称为循环连分数 ; 如果部分商从一开始 就重复出现 ,那么 ,这个无限连分数称为纯循 环连分数 . 纯循环连分数用 [ a1 , a2 , …, an ] 表示 . 否则 ,就称为混循环连分数 .

例5  把混循环连分数 1 1 1 4+ = [ 4 ,5 ,2 ,3 ] 5 + 2 + 3 + … 化为二次无理数 . 讲解 : 设 y = [ 4 ,5 ,2 ,3 ] , 其循环部分为 x = [ 2 ,3 ] . 则 1 1 y =4 + = [ 4 ,5 , x ] . 5 + x 于是 ,有表 5.
表  5
an pn qn

4 0 1 1 0 4 1

5 21 5

x

21 x + 4 5x +1

2008 年第 2 期

5

   由例 4 可知 x =
y=

3+ 3

15

. 所以 ,

所以 , 11 = 3 +
= [3 ,3 ,6 ] .

1 1 1 3 + 6 + 3 + …

21 x + 4 75 + 21 15 75 - 15 = = . 5x +1 17 18 + 5 15

于是 ,有表 6.
表  6
an pn qn

75 - 15 例6  把 化成连分数 . 17

3 0 1 1 0 3 1

3 10 3

6 63 19

3

6



讲解 : 由于不超过 是 4 ,故设
a1 =

75 - 15 的最大整数 17

199 1 257 … 60 379

75 - 15 1 1 (0 < =4 + < 1) . 则 17 a1 a1 17 7+ 15



= 2 7 - 15 1 1 (0 < =5 + < 1) ,
a2 a2

   它的前四个渐近分数是 且
199 63 1 与 的误差小于 2 . 60 19 60

3 10 63 199 、 、 、 , 1 3 19 60

a2 =

2 15 + 3 = 3 15 - 3 1 1 (0 < =2 + < 1) ,
a3 a3

练习题
1. 把下列连分数化为既约分数 . ( 1) 2 + ( 2) 1 1 1 ; 4 + 1 + 5

a3 =

3 15 + 3 = 2 15 - 3 1 1 (0 < =3 + < 1) ,
a4 a4

1 1 1 1 1 . 1 + 1 + 3 + 10 + 12

2. 把下列分数化为连分数 , 并求它的渐

近分数 .
( 1) 10 ; 12 ( 2) 457 ; 56 ( 3) 142 . 513

a4 =

2 = a2 . 15 - 3 75 - 15 = [ 4 ,5 ,2 ,3 ] . 17

所以 ,

3. 求以下方程的整数解 . ( 1) 25 x - 78 y = 11 ; ( 2) 237 x - 28 y = 5 ; ( 3) 121 x - 214 y = 6 ; ( 4) 235 x + 412 y = 10. 4. 把以下二次无理数写成循环连分数的

例 7  把 11 化成连分数 , 并求它的前 四个渐近分数 . 讲解 : 由于不超过 11 的最大整数是 3 , 1 1 故设 11 = 3 + (0 < < 1) . 则
a1 a1

形式 .
( 1) ( 4) ( 7) 6 ;    ( 2) 23 ;   ( 5) 8 ;     ( 3) 17 ;

1 11 + 3 a1 = = 2 11 - 3 1 1 (0 < =3 + < 1) ,
a2 a2 a2 =

2 +3 5 +1 ;   ( 6) ; 2 2 41 - 4 . 5

2 = 11 + 3 11 - 3 1 1 (0 < =6 + < 1) ,
a3 a3

41 + 4 ;   ( 8) 5

5. 把以下循环连分数写成二次无理数的

a3 =

1 = a1 . 11 - 3

形式 . ( 1) [ 1 ,1 ,6 ] ;   ( 2) [ 3 ,1 ,6 ] ;
( 3) [ 4 ,3 ,1 ,6 ] ;  ( 4) [ 2 ,3 ,1 ,1 ,6 ] .


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