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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期周考(12.11)文数试题Word版含答案.doc


数学(文)试题(12.11)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.

2?i 的共轭复数是 ( 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5
1. 复数

) C. ? i D. i

2. 设全集 U ? ?1,3,5,7,9? ,集合 A ? 1, a ? 5 ,9 , CU A ? ?5, 7? ,则实数 a 的值是( A. 2 B. 8 C. ? 2 或 8 ) D. 2 或 8

?

?



3. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 ) D. ? 2

4. 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 4, a6 ? A.

1 ,则公比 q ? ( 2
C. 2

1 2

B. ?

5. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? ?1, ?3? , a ? b ? ? 3, 7 ? ,则 a ? b ?( A. ?12 B. ?20 ( ) C. 12

? ?

?

?

1 2

? ?

? ?

) D. 20

6. 有关命题的说法正确的是

A.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为: “若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” B.命题“ ?x ? R ,使得 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, 2x2 ?1 ? 0 ”
2

C. “若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题为真命题 D.命题“若 cos x ? cos y ,则 x ? y ”的逆命题为真命题

y2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线的离心率为 e ,若双曲线上一 7.已知双曲线 x ? 3
2

点P 使 A. 3

???? ? ???? ? sin ?PF2 F1 ? e ,则 F2 P?F2 F1 的值为( sin ?PF1F2
B. 2

) C. ?3 D. ? 2

8. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面 的面积为( )

A.

3 10 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
一最优解是 (1,3) ,则实数 a 的取值范围为 ( A.? ??, ?1? B.? 0,1?
?

) C. ?1, ?? ? D.?1, ?? ?

10. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 对任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n , 则 ( )

1 1 1 ? ? ... ? a1 a 2 6 1 0 2a

?

A.

2015 2016

B.

2016 2017

C.

4034 2017

D.

4032 2017

11. 知三棱锥 P ? ABC 的外接球的半径为 2 ,且球心在点 A, B, C 所确定的平面上,则三棱 锥的表面积是( A. 3 2 ? 3 D. 3 ) B. 3

?

15 ? 3

?

C. 3 15 ? 3 2

?

2? 3

?
) D. ? 2,3?

12. 记 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.3? ? 1, ??1.3? ? ?2 ,设函数 f ? x ? ? x ? ? x? ,若 方程 1 ? f ? x ? ? loga x 有且仅有 3 个实数根,则正实数 a 的取值范围为( A. ? 3, 4? B. ?3, 4 ? C. ? 2,3?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 若关于 x 的一元二次方程 ? a ? 2? x2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0 没有实数解,则不等式 ax ? 3 ? 0 的解集__________. 14. 已知直线 l : y ? k ? x ? 1? ? 3 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 3

?

过 A, B 分别作 l 的 ? 交于 A, B 两点,
2

垂线与 x 轴交于 C , D 两点,若 AB ? 4 3 ,则 CD ? _________. 15. 2016 年是吉安一中 98 年校庆,在校庆的节日校门口挂了两串喜庆彩灯,这两串彩灯的 第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为 间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超 2 过秒的概率是 _________. 16. 图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示 的一个树形图,我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数(横坐标表示白圈 的个数,纵坐标表示黑圈的个数)比如第一行记为 ? 0,1? ,第二行记为 ?1, 2 ? ,第三行记为

? 4,5? ,照此下去,第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, 边 a 、 b 、 c 的对角分别为 A 、 B 、 C ,且 A 、 B 、

C 成等差数列.
(1) 求

a?c 的取值范围; b

(2) 若 AC 边上的中线长为

7 a ,求角 A 的值. 2

18.(本小题满分 12 分)吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学 生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本 容量为 n )进行统计. 按照 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 的分组作出频率 分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 ?50,60? , ?90,100? 的数据). (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x, y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同 学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 3 名同学中得分在 ?80,90? 的学

生人数恰有一人的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图几何体 E ? ABCD 是四棱锥, ?ABD 为正三角形,

?BCD ? 120? , CB ? CD ? CE ? 1, AB ? AD ? AE ? 3 ,且 EC ? BD .
(1) 求证: 平面 BED ? 平面 AEC ; (2) M 是棱 AE 的中点,求证: DM ?平面 EBC ; (3)求四棱锥 E ? ABCD 的体积 V .

x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一个焦点为 F ? ?1,0? ,左右顶 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 M : 2 ? a 3
点分别为 A, B ,经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (1)求椭圆方程; (2)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 S1 ? S2 的最大值. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ,在 x ? 1 处取得极值 (1)求 a , b 的值; (2)若对任意的 x ??0, ??? ,都有 f ' ? x ? ? k ln ? x ? 1? 成立, (其中 f ' ? x ? 是函数 f ? x ? 的 导函数) ,求实数 k 的最小值. 请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 . 6

? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 (t 为参数) 2 ?y ? t ? ? 2
轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2 2

? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 .且曲线 C 的左焦点

F 在直线 l 上.
(1)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 FA ?FB 的值; (2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 1 . (1)求 f ? x ? ? x ? 2 的解集;

(2)若不等式 f ? x ? ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围 .

江西省吉安市第一中学 2017 届高三上学期周考数学(文)试题(12.11)参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5. CDCAA 6-10. CBCDD 11-12. BB

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. ? x | x ? ? ? 三、解答题 17.解: (1)由正弦定理,

? ?

3? a?

14. 8 3

15.

3 4

16. ?13,14?

a ? c sin A ? sin C ?? ? ? ? 2sin ? A ? ? ,因为 b sin B 3? ?

0? A?

2? a?c ,? ? ?1, 2? . 3 b

(2)利用平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(可由余弦定理求得) ,知,

7a 2 ? b2 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? ,

10 ? 0.016 ? x ? 0.040 ? 0.010 ? y ? ? 1,得 x ? 0.030 .
(2) 由题意可知, 分数在 ?80,90? 有 5 人, 分别记为:a, b, c, d , e , 分数在 ?90,100? 有 2 人,

分别记为: A, B ,共 7 人,记“所抽取的 3 名同学中得分在 ?80,90? 的学生个数恰有一人” 为事件 H ,则由树形图知:基本时间的总数为 35 ,事件 H 包含基本事件的个数为 5 ,所以

P?H ? ?

5 1 ? . 35 7

19.解: (1)证明:? ?ABD 为正三角形,?BCD ? 120? , CB ? CD ? CE ? 1, 故连接 AC 交

BD 于 O 点,则 AC ? BD ,又? EC ? BD, EC ? AC ? C , 故 BD ? 面 AEC,?平面 BED ? 平面 AEC .

ND ,且 MN ? 平面 EBC,? MN ? (2)证明: 取 AB 的中点 N ,连接 MN , ND ,则 MN ?
平面 EBC ; 而 DN ? AB, BC ? AB,? DN ? BC , 且 DN ? 平面 EBC,? DN ? 平面 EBC . 综上所述,平面 DMN ? 平面 EBC ,? DM ?平面 EBC .

C ? B D (3) 由 (1) 知A

, 且 CO ?

1 3 2 , AO ? , 则A C ?2 ,? A E ? E C 2 2

2 A ? C

2 ? E ,A ? C

? 是直角三角形, 且 ?AEC ? 90 , 在 ?EAC 中作 EO ' ? AC 于 O ' , 可求得 AO ' ?

3 也即 O ' 2

与 O 重合,故 EO ? AC ; 且 EO ?

3 ,又? O 是 BD 的中点,故 EO ? BD ,从而 EO ? 平面 ABCD .又 2 3 ? 4

S ABCD ? S?ABD ? S?CBD ?
.

? 3?

2

1 1 1 3 1 ? ?1?1? sin120? ? 3,?V ? ? S ABCD ? EO ? ? 3 ? ? 2 3 3 2 2

20.解: (1)? 点 F ? ?1,0 ? 为椭圆的一个焦点,? c ? 1 ,又?b2 ? 3,?a2 ? b2 ? c2 ? 4,?椭

圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x ? ?1 ,此时 D ? ?1, ? , C ? ?1, ?

? ?

3? 2?

? ?

3? ? , ?ABD 与 2?

?ABC 的面积相等, S1 ? S2 ? 0 ,当直线 l 斜率存在时, 设直线方程为 y ? k ? x ? 1?? k ? 0? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? 显然 y1 , y2 异号,由 ? 4 得 3 ? y ? k ? x ? 1? ?

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? ? 0 ,方程有实根,且

x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ,此时 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12 k 3 ? 4k 2

S1 ? S2 ? 2 y2 ? y1 ? 2 y2 ? y1 ? 2 k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? 1? ? 2 k ? x2 ? x1 ? ? 2k ?
, 由 k ? 0 可得

12 k 3 ? 4k
2

?

12 3 ?4 k k

?

3 12 时等号成立, ? 3 ,当且仅当 k ? ? 2 3 2 ?4 k k

? S1 ? S2
的最大值为 3 .

? f ' ?1? ? 0 1 ? 21.解: (1) 由题设可得,f ' ? x ? ? 3ax ? 2bx,? f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值 , ?? 1, 6 f 1 ? ? ? ? 6 ?
2



?3a ? 2b ? 0 1 1 1 1 ? 即? 1 ,解得 a ? ? , b ? ,经检验知, a ? ? , b ? 满足题设条件. 3 2 3 2 a?b ? ? 6 ?
(2)由(1)得 f ? x ? ? ?

1 3 1 2 x ? x ,? f ' ? x ? ? ? x 2 ? x,?? x 2 ? x ? k ln ? x ? 1? 在 3 2

x ??0, ??? 上恒成立,即 x2 ? x ? k ln ? x ?1? ? 0 在 x ??0, ??? 上恒成立,设 g ? x ? ? x2 ? x ? k ln ? x ?1? ,则 g ? 0? ? 0 ,
g ' ? x ? ? 2x ?1 ? k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ?0, ?? ? ,设 h ? x ? ? 2x2 ? x ? k ?1,①当 x ?1 x ?1

9 ? ? 1 ? 8 ? k ?1? ? 0 ,即 k ? 时, h ? x ? ? 0,? g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增, 8 9 9 ? g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即当 k ? 时,满足题设条件. ②当 ? ? 1 ? 8 ? k ?1? ? 0 ,即 k ? 时, 8 8 1 2 设 x1 , x2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两个实根,且 x1 ? x2 ,由 x1 ? x2 ? ? 可知 x1 ? 0 ,由 2
题设可知,当且仅当 x2 ? 0 ,即 x1 ?x2 ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对任意的 x ??0, ??? 有 h ? x ? ? 0 ,即 g ' ? x ? ? 0 在 ?0, ??? 上恒成立,? g ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增,

9 ? g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0,?1 ? k ? 时,也满足条件,综上,k 的取值范围为 k ? 1 ,所以数实 k 8
的最小值为 1 . 22.解: (1)已知曲线 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其左焦为点为 ?2 2, 0 ,则 12 4

?

?

? 2 t ? x ? ?2 2 ? x2 y 2 ? 2 ? ? 1 联立, 与曲线 C 的方程 m ? ?2 2 ,将直线 l 的参数方程 ? 12 4 ?y ? 2 t ? ? 2
得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,则 FA ?FB ? t1t2 ? 2 .
2

(2) 由曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 可设曲线 C 上的动点 P 2 3 cos ? , 2sin ? , 则以 P 12 4

?

?

为顶点的内接矩形周长为 4 ? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 16sin ? ? ? 内接矩形周长的最大值为 16 .

?

?

? ?

? ??

?? ?? 0 ? ? ? ? ,因此该 3 ?? 2?

23.解: (1)由 f ? x ? ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? 或 ??1 ? x ? 1 或 ?x ? 1 得: ? x ? ?1 , 解得 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?

0 ? x ? 2,? f ? x ? ? x ? 2 的解集为
(2)

?x | 0 ? x ? 2? .

a ? 1 ? 2a ? 1 a

? 1?

1 1 1 1 1? ? 1 ?? ? 2 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 , 当且仅当 ?1 ? ?? 2 ? ? ? 0 a a a a a? ? a ??

时,取等号. 由不等式 f ? x ? ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,可得 x ?1 ? x ?1 ? 3 ,解

得: x ? ?

3 3 3? ?3 ? ? 或 x ? ,故实数 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? . 2 2 2? ?2 ? ?


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