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2014高考数学一轮复习课件:数列的概念与简单表示法(精)


2014高考数学一轮复习课件

第五章





[必修⑤第二章] 第一节 数列的概念与简单表示法

考纲要求

考情分析

1.了解数列的概 1.从考查内容看,Sn与an的 念和几种简单 关系、数列的递推公式 的表示方法 是考查的重点和热点; (列表、图象、 同时又考查转化、方程 通项公式). 与函数、分类讨论等思 想方法. 2.了解数列是自 变量为正整数 2.从考查形式看,以解答

? 一、数列的基本知识 ? 1.数列的定义 ? 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列 中的每一个数叫做这个数列的项. ? 2.数列的通项公式 序号n 之间的关系可以用一 ? 如果数列{an}的第n项与 个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式.

? 1.(1)数列是否可以看作一个函数?若是,则其 定义域是什么?(2)数列的通项公式唯一吗?是 否每个数列都有通项公式? 提示:(1)可以看作一个函数,其定义域是正整数集 N*(或
它的有限子集{1,2,3,…,n}),可表示为 an=f(n). (2)不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为 an =(-1) 或
n

? ?-1 an=? ? ?1

?n为奇数? ,有的数列没有通项公式. ?n为偶数?

? 3.数列的递推公式 ? 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项 (或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式.

分类原 类型 ? 4. 数列的分类 则 按项数 有穷数列 分类 无穷数列 按项与 递增数列 项间 递减数列 的大小 常数列 关系 摆动数列 分类

满足条件 有限 项数______ 项数______ an+1>an an+1<an 其中 an+1=an n∈N* an+1、an大小
无限

? 2.如何根据数列的通项公式判定数列的单调性?
提示:(1)已知 an=f(n),若 f(n)的单调性可以确定,则{an} 的单调性可以确定; ?>0 ? * (2) 比 较 法 : 如 当 n ∈ N 时 , an + 1 - an ?=0 ?<0 ? ?递增数列 ? ?常数列 ?递减数列 ?

则 {an} 为

.

列表法

图象法

解析法

? 5.数列的表示法 ? 、 、

、递推法.

二、数列通项公式的求法 1.已知数列的前几项,求其通项公式. 根据观察、归纳的方法求解. 2.特殊数列 (1)等差数列:an=a1+(n-1)d. (2)等比数列:an=a1qn-1. 3.已知数列前 n 项和 Sn,或前 n 项和与 an 的关系求通项. 利用
? ?S1?n=1?, an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?,

求解.

4.已知递推公式求通项
? ?a1=a (1)已知? ? ?an+1=qan+b,

求 an 时,利用待定系数法求解,

b 其关键是确定待定系数 λ, 使 an+1+λ=q(an+λ)进而得 λ= . q-1
? ?a1=a, (2)已知? ? ?an=an-1+f?n??n≥2?,

求 an 时, 利用累加法求解,

即 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法.
? ?a1=a (3)已知? ? ?an=f?n?an-1?n≥2?

求 an 时,利用累乘法求解,即

a2 a3 an an=a1· · · …· 的方法. a1 a2 an-1

2 3 4 5 1.数列 1,3,5,7,9,…的一个通项公式 an 是( n A. 2n+1 n C. 2n-3 n B. 2n-1 n D. 2n+3

)

? 解析:观察分子、分母得分子的形式为 n(n∈N*).分母为2n-1(n∈N*)的形式,故B选 项符合. ? 答案:B

2.数列 2、 5、2 2、…,则 2 5是该数列的( A.第 6 项 C.第 10 项 B.第 7 项 D.第 11 项

)

解析:原数列可写成 2、 5、 8,….∵2 5= 20, ∴20=2+(n-1)×3,∴n=7.
答案:B

2n 3.已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个数列 3n+1 是( ) A.递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.常数列

2n 2 解析:an= = ,所以 an 随 n 的增大而增大,因此 1 3n+1 3+n 数列为递增数列.

答案:A

4. 已知数列{an}的通项公式是 a2· a3=________.

? ?3n+1,n为奇数, an=? ? ?2n-2,n为偶数,



? 解析:易知a2=2,a3=10,所以a2·a3=20. ? 答案:20

解析:当 n=1 时,a1=S1=2;
2+1,则 2 2 ? 5当 .数列 {ana } 的前 n 项和 S = n n≥2 时, = S - S = ( n + 1) - [( n - 1) +a 1] n n n 1 n n= ________. =n2-(n-1)2=2n-1,


? ?2 ∴an=? ? ?2n-1

?n=1?, ?n≥2?.

? ?2,n=1, 答案:? ? ?2n-1,n≥2

? 由数列的前几项求通项公式

? 【考向探寻】 ? 1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公 式. ? 2.运用观察、归纳、猜想的方法求通项公 式.

? 【典例剖析】 ? (1)(2013·宜春模拟)古希腊人常用小 石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如:

? 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能 够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地, 称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下 列数中既是三角形数又是正方形数的是 ? A.289 B.1 024 ? C.1 225 D.1 378

(2)写出下列数列的一个通项公式: ①3,5,7,9,…. 1 3 7 15 31 ②2,4,8,16,32,…. 2 4 6 8 10 ③3,15,35,63,99,…. 3 1 3 1 3 ④-1,2,-3,4,-5,6,….

?

(1)先求出三角形数和正方形数 的通项公式,然后验证即可. ? (2)观察an与n的关系,归纳规律,写出an.

(1)解析:设图 1 中数列 1,3,6,10,…的通项为 an,则 a2- a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n. 将以上各式两边相加,得 an - a1 = 2 + 3 + 4 + … + n = ?n-1??n+2? , 2 n?n+1? ∴an= 2 . 而图 2 中数列的通项公式 bn=n2.经验证知只有 1 225 满足 49×50 a49= 2 =b35=352=1 225.

答案:C

(2)解:①各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. ②每一项的分子比分母少 1 ,而分母组成数列 21,22,23 ,
n 2 -1 4 2 ,…,所以 an= n . 2

③ 分 子 为

2,4,6,8,10 , … , 2n ; 分 母 为

1×3,3×5,5×7,7×9,9×11 , … , (2n - 1)(2n + 1) , 故 an = 2n . ?2n-1??2n+1?

④奇数项为负, 偶数项为正, 故通项公式中含有因子(-1)n; 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4…; 而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项 为 3, 即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1,
n 2 + ? - 1 ? 所以 an=(-1)n· n .

? 1 ?-n,n为正奇数 也可写成 an=? ?3,n为正偶数 ?n

.

? ? ? ? ?

(1)据所给数列的前几项求其通项公 式时,需根据以下几方面的特征进行分析. ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

? (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般” 的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的, 要注意代值检验.对于正负符号变化,可用(- 1)n或(-1)n+1来调整. ? (3)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要 有目的,观察出项与项数之间的关系、规律, 利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇 偶数列等)转换而使问题得到解决.

【活学活用】 1.写出下列数列的一个通项公式. 2 10 17 26 37 (1)3,-1, 7 ,- 9 ,11,-13,…. (2)3,33,333,3 333,….

解:(1)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式中必含有因 子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第 3 项到第 6 项可 见,分母分别由奇数 7,9,11,13 组成,而分子则是 32+1,42+
2 1 +1 2 2 1,5 +1,6 +1,按照这样的规律,第 1、2 两项可改写为 , 2+1 2 22+1 n n+1 +1 - ,所以 an=(-1) . 2· 2+1 2n+1 9 99 999 9 999 (2)将数列各项改写为3, 3 , 3 , 3 ,…,分母都是 3,

而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,…, 1 n 所以 an=3(10 -1).

? 根据条件求数列的通项公式

? 【考向探寻】 ? 1.利用an与Sn的关系求通项公式an; ? 2.利用递推关系求通项公式an.

?

则 an=________;

n a =0,a * (1) 已知数列 { a } 中, = (2)已知数列{an}中,a1=1,n an= a ( n ≥ 2 , n ∈ N ), 1n 1 n+1 n - 1 an+(2n-1)(n∈N*),则an=________;


(3)设数列{an}的前 n 项和

? Sn? Sn,点?n, n ?(n∈N*)在函数 ? ?

y=

3x-2 的图象上,求数列{an}的通项公式.

题号 分析 (1) 利用累加法求解; (2) 利用累乘法求解; 先求出Sn,再利用an=Sn-Sn (3) -1(n≥2)求解.

? ? ? ? ?

解:(1)由题意知an+1-an=2n-1. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3) =(n-1)2, ∴该数列的通项公式为an=(n-1)2.

a2 a3 an (2)n≥2,n∈N 时,an=a1×a ×a ×…× an-1 1 2
*

n-2 n-1 2 3 n =1× × ×…× × × 1 2 n-3 n-2 n-1 =n. 又 a1=1,满足上式. ∴该数列通项公式为 an=n.

Sn (3)依题意,得 n =3n-2, 即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5, 当 n=1 时, a1=S1=3×12-2×1=6×1-5,满足上式. ∴an=6n-5(n∈N*).

? (1)根据条件求数列的通项公式时,首先要对 所给的条件进行分析,判断所属的类型,然 后再结合相应的方法求解. ? (2)解题中要注意转化、待定系数等方法的运 用.

? 利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式时,一定要验 证n=1时的情形.若n=1时,an适合Sn-Sn-1, 则通项公式为一个表达式;否则要写成分段函 数的形式.

? 【活学活用】 ? 2.已知{an}满足a1=3,an+1=2an+1,则an= ________. ? 解析:由条件知an+1+1=2(an+1) ? ∴数列{an+1}是以a1+1=4为首项,以2为公比 的等比数列. ? ∴an+1=4·2n-1=2n+1, ? ∴an=2n+1-1. ? 答案:2n+1-1

? n+1 1? an ? ? 3.在数列{an}中,a1=1,an+1= 1+n an+ 2n .设 bn= n , ? ?

则数列{bn}的通项公式 bn=________.
an+1 an 1 解析:由已知得 b1=a1=1,且 = n +2n, n+1 1 即 bn+1=bn+ n, 2

从而有 bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1) 1 1 1 1 =1+2+22+…+ n-1=2- n-1(n≥2). 2 2 又 b1=1 满足上式,故所求通项公式 bn=2- n-1. 2 1

答案:2- n-1 2

1

? 数列的综合应用

? 【考向探寻】 ? 1.与数列有关的单调性、最值等问题. ? 2.数列与函数、方程的综合问题.

【典例剖析】 (12 分)已知数列{an}的通项
?10? an=(n+1)?11?n(n∈N*), ? ?

试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项的项数;若 没有,说明理由.
本题可用作差法或作商法比较 an 与 an+1 的大
? ?an≥an+1 小,也可用? ? ?an≥an-1

列出不等式组,求 n 值即可.

?10? ?10? - ? n n 1 ? ? ? ? ? n + 1 ? ≥ n · , ? 11 11 ? ? ? ? 方法一:令? ?10? ?10? + n ??n+1?? ? ≥?n+2?· ? ?n 1 ? ?11? ?11? ? ?10n+10≥11n, 整数得? ? ?11n+11≥10n+20

4分

…………………………8 分

解得 9≤n≤10…………………………………………10 分 又 n∈N*,∴n=9 或 n=10. 故数列{an}有最大项,此时 n=9 或 n=10.…………12 分

方法二:∵an+1-an
?10? + ?10? n 1 ? ? ? ?n =(n+2)· - ( n + 1)· ?11? ?11 ? ?10? 9-n =?11?n·11 ,…………………………………………3 ? ?



当 n<9 时,an+1-an>0, 即 an+1>an;

? ? ? ? ?

当n=9时,an+1-an=0, 即an+1=an;当n>10时,an+1-an<0, 即an+1<an.9分 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, ∴数列{an}中有最大项,为第9项和第10 项. ……………………12分

?

(1)数列是一类特殊的函数,解题 时注意函数与方程思想的应用,同时转化思想 也是解题的常用方法. ? (2)数列最大项、最小项、数列有界性问题可借 助数列的单调性来解决,判断单调性时常用① 作差法,②作商法,③结合函数图象等方法.
(3)若求最大项 an,则 若求最小项 an,则
? ?an≥an+1 an 满足? ? ?an≥an-1;

? ?an≤an-1 an 满足? ? ?an≤an+1.

? 本例解题过程中易出现只得出a9这一项,而 忽视了a9=a10,从而导致误解.

? 【活学活用】 ? 4.设函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an} 满足f(2an)=2n(n∈N*). ? (1)求数列{an}的通项公式; ? (2)判断数列的单调性.

1 解:(1)f(2an)=log22an-log2 an 2=an-a , n 1 所以 an-a =2n?a2 n-2nan-1=0. n 所以 an=n± n2+1, 因为 x∈(0,1),所以 2an∈(0,1),所以 an<0, 所以 an=n- n2+1.

(2)方法一:an+1-an=(n+1)- ?n+1?2+1-(n- n2+1) =1-[ ?n+1?2+1- n2+1] 2n+1 2n+1 =1- >1- =0. 2 2 ? n + 1 ? + n ?n+1? +1+ n +1 所以 an+1>an,所以数列{an}是递增数列.

an+1 ?n+1?- ?n+1?2+1 方法二:∵ a = n n- n2+1 n+ n2+1 = <1. 2 n+1+ ?n+1? +1 又∵an<0, ∴an+1>an, ∴数列{an}是递增数列.

? 忽视n的取值范围致误
已知数列{an}中,a1=1,前 n 项的和为 Sn,对任 3 意的自然数 n≥2,an 是 3Sn-4 与 2- Sn-1 的等差中项.求通 2 项 ? an.

由已知得

? ? 3 2an=(3Sn-4)+?2-2Sn-1?,又 ? ?

an=Sn-Sn-1 得 an

an+1 =3Sn-4, an+1=3Sn+1-4.两式相减得 an+1-an=3an+1, 故 = an
? 1? 1 - ,又 a1=1,故 an=?-2?n. 2 ? ?

an+1 1 错因主要忽视了 =- 成立的前提 n≥2, 只能说明数列 an 2 从第 2 项起为等比数列,至于整个数列{an}是否为等比数列还 a2 1 需验证 是否等于- , 这种在解答过程中忽视数列“定义域” a1 2 限制而致错的题目频率是非常高的,应引起足够的重视.

解:由已知,当 n≥2 时,
? ? 3 2an=(3Sn-4)+?2-2Sn-1? ? ?

① ②

又 an=Sn-Sn-1, 得 an=3Sn-4(n≥2), an+1=3Sn+1-4, 以上两式相减得 an+1-an=3an+1, an+1 1 ∴ a =-2 n

∴a2,a3,…,an,…成等比数列,其中 a2=3S2-4=3(1+a2)-4. 1 1 即 a2= ,q=- , 2 2 ∴当 n≥2 时,an=a2q 1, ? ? ∴an=? ? 1?n-1 -?-2? , ? ? ? ?
n-2

? 1? - 1? 1?n-2 = ?-2? =-?-2?n 1, 2? ? ? ?

?n=1?, ?n≥2?.

? ?

数列是一种特殊的函数,其特殊性在 于定义域为正整数集,因此对于an,Sn而言,要 求n≥1,这一点在解题中容易忽视.因此在解题 中要注意对题目条件及隐含条件的挖掘,避免 出现错误.

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