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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步单元小练 文


单元小练 10
一、 填空题

解析几何初步


1.已知直线l1:x+2y-1=0与直线l2:mx-y=0平行,那么实数m=

2.若坐标原点在圆(x-m) +(y+m) =4的内部,则实数m的取值范围是

2

2



2 2 3.已知圆C:x -2ax+y =0(a>0)与直线l:x- 3 y+3=0相切,那么实数a=



4.过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程 为 .

5.已知圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于A,B两点,且AB= 3 ,那 么该圆的标准方程是 .

6.过点P(3,1)作圆C:(x-2) +y =1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程 为 .

2

2

7.已知直线 3 x-y+2=0及直线 3 x-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,那么圆C的面积 是 .

8.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交 点,则实数m的取值范围是 .

9.已知圆x +y -4ax+2by+b =0(a>0,b>0)关于直线x-y-1=0对称,那么ab的最大值 是 .

2

2

2

10.设A(1,0),B(0,1),直线l:y=ax,圆C:(x-a) +y =1.若圆C既与线段AB有公共点,又与 直线l有公共点,则实数a的取值范围是 .

2

2

二、 解答题

1

11.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,当△OMN面积取最小值时,求直 线l的方程.

12.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D, 且CD=4 10 . (1)求直线CD的方程; (2)求圆P的方程.

13.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y 轴截得的弦长为2 3 ,圆C的面积小于13. (1)求圆C的标准方程; (2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB. 问:是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出直线l的方程;若不存 在,请说明理由.

【单元小练答案】 单元小练10 解析几何初步

1 1. - 2

m -1 1 【解析】因为直线l1:x+2y-1=0与直线l2:mx-y=0平行,所以 1 = 2 ≠0,解得m=- 2 .

2 2 2 2 2. (- 2,2 ) 【解析】因为点(0,0)在(x-m) +(y+m) =4的内部,则有(0-m) +(0+m) <4,解

得- 2 <m< 2 .

2

|a ? 3| 2 2 2 3. 3 【解析】由题知圆的方程为(x-a) +y =a ,则有 2 =a,a>0,解得a=3.
?2 x-y-5 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, 4. 3x+y=0 【解析】联立 ? 得交点P(1,-3).设过点P且与直线3x+y-1=0平行的
直线方程为3x+y+m=0,则3×1-3+m=0,解得m=0,所以所求直线方程为3x+y=0.

2 ? 3? ? 1? ? y ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? +b =1,可 5. (x-1) + =1 【解析】依题可设圆C:(x-1) +(y-b) =1(b>0),且 ?

2

? 1? 1 ? y- ? 2 ? 2 ? =1. 2 解得b= ,所以圆C的标准方程为(x-1) +
2 2

2

6. x+y-3=0 【解析】圆(x-2) +y =1的圆心为C(2,0),半径为1,以P(3,1)、C(2,0)为直径 的圆的方程为(x-2.5) +(y-0.5) =0.5,将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x+y-3=0.
2 2

|2-(-10)|
7. 25π 【解析】设圆心到直线的距离为d,则2d=

( 3)2 ? 12 =6,又因为弦长为8,根据勾

股定理得r=5,则S=25π .

? 2 1? ?- , ? 8. ? 3 2 ?

3 【解析】如图,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,kQA= 2 ,kPA=-2,

1 1 1 3 1 2 kl=- m ,所以- m ≤-2或- m ≥ 2 ,解得0<m≤ 2 或- 3 ≤m<0;当m=0时,直线l的方程为
2 1? ? ?m | - ? m ? ? 3 2?. x=0,与线段PQ有交点,所以实数m的取值范围为 ?

3

(第8题)

1 9. 4

【解析】由圆x +y -4ax+2by+b =0(a>0,b>0)关于直线x-y-1=0对称,可得圆心(2a,-b)

2

2

2

1 1 在直线x-y-1=0上,故有2a+b-1=0,即 2a+b=1≥2 ab ,求得ab≤ 4 ,故ab的最大值为 4 .
? 1? 5 ? ?1- 2, ? 2 ? ? ? 10. ?
a2

【解析】若圆与直线l有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径,即

? 1? 5 ? |a -1| ?0, ? 2 2 ? 2 有 1 ? a ≤1,所以a ∈ ? ;由于圆C与线段AB相交,则a≤2且 2 ≤1,因此

? 1? 5 ? ? ?1- 2 ? a ? 2 ? 1, ? ? 12 , ? 2 ? ? a ? 2 , ? ? ?. 解得1- 2 ≤a≤2,所以实数a的取值范围是 ?
11. (1) 当直线l经过坐标原点时, 该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-

y=0;
当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得

2?a a ? 1 =2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.
综上,直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.

? 2?a ? , 0? ? (2) 由直线方程可得M ? a ? 1 ? ,N(0,2+a),因为a>-1,
所以

1 2?a 1 (a ? 1 ? 1) 2 1 ? a ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? a ?1 ? ≥ 2 × a ?1 = 2 ? S△OMN= 2 × a ? 1 ×(2+a)= 2 ×
? ? 1 ? 2? ? 2 (a ? 1) ? a ?1 ? ? =2,

4

1 当且仅当a+1= a ? 1 ,即a=0时等号成立.
此时直线l的方程为x+y-2=0.

12. (1) 已知A(-1,0),B(3,4),所以直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).又直线CD 是线段AB的垂直平分线,所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2) 设圆心P(a,b),则由点P在直线CD上,得a+b-3=0. ① 又由题知直径CD=4 10 , 所以PA=2 10 , 所以(a+1) +b =40. ②
2 2

?a ? -3, ?a ? 5, ? ? b ? 6 或 ?b ? -2, 由①②解得 ?
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2), 所以圆P的方程为(x+3) +(y-6) =40或(x-5) +(y+2) =40.
2 2 2 2

13. (1) 设圆C:(x-a) +y =r (a>0),

2

2

2

13 ? a? , ? |3a ? 7| ? ? r, ? 8 ? 2 2 3 ? 4 ? ?a ? 1, ? 19 ?r ? . ? ? 2 a ? 3 ? r , ? r ? 2 8 又S=π r2<13,所以a=1, ? ? 由题意知 解得 或?
所以圆C的标准方程为(x-1) +y =4. (2) 当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意. 当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2

? y ? kx ? 3, ? (x-1)2 ? y 2 ? 4, 又l与圆C相交于不同的两点,联立得 ?
消去y得(1+k )x +(6k-2)x+6=0, 所以Δ =(6k-2) -24(1+k )=12k -24k-20>0,
2 2 2 2 2

2 6 2 6 解得k<1- 3 或k>1+ 3 .

5

6k -2 2 又x1+x2=- 1 ? k , 2k ? 6 2 所以y1+y2=k(x1+x2)+6= 1 ? k , ???? ??? ? ??? ? ???? ? OD = OA + OB =(x1+x2,y1+y2), MC =(1,-3), ???? ???? ? 假设 OD ∥ MC ,则-3(x1+x2)=y1+y2, 3 解得k= 4
? ? 2 6? ? 2 6 ? , 11 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ∪? ? ,所以假设不成立,所以不存在这样的直线l.

6


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