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哈三中2015一模理科试题及答案


哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(理工类)
第I卷
有一项是符合题目要求的.) 1. 集合 P ? ? x A. (1,2] 2. (选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

? x ?1 ? ? 0? , Q ? x y ? 4 ? x 2 ,则 P ? Q ? ? x?3 ?
B. [1,2] C. (??, ?3)

?

?

(1, ??)

D. [1,2)

等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 = 6 , a1 = 4 ,则公差 d 等于 A. 1 B.

5 3

C. ? 2

D. 3

3.

? 在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1 , ?B ? 30 ,则 ?ABC 的面积为

3 , ?C ? 2
?

A. 30 4.

?

B. 45

?

C. 60

?

D. 75

下列函数在 (0,??) 上为减函数的是 A. y ? ? x ? 1 B. y ? e
x

C. y ? ln(x ? 1)

D. y ? ? x( x ? 2)

5.

方程 log2 x ? x ? 2 的解所在的区间为 A. (0.5,1) B. (1,1.5) C. (1.5,2) D. (2,2.5)

6.

将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移 称,则 ? 的一个可能取值为 A.

? 个单位, 所得到的函数图象关于 y 轴对 8

3? 4

B.

? 4
理科答案 1

C. 0

D. ?

?
4

7.

给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? 的四个命题: ① 若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; ② 若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? , 其中为真命题的是

A.①③④

B.②③④

C.①②④

D.①②③

?x ? y ? 1 ? 0 ? 8. 变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 的最小值为 ? x ? ?1 ?
A.

3 2 2

B. 5

C.

9 2

D. 5

9. 如图,?AOB 为等腰直角三角形,OA ? 1 ,OC 为斜边 AB 的高, 点 P 在射线 OC 上, 则 AP ? OP 的最小值为 A. ? 1 B. ?

A

1 8 1 2
P

C

C. ?

1 4

D. ?

O

B

? 10. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD , ?PAB 和

?PAD 都是等边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为

理科答案

2

A. 90 B. 75 C. 60

?

P

?

?

D

A B

D. 45

?

C

11. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 PF ? 3QF ,则 QF = A.

5 2

B.

8 3

C. 3

D. 6

12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,?x ? R , 有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 , 在 (0,??) 上

f ?( x) ? x ,若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围为
A. [?2,2] B. [2,??) C. [0,??) D. (??, ?2] [2, ??)

哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 正项等比数列 ?an ? 中, a 2 ? 4 , a4 ? 16 ,则数列 ?an ? 的前 9 项和等于 14. 某几何体的三视图如图所示, 则它的表面积为 . .

2

4

4
理科答案 3

正视图

侧视图

2
俯视图

15. 已知 F1 ,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点, 且 ?F1 PF2 ? 椭圆的离心率为 e1 ,双曲线的离心率 e2 ,则

?
3



1 3 ? 2 ? 2 e1 e2



16.定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [ a, b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [ a, b] 上的“平均值函数” , x0 是它的 b?a

一个均值点,例如 y ? x 2 是 [ ?1,1] 上的平均值函数, 0 就是它的均值点.现有函数

f ( x) ? x 3 ? mx是 [ ?1,1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,三个内角 A , B , C 所对的边分别记为 a , b , c ,并且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) .

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b , c (其中 b ? c ) .

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3(an ? an?1 ) , a1 ? 2 ,令 bn ? (Ⅰ)证明:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式. 19.(本小题满分 12 分)

1 . an ? 1

?ABC 为等腰直角三角形,AC ? BC ? 4 ,?ACB ? 90? ,D 、E 分别是边 AC 和
理科答案 4

AB 的中点, H、 F 分别是边 AD 现将 ?ADE 沿 DE 折起, 使面 ADE ? 面 DEBC ,
和 BE 的中点,平面 BCH 与 AE 、 AF 分别交于 I 、 G 两点. (Ⅰ)求证: IH // BC ; (Ⅱ)求二面角 A ? GI ? C 的余弦值;

A

G
(Ⅲ)求 AG 的长.

I

H

F
B
20.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : y ? 2 px 与椭圆 C 2 :
2

E

D

C

x2 y2 ? ? 1 在第一象限的交点为 B , O 16 12

为坐标原点, A 为椭圆的右顶点, ?OAB 的面积为 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;

8 6 . 3

(Ⅱ)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、 D 两点,射线 OC 、 OD 分别交 C 2 于 E 、 F 两 点,记 ?OEF 和 ?OCD 的面积分别为 S1 和 S 2 ,问是否存在直线 l ,使得

S1 : S 2 ? 3 : 77 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
y B E A

C

O

x

F D

理科答案

5

21.(本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x) ? a( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? bx ( x ? ?1) , 曲 线 y ? f ( x) 过 点

(e ? 1, e 2 ? e ? 1) ,且在点 (0,0) 处的切线方程为 y ? 0 .
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ; (Ⅲ)若当 x ? 0 时, f ( x) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, 延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 ? . PC 2
(Ⅰ)求

AD 的值; BC

B

(Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 , 求 BC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

?O
D

A P

C

? 2 x? t ? ? 2 ( t 是参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ? 2 ?y ? t?4 2 ? 2 ?
曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos( ? ?

?
4

).

(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

理科答案

6

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围. 哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试数学试卷(理工类)答案及评分标准 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. 1022 三、解答题: 17.解:(Ⅰ) sin 2 A ? ( 14. 8 ? (2 ? 2 5)? 15. 4 16. ( ?3, ? ]

3 4

3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

?

3 3 (cos 2 B ? sin 2 B ) ? , 4 4
3 ? ,? A ? . 3 2

? sin A ?

??????????

6分

(Ⅱ) AB ? AC ? b cos A ? 12 ,? bc ? 24 , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,? b ? c ? 10 ,

? b ? c ,? b ? 4 , c ? 6 .??????????
18.解:(Ⅰ) (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3?(an ? 1) ? (an?1 ? 1)? ,

12 分

理科答案

7

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 1 1 ? ,即 bn ?1 ? bn ? ,??bn ?是等差数列.???6 分 3 an ? 1 3
1 2 n ? ,?????????? 3 3
10 分

(Ⅱ)? b1 ? 1 ,? bn ?

3 n?5 ,? a n ? .?????????? n?2 n?2 19. (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点, an ? 1 ?
所以 ED // BC , 因为 BC ? 平面 BCH , ED ? 平面 BCH , 所以 ED // 平面 BCH

12 分

因为 ED ? 平面 BCH , ED ? 平面 AED ,平面 BCH ? 平面 AED ? HI 所以 ED // HI 又因为 ED // BC , 所以 IH // BC . ?????????????? 4 分

(Ⅱ) 如图,建立空间右手直角坐标系,由题意得,

z

A

D(0,0,0) , E (2,0,0) , A(0,0,2) ,
G
I H D

F (3,1,0) , E (0,2,0) , H (0,0,1) ,
F

x
E

EA ? (?2,0,2) , EF ? (1,1,0) ,
B

y

C

CH ? (0,?2,1) , HI ?

1 DE ? (1,0,0) , 2

设平面 AGI 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

理科答案

8

? ?? x1 ? z1 ? 0 ? EA ? n1 ? 0 ? ,? ,令 z1 ? 1 ,解得 x1 ? 1 , y1 ? ?1 ,则 n1 ? (1,?1,1) ? ? ? x ? y ? 0 EB ? n ? 0 1 1 ? 1 ?
设平面 CHI 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

? ?? 2 y1 ? z 2 ? 0 ?CH ? n2 ? 0 ? ,? ,令 z 2 ? ?2 ,解得 y1 ? ?1 ,则 n2 ? (0,?1,?2) ? ? ? x ? 0 HI ? n ? 0 2 ? 2 ?

cos ? n1 , n2 ??

1? 2 3? 5

?

15 , 15
15 15

所以二面角 A ? GI ? C 的余弦值为

??????????? 8 分

(Ⅲ)法(一) AF ? (3,1,?2) ,设 AG ? ? AF ? (3?, ?,?2?)

GH ? AH ? AG ? (0,0,?1) ? (3?, ?,?2?) ? (?3?,??,2? ? 1)
则 GH ? n2 ? 0 ,解得 ? ?

2 , 3

AG ?

2 2 2 2 14 AF ? 3 ? 1 ? (?2) 2 ? 3 3 3

??????? 12 分

法(二)取 CD 中点 J ,连接 AJ 交 CH 于点 K ,连接 HJ , ?HKJ 与 ?CKA 相似, 得

AK 2 2 14 ? 2 ,易证 HI // GK ,所以 AG ? AF ? ????? 12 分 KJ 3 3

20. 解: (Ⅰ)因为 ?OAB 的面积为

8 6 4 6 ,所以 y B ? ,?????2 分 3 3

代入椭圆方程得 B( ,

4 4 6 ), 3 3

理科答案

9

抛物线的方程是: y 2 ? 8x ?????4 分 (Ⅱ) 存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件 解:显然直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x ? my ? 4 , 与 y 2 ? 8x 联立得 y 2 ? 8my ? 32 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 8m, y1 ? y 2 ? ?32

1 OC OD sin ?COD OC OD y y 32 S2 2 .?????6 分 ? ? ? ? 1 2 ? yE yF S1 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
由直线 OC 的斜率为

y1 x2 y2 8 8 OC ? ? 1 联立得 的方程为 y ? x ,与 ? ,故直线 16 12 y1 x1 y1
y y 1 1 2 y E ( 1 ? ) ? 1 ,同理 y F ( 2 ? ) ? 1 , 64 ? 16 12 64 ? 16 12
2 2 2

所以 yE 2 ? y F (
2

2

y1 y 1 1 ? )( 2 ? ) ? 1 ???8 分 64 ? 16 12 64 ? 16 12
36 ? 256 121 ? 48m 2
2

2

2

可得 yE 2 ? yF ?

S 2 77 322 (121 ? 48m2 ) ? 77 ? 要使 ,只需 ? ? ? ? ???10 分 S1 3 36 ? 256 ? 3?
即 121 ? 48m ? 49 ?121
2

解得 m ? ?11 , 所以存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件?????????? 12 分 21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2a( x ? 1) ln(x ? 1) ? a( x ? 1) ? b ,
理科答案 10

? f ?(0) ? a ? b ? 0 , f (e ?1) ? ae2 ? b(e ?1) ? a(e2 ? e ? 1) ? e2 ? e ? 1
? a ? 1 , b ? ?1 .
(Ⅱ) f ( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x , 设 g ( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ? x 2 , ( x ? 0) , g ?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ????????????4 分

( g ?( x))? ? 2ln( x ? 1) ? 1 ? 0 ,? g ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?( x) ? g ?(0) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,? g ( x) ? g (0) ? 0 .

? f ( x) ? x 2 .????????????8 分
(Ⅲ)设 h( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ? mx2 ,

h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ? 2mx ,
(Ⅱ) 中知 ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) ,? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ,

? h?( x) ? 3x ? 2mx,
① 当 3 ? 2m ? 0 即 m ?

3 时 , h ?( x) ? 0 , ? h( x) 在 ?0,??? 单 调 递 增 , 2

? h( x) ? h(0) ? 0 ,成立.
②当 3 ? m ? 0 即 m ?

3 时, h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? (1 ? 2m) x , 2
2 m?3 2

h??( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 3 ? 2m ,令 h??( x) ? 0 ,得 x0 ? e

?1 ? 0 ,

当 x ? ?0, x0 ? 时 , h?( x) ? h?(0) ? 0 , ? h( x) 在 ?0, x0 ? 上 单 调 递 减

? h( x) ? h(0) ? 0 ,不成立.
综上, m ?

3 .????????????12 分 2

22. (Ⅰ)由 ? PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似,
理科答案 11

设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x
所以

AD x 2 ????????????5 分 ? ? BC 2 y 4

(Ⅱ) ?C ? 90 ,

PA ? 4, PC ? 2 2,BC ? 2 2 ????????????10 分

23.解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2

圆心 (

5 2 2 2 ? 5 ?1 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? 2 2 2

所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. ?????5 分 (Ⅱ)设 M (

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) , 2 2

则 x ? y ? cos ? ? sin ? ?

? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ? .?????10 分 4 ?

24. (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ??1, ??? ?????5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?

1 a ? x ? 1? 2 2

理科答案 12

由绝对值的几何意义,只需 ?

1 a ? 1 ? ? a ? ?3 ???????10 分 2 2

理科答案 13


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