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解析几何复习建议


解析几何复习建议
棠湖中学数学组 张勇

一、近五年高考解析几何试题分析
解析几何是高中数学的主干知识之一, 其特点是用代数的方法研究、解决几何问题, 重点是用 “数形结合” 的思想把几何问题转化为代数问题. 其命题一般紧扣课本, 全面考查、 突出重点主干知识、注重知识交汇处 、强化思想方法、突出创新意识.,在高考中占有较大 比重.我统计了2010-2012年全国高考解析几何试题( 以理科为例) 共57份试卷, 考查的知识 点及分值具体情况分布如下: 省份 课标全 国卷 试卷题 12 ( 双 号 曲线) 16(圆) 12(圆) 6(双曲 21 ( 双 20 (双曲 线) 线) 5 (双曲 线) 8(双曲 线) 7(抛物 2(抛物 线) 线) 5(双曲 线) 7(圆) 19 ( 椭 圆) 山东 广东 江苏 天津 浙江 辽宁 福建 安徽

15(圆) 曲 线 , 20 ( 椭 圆) 椭圆)

9(圆) 13 (圆) 13 ( 抛 18 ( 椭 圆) 20 ( 椭 圆) 物线) 21 ( 椭 圆)

9(双曲 7(双曲 线) 20 ( 椭 圆) 22 线) 17 ( 椭 圆) 23

考查分 值 北京

21

16

19

26

21

24

23

湖南

陕西

大纲全 国1

大纲全 国2 12 ( 椭 圆)

重庆

湖北

江西

四川

上海

( 5 极坐 3(极坐 标) 13(双 标,参 数 方

8 (抛 物线) 20 ( 椭 圆)

9(双曲 线)

8(圆) 10 ( 椭 圆) 14 (抛 物线) 20

2 ( 椭 圆)

8(圆) 9 ( 椭 15 (双 圆)

3(抛物 线)

11(圆) 15 ( 抛 16 ( 椭 圆) 21 (抛物 线) 物线) 21 ( 双 曲线)

9(圆) 曲线) 19 ( 抛 物线) 21 ( 椭 圆)

14(圆) 5(圆) 20 ( 双 曲线) 13(双曲 线) 16(参数 方程) 23 ( 椭 圆)

曲线, 程) 椭圆 ) 19(椭 圆) 14 ( 抛 物线) 19 ( 椭 圆)

24 2010 年:

23

18

27

22

27

22

21

21

35

椭圆:选择、填空题 6 次,解答题 13 次 双曲线:选择、填空题 11 次,解答题 3 次 抛物线:选择、填空题 7 次,解答题 2 次 圆:选择、填空题 12 次

最低 16 分,最高 35 分

省份

课标全 国卷

山东

广东

江苏

天津

浙江

辽宁

福建

安徽

试卷题 号

7 双曲 ( 线) 14(椭 圆) 20(抛 物线)

( 8 双曲 线) 22(椭 圆)

14(参数 方程)

14(圆) 11(抛物 18 ( 椭 线)

8(椭 圆,双

( 3 抛物 线) 13(双 曲线) 20(椭 圆)

7(圆锥 曲线)

5 (极坐标) 15(直线)

19 椭圆) 圆) (

18 (椭圆) 曲线) 17(椭 圆 21(抛 物线)

17(圆, 21 ( 抛 物 抛 线) 物 线)

考查分 值 北京

22

19

19

18

17

22

22

18

23

湖南

陕西

大纲全国 1

大纲全 国2

重庆

湖北

江西

四川

上海

3 极坐 ( 标) 14(双 曲线) 19 ( 圆) 椭

5 双曲 ( 线) 9 参数 ( 方程, 极 标) 21(椭 圆) 坐

( 2 抛物 线) 15(参 数 方

10(抛物 线) 15(双曲 线) 21 (椭圆)

8(圆) 15(抛物 线)

( 4 抛物 线) 14(椭

9(圆) 10(圆, 3 (双曲线) 14(椭 圆) 20(双 曲线) 抛 线) 14 ( 双 曲线) 21 ( 椭 圆) 物 5 (极坐标) 23

20 (椭圆) 圆) 20(椭 圆)

程,极 坐标) 17(椭 圆) 22

22

23

22

22

22

22

21

26

2011 年 椭圆:选择、填空题 5 次,解答题 12 次 双曲线:选择、填空题 9 次,解答题 2 次 抛物线:选择、填空题 7 次,解答题 4 次 圆:选择、填空题 5 次 省 份 课 标全国 卷 试 卷题号 ( 4 椭 ( 圆) 21 (抛物 线) 10 椭 14 (参数方 程) 20 (椭圆) 8 (双曲 线) 10 (圆) 19 (椭圆) 8 (圆) 12 ( 抛 物 线) 19 (椭圆) 8 (双曲 线) 16 (圆) 21(椭 圆) ( 圆) 15 (抛物 线) 20 椭 ( 圆) 8 (双曲 线) 19 椭 9(抛 物 线 ) 13 (圆) 20(椭 圆) 东 山 广东 苏 江 天津 江 浙 宁 辽 建 福 安徽 最低 17 分,最高 26 分

圆)8 (双曲 线) 20 (抛物 线) 考 查分值 北 京 南 湖 21

16

17

26

24

24

17

17

23

陕 西

大纲 全国 1

大 纲全国 2

重庆 北

湖 西

江 川



上海

12 (抛物 线) 19 ( 圆) 椭

5 (双曲 线) 9 (参数 方程) 21 ( 椭

4 (圆) 13(抛 物线) 19(椭 圆)

3 椭 ( 圆) 8 双 ( 曲线)21 ( 抛 物 线)

3 (圆) 10 (圆) 14 ( 抛 物 线) 20 (

14 (双曲 线)16 (参数 方程) 21 椭 (

13 椭

8 (抛物 线) 15 ( 圆) 21 (双曲 椭

10(极 坐 标 ) 22 (双曲线)

圆) 15 (极坐 标) 20 (抛物

圆)

圆)

(椭圆)

线)

线)

19 2012 年

22

22

22

26

23

23

21

20

椭圆:选择、填空题 5 次,解答题 12 次 双曲线:选择、填空题 7 次,解答题 2 次 抛物线:选择、填空题 5 次,解答题 4 次 圆:选择、填空题 7 次

最低 17 分,最高 26 分

我们从表可见,虽然解析几何部分的平均分值仅占总分的 15%,但涉及的知识点分布广, 覆盖全面,具有这样一些特点: (1)题型与分值:解析几何部分所占分数稳定在 22 分—27 分,一般为 2- 3 道客观题和一 道解答题,解答题为各省区必考 (2)难度:总体来说,新课标的解析几何考查的内容删减较多,但高考难度却变化不大。 学生得分不高。属于难题 (3)客观题特点: 主要考查内容为直线与圆的位置关系(这部分内容主要考查直线与圆的 相关概念,如倾斜角与斜率、 距离公式、 直线方程、 对称问题、 直线与圆位置关系判定等, 其 中直线与圆的位置关系是这部分高考的重点和热点, 涉及利用三种位置关系求参数的取值 范围、轨迹、切线长、弦长, 弦的中点、夹角等), 线性规划, 圆锥曲线的定义、标准方程、 简单几何性质, 极坐标与参数方程等, 注重考查基础知识、 基本方法, 多数题目为中档和简 单题,文理区别不大,也有少数题目设置为选择或填空题的压轴位置, 如(2010年全国卷12)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且 2 a b 2

斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

(2011 年安徽 15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下 列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题 的编号).

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 (2011 年重庆 15)设圆 C 位于抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界) 内,则椭圆半径能取到的最大值为__________ ( 4) 主观题特点: 解答题一般设置成2 -3问,第一问一般为求轨迹(如2010年广东卷,2012 年四川卷) 圆锥曲线的离心率或标准方程; 第二问主要考查直线与圆锥曲线的位置关系这 、 一热点内容, 通常设问的内容有: 弦长公式(2010年辽宁理20) 参数取值范围范围(如2010年浙江理21) 最值问题(如2009年浙江文,2011年广东理19) 定值定点问题(如2009年辽宁理20) 存在性问题(2010年福建17) 直线与圆锥曲线的位置关系(2011年全国21) 等,综合性强,对计算能力要求特别高,同时对分析能力及平面几何知识有较高要求,并且 易与向量(如2010年上海文) 数列, (如2010年新课标全国卷) 导数(如2012年浙江21) 等形成交汇,整体难度大,也有少数省区作为压轴题出现(2011年山东理,2010年山东文, 2010年浙江文) ,文理的难度有所区别 (2011 年山东 22)已知直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x ? y1 ? .Q ? x1 ? y ? 两不同点, 3 2

且△OPQ 的面积 S ?
2

6 ,其中 Q 为坐标原点。 2
2

2 2 (Ⅰ)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM ? PQ 的最大值;

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG 若存在,判断△DEG 的形状; 若不存在,请说明理由。 (2012 年浙江 21)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为

1 ,其左焦点到点 P(2 ,1) 的距离为 10 ,不过原点 O 的 .... 2

直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ?ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. (2012 年山东 21)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C: x 2 ? 2 py? p ? 0? 的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 圆 Q 有两个不同的交点 D,E,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与 4

1 2 2 ≤k≤2 时, | AB | ? | DE | 的最小值。 2

二、复习建议
1、注重教材的地位和作用 纵观近两年的全国各地高考解析几何试卷,基本上继承和发扬题型、内容、难度相对稳 定,突出考查数学主干知识,注重通性、通法和适度创新的特点。命题日趋成熟,多数题目 源于教材又高于教材。如: 教 材( 人 教 A 版 版必修 2 第 125 页练 习 第 2 题 ) 判断直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 圆 :

x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 的位置关系
根据该题改编的高考题有:
2 2 (2006 年安徽卷)直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值

范围是( )

A. (0, 2 ? 1)

B. ( 2 ? 1, 2 ? 1)

C. (? 2 ? 1, 2 ? 1)

D. (0, 2 ? 1)

(2006 年湖北卷) 若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点, k 的 则 取值范围是 .
2 2

(2010 江西理数 8)直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
0 A. ? ? ,? ? 4 ? ? 3 ?
, ? ? ? B. ? ??, ? ? ? 0, ?? C. ? ? 4? ? ? 3 3 ?

?

3?

?

3

3?

0 D. ? ? ,? ? 3 ?

? 2 ?

(2010 重庆文数 8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 公共点,则实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) (C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) (2010 重庆理数 8)直线 y=

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的 ? y ? sin ?

(B) [2 ? 2, 2 ? 2] (D) (2 ? 2, 2 ? 2)

? x ? 3 ? 3 cos ? , 3 ? x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ?0, 2? ? ? ? 3 ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
5 ? 4 4 ? 3 5 ? 3

交与 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A.

7 ? 6

B.

C.

D.

(2010 湖北文数 9)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围 是 A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ] C.[-1, 1 ? 2 2 ] B.[ 1 ? 2 ,3] D.[ 1 ? 2 2 ,3]

(选修 2-1 第 47 页例 7)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上是否存 25 9

在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? (广东理)点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 L:x= 线 L 为 4x-5y+40=0,设点 M 的运动轨迹为 C。求:
/

25 4 的距离的比是常数 。且直 4 5

(1)轨迹为 C 的方程; (2)轨迹为 C 上是否存在一点,它到直线 L 的距离最小?最小距离是多小?
/

(选修 2-1 第 41 页)例 3:设点的坐标分别为 (?5,0), (5,0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且它 们的斜率之积是 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程 9

(选修 2-1 第 55 页)探究:设点的坐标分别为 (?5,0), (5,0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且它 们的斜率之积是

4 ,求点 M 的轨迹方程 9

(2011 年湖北理 20)平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a,0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非 零常数 m 的点的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系;

(2012 四川理 21) 如图, 动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、B(2, 0)

B ?A 构成 ?MAB , ?M A ? 2 M B 且
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

, 设动点 M 的轨迹为 C .

y

M

(成都 2012 届零诊数学理 22)

A

O

B x

根据近几年的高考解析试题的命题趋势,根植教材,变式提高,灵活应用是高三复习的 根本所在,以课本为主,按课本顺序,以基本知识、基本方法、基本技能为主,顺次复习, 引导学生多层次、多角度、立体化地处理教材,促使学生以科学、严谨、变通的态度去认识 教材、应用教材。 2、注重对基本知识,基本技能的落实

对基础知识、基本技能的考查,仍然是新课标高考的重点,基础题仍然是试题的主要构 成, 是学生得分的主要来源。 复习过程中应让学生对解析几何三部分内容有一个清晰的架构, 明确每一部分有哪些考点,高考怎样出题,积累常用模型,熟练通用方法,注意模型和方法 中容易出错的细节。落实基本技能的训练,如考查直线与圆锥曲线的综合问题,一般都要经 历联立方程、消元、求判别式确定参数范围、韦达定理写出两根之和、之积,代入直线或抛 物线方程求另一坐标之和、之积等过程,我们可以在课堂、作业、考试、课外辅导中对学生 进行落实.对学生常见错误进行总结,提高学生基本运算能力和得分能力。

3、注重对数学思想方法提炼 数学思想方法的考查分为三个层面:①“配方法、换元法、代入法、消元法、待定系数 法”等具体方法的考查;②“分析法、综合法、类比法、归纳法、演绎法、反证法”等一般 逻辑方法的考查;③“函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想” 等数学思想的考查。新课标高考讲究能力立意,对数学思想方法的考查贯穿整套试卷,无论 是基础题还是综合题。 所以在复习备考过程中, 应当将数学思想方法的渗透和提炼贯穿始终。

4、注重对学生进行算法、算理的引导 学生普遍对解析几何具有畏惧心理,感到解析几何难,一是难于没方法,二是难于选出 好的方法,三是难于计算. 普遍的问题是“不择手段”盲目地做,方法选择得不合理,导致 计算繁琐,再由于计算不合理导致算不出或算错。 这一方面是因为学生基本运算训练没有落实;另一方面是学生对算法、算理的理解和储 备不够。新课标虽然不提倡繁杂的计算,但运算能力、算法算理的考查也是考查目标之一, 所以在复习备考过程中, 我们应当对学生进行算法算理的引导.复习中, 要提倡“多想一点, 少算一点”,有了方法以后要能够“预想几步结果”,避免解题的盲目性和过分的模式化 比如: (湖南师大附中 2011 届高三第四次月考)已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 X 轴上,焦距为 2 3 ,点 P(0,2) 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程 (2)设过点 P 的直线 L 与双曲线交于 A,B 两点,若 OA? OB ? 0 (O 为坐标原点) ,求
? ?

2 3 3

?OAB 面积的最小值
本题第(2)问求 ?OAB 面积的最小值是函数思想在解析几何中的体现,学生在用 k 表

示 ?OAB 的面积时,往往先用弦长公式求出 AB,再用点到直线的距离公式求出点 O 到直线 AB 的 距 离 , 使 计 算 量 加 大 , 增 大 了 难 度 , 实 际 上 , 若 将 ?OAB 的 面 积 表 示 成

S?

1 | OP | ? | x 2 ? x1 | ,计算量就会小很多 2
1 ,不在 x 轴上的动 2

又比如(2010 四川卷 20)已知定点 A( ?1,0 ),F( 2,0 ) ,定直线 l : x ?

点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于

B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M 、N
(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由. 为了线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,不少同学去求该圆的方程,再将点 F 的坐标代 入验证,显然就加大了计算的难度.而这些,并不是单纯的由于计算能力差,更多的是不明 确该怎么算。

5、加强对解题的研究,注重对通性通法的提炼 高考试题是备考的重要资源,通过研究高考命题的考点分布、试题结构、命题背景等, 能加强备考的针对性, 和模拟训练的有效性。 每年全国各地也有很多优秀的诊断, 模拟试题, 对这些试题的研究也有助于提高针对性,如四川 2012 年第 21 题与 2012 届成都零诊第 22 题几乎完全相同。

三、近年高考热点及命题趋势
1、选择、填空题多考察直线方程,圆的标准方程,直线与圆的位置关系,弦长,圆锥曲线 标准方程,渐近线,离心率等基本量的计算,如: (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)已知圆 x ? y ? 10x ? 24 ? 0 的圆心是
2 2

双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为( B 9 a2
4 x 3
B. y ? ?

) D. y ? ?

A. y ? ?

3 x 4

C. y ? ?

3 x 5

4 x 5

(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科)已知点 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ?1的 a 2 b2

左、 右焦点, F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、B 两点, ?ABF2 为锐角三角形, 过 若

则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( A. (1, ??) B. (1, 3)

D ) C. (1,2) D. (1,1 ? 2)

(山东省实验中学 2012 年 3 月高三第四次诊断文科)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆
x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为(

C ) C.2 D.4

A.

1 2

B.1

2、解析几何与函数、导数、向量等(尤其是向量)有机结合 向量具有几何和代数的“双重身份” ,平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,使 向量的有关运算与解析几何的坐标运算联系起来, 可以用向量及有关的运算工具研究解决几 何问题, 为解析几何试题的命制开拓了新的思路, 为实现在知识网络交汇点处设计试题提供 了良好的素材,此类试题已成为近几年数学高考的热点,如: (2010 全国卷 2 文数 12)已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 2 a b 2

F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

(2010 福建文数 11) 若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点, P 为椭圆上 点 4 3

的任意一点,则 OP ? FP 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8

(2010 福建理数 7)若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点, 2 a
) D. [ , ??)

点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??) C. [-

??? ??? ? ?

7 , ?? ) 4

7 4

(2012 年江西 20)已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y) 满足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 L,问:是否存

??? ???? ?

???? ??? ??? ? ? ?

在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 L 与 PA,PB 都相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的 面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 平面向量与解析几何知识的综合,是比较自然的。对于向量内容的考查,仍然侧重于 向量的基本运算和基本定理的应用。因此,在指导学生复习时,要求学生在熟练掌握基础知 识及基本运算的基础上,做到“点到为止” ,不适宜于在向量内容方面进行过度加深。 3、探究性问题在新、旧课标高考解几综合题中都备受命题者青睐 探究性问题是高考根据测试能力的要求, 常常出现的一类高考综合试题题型。 因为存在 性问题体现理性思维的特征, 所以在解析几何综合题中更多的是以探索存在与否的问题体现 出来。 存在性问题的表现形式一般有: 肯定型、 否定型和讨论型。 解决存在性的探索型问题, 较少存在现成的思路和常规程序,需要较多的分析和数学思想方法的综合运用,对观察、联 想、类比、猜测、抽象、概括各方面的能力有较高的要求。 (2012 年山东理 21) “是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存 在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由” (2012 年福建 19) “试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒 过定点 M?” (2012 年江西理 20) “是否存在定点 P(0, t ), (t ? 0) ,使得 l 与 PA,PB 都相交,交点分 别为 D,E,且 ?QAB 与 ?PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值,若不存在,说明理由 (2012 湖北理 21) “是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ? 若存在,求

m 的值,若不存在,说明理由“
y 2 x2 (山东省烟台市 2012 年高三诊断性检测理) 直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 a b

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,已知 m ? (ax1 , by1 ) , n ? (ax2 , by2 ) ,若 m ? n 且椭圆的离
心率 e ?

3 3 ,1) , O 为坐标原点. ,又椭圆经过点 ( 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) ( c 为半焦距) ,求直线 l 的斜率 k 的值; (3)试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科)已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线

y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是
(1)求椭圆 E 的方程;

6 3

(2)过点 C(—1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存 在点 M,使 MA? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 由于探究性问题能够全面考查学生对数学知识的掌握程度,能够深入考查学生各种数 学能力,所以 2013 年高考试题命题时仍然会被命题者较普通地采用。建议在复习这部分内 容时,结合平面解析几何内容的特点(如圆锥曲线的定义、方程、简单而重要的性质,圆的 方程及直线与圆、圆与圆位置关系的讨论等) ,注重对学生综合分析和解决问题的能力的培 养,同时也不可忽视解题的规范性要求。 4、最值、定值问题作为高考的热点,在高考解析几何综合题中其“热度不减” 最值、定值问题,之所以在高考解几综合题中“热度不减” ,原因在于解析几何的主体 内容通过最值、定值的提问方式,能将其它章节重要数学知识内容结合起来,能够考查到学 生函数的思想、方程的思想以及分类讨论的思想方法,能将学生代数运算能力、推理论证能 力和抽象概括能力的考查,天然浑成地贯穿于一道试题之中,体现试题的综合性,这种试题 选拔的功能性强,符合高考命题的指导思想, “有助于高校科学公正的选拔人才” 。仅仅在 2012 年,全国就有 10 各省市的解析几何综合题考到了最值、定值问题,如 (2012 广东理)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

e?

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q?0,2? 的距离的最大值为 3. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M ?m, n? 使得直线 l : m x ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相
2 2

交于不同的两点 A, B ,且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△

OAB 的面积;若不存在,请说明理由。
(2012 湖南理)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在圆 C2: x-5) +y =9 外,且对 C1 ( 上任意一点 M,M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程;
2 2

(Ⅱ)设 P(x0,y0)( y0 ? ?3 )为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相 交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值. (2012 辽宁)如图,椭圆 C0 :

x2 y 2 + 2 =1? a >b>0,a,b为常数 ? ,动圆 C1:x2 +y2 =t12 ,b<t1 <a . 2 a b

点 A1 ,A2 分别为 C0 的左、右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点 (1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; ( 2 ) 设 动 圆 C2:x2 +y 2=t2 2 与 C0 相 交 于 A',B',C',D' 四 点 , 其 中 证明: t b<t2 <a ,1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,

t12 +t22 为定值
由于最值、定值问题综合性强,能灵活地考查学生能力,较好地体现高考“以能力立 意,将知识、能力和素质融为一体”的命题指导思想,被命题者和教师、学生普遍认可,所 以在 2013 年全国各地高解析几何综合题中,出现的频率必然较高的。建议学生在复习时, 拿出近年的几道典型高考试题,采取“解剖麻雀”的方法,认真加以分析,从中悟出解题的 真谛,找到解题的秘诀。


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