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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试文数试题Word版含答案.doc


数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 集合 A ? ?1,2,3,4?, B ? ?2,4,6 ? ,则 A ? B ? A. ?1,3? 2. 复数 B. ?2,4? C. ?3, 6? ) D. ?1, 2?

1 在复平面上对应的点位于( ?1 ? i ? i
B.第二象限 )

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

4. “ x ? y ”是“ x ? y ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 将函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

? ?

??

? ? 的图象向左平移 4 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,则 4?

g ? 0? ? (
A. 2

) B. 2 C. 0 D. ? 2

5. 已知向量 a ? 3, b ? 6 ,若 a, b 间的夹角为 A. 57 B. 61 C.

?

?

? ?

? ? 3? ,则 4a ? b ? ( 4
D. 85



78

?x ? 1 ? 6.实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 3 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ( ? ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?
A.



16 5

B. 4

C. ?1

D. 5

7. 某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒) 的数据如下表所示:

x (月份)

1

2

3

4

5

y (万盒)

5

5

6

6

8

? ,估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为 若 x, y 线性相关,线性回归方程为 ? y ? 0.7 x ? a
( ) B. 8.2 万盒 C. 8.9 万盒 D. 8.6 万盒 )

A. 8.1 万盒

8. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? 5, a7 ? 1 ,则 a1 ? ( A. ?

1 2

B. ?1

C.

1 2

D.

1 4


9.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 (

A. 18

B. 16

C. 14

D. 12

10. 已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F ,其上有两点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 满足
2 ? AF ? BF ? 2 ,则 y1 ? x12 ? y2 ? x2

( D. 10



A. 4

B. 6

C. 8

11. 已知三棱锥 A ? BCD 的四个顶点 A, B, C , D 都在球 O 的表面积上, AC ? 平面

BCD, BC ? CD ,且 AC ? 3, BC ? 2, CD ? 5 ,则球 O 的表面积为 (



A. 12?

B. 7?

C. 9?

D. 8?

12. 已知 x ? ? 0,2? ,关于 x 的不等式 ( )

x 1 ? 恒成立,则实数 k 的取值范围为 x e k ? 2x ? x2
C. ? 0, e ? D.?0, e ?1?

A. ?0, e ? 1?

B.?0,2e ?1?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知 sin ? ?

1 , ? 是第二象限角,则 tan ?? ? ? ? ? __________. 3

14. 运行如图所示的程序框图,输出的结果为 __________.

15. 已知正项等差数列 ?an ? 满足 log2 an?2 ? log2 an ? 2 ,且 a3 ? 8 ,则数列 ?an ? 的前 n 项 和为 Sn ? _________. 16. 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ?

1 1 5a x ? 3 1? x ? 4 log a ,其中 ? ? x ? ,则函数 x 4 4 a ?1 1? x

f ? x ? 的最大值与最小值之和为_________.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ? , ? sin x ? , n ? 1,sin x ? 3 cos x , x ? R ,函 数 f ? x ? ? m ?n . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及值域;

?? ? 3 ?2

? ? ?

?

?

?? ?

,a ? 3 ,b c ? 2 (2) 已知 ?ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , 若 f ?A ? ? 0
求 ?ABC 的周长.



18. (本小题满分 12 分)某校高三文科 500 名学生参加了 1 月份的模拟考试,学校为了了解 高三文科学生的数学、 语文情况, 利用随机数表法从中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析, 抽出的 100 名学生的数学、语文成绩如下表.

(1)将学生编号为: 001,002,003,......499,500 , 若从第 5 行第 5 列的数开始右读,请你依 次写出最先抽出的 5 个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行)

12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76

55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
(2)若数学优秀率为 35 0 0 ,求 m, n 的值; (3)在语文成绩为良的学生中,已知 m ? 13, n ? 11 ,求数学成绩“优”与“良”的人数少 的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 S ? ABCD 的底面四边形 ABCD 为平行四边 形,其中 AC ? BD ,且 AC, BD 相交于 O, ?SBC ? ?SBA . (1) 求证: AC ? 平面 SBD ; (2)若 AC ? AB ? SB ? 2, ?SBD ? 60? ,点 M 是 SB 中点求三棱锥 A ? BMC 的体积.

C:
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 2 2 2 a 2 b2 和圆 D : x ? y ? b 分别与

射线 y ? x ? x ? 0? 交于 A, B 两点,且 OA ? (1)求椭圆 C 的方程;

2 10 2 10 . OB ? 5 5

(2)若不经过原点 O 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点,且 S?OMN ? 1 ,证明:线段

MN 中点
2 2 P ? x0 , y0 ? 的坐标满足 x0 ? 4 y0 ? 2.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x .
2

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的在 e, f ? e? 处的切线方程;

?

?

(2) 若 a ? ?e ,证明: 方程 2 f ? x ? ? 3 x ? 2 ln x 无解. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 ? 3, ? ? , ? 3,

? ?

??

?. 2?

(1)设 P 为线段 MN 上的动点,求线段 OP 取得最小值时,点 P 的直角坐标; (2)求以为 MN 为直径的圆 C 的参数方程,并求在(1)条件下直线 OP 与圆 C 相交所得 的弦长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 . (1)解不等式 f ? x ? ? 1 ; (2) 若存在 x ? R ,使 f ? x ? ? 2a ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

江西省吉安市第一中学 2017 届 高三上学期期中考试数学(文)试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5.BCBAC 6-10. DABCD 11-12. AD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

2 4

14. 7

15. 2

n ?1

?2

16. 8

三、解答题 17.解: (1)由 题 , f ? x ? ? ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

3 1 ?? ? ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 , 2 2 3? ? ? ?

所以 f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? ,? x ? R,??1 ? cos ? 2 x ?

??

? ? 1 ,故 f ? x ? 的值域为 3?

?0, 2? .

18.解: (1)编号依次为: 385, 482, 462, 231,309 . (2) 由

8? m?9 ? 0.35 ,得 m ? 18 ,因为 8 ? 9 ? 8 ? 18 ? n ? 9 ? 9 ? 11 ? 11 ? 100 , 得 n ? 17 . 100

(3)由题意 m ? n ? 35, 且 m ? 13, n ? 11 ,所以满足条件的 ? m, n ? 有

?13,22? , ?14,21? , ?15,20? , ?16,19? , ?17,18? , ?18,17, ? , ?19,16? , ? 20,15? , ? 21,14? , ? 22,13? , ? 23,12? , ? 24,11? 共12 种,且每组出现都是等可能的.记: “数学成绩“优”
比“良”的人数少” 为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有

?13,22? , ?14,21? , ?15,20? , ?16,19? , ?17,18? ,共 5 种,
所以 P ? M ? ?

5 . 12

19.解: (1)证明: 依题意,平行四边形 ABCD 中, AC ? BD ,故四边形 ABCD 为菱形, 故 AB ? BC ,因为 AB ? BC, ?SBC ? ?SBA, SB ? SB ,所以 ?ABS ? ?CBS , 所以

SA ? SC , 因为 AO ? CO ,故 SO ? AC ,又 AC ? BD, SO ? BD ? O, SO ? 平面

SBD, BD ? 平面 SBD ,故 AC ? 平面 SBD .
(2)依题意, ?ABC 是等边三角形, AC ? BC ? 2 ,所以 S ?ABC ?

1 2 ? 2 sin 60? ? 3 ,过点 2

M 作 MN ? BD ,垂足为点 N .由(1)知, NM ? AC ,故 MN ? 平面 ABCD .在 Rt ?MBN
中, MN ? MB sin 60 ?
?

3 ,故三棱锥 A ? BMC 的体积 2

1 3 1 VA? BMC ? VM ? ABC ? ? 3 ? ? . 3 2 2

20.解: (1)由 OB ? 1 ,知圆 D 半径为 1, b ? 1 ,由 OA ?

8 2 10 2 ,知 OA ? ,设 A? x, y ? ,则 5 5

4 4 4 x2 x 2 ? y 2 ? ,? 2 ? ? 1,? a 2 ? 4,?椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 5 5a 5 4

? y ? kx ? m ? (2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,由 ? x 2 ,得 2 ? y ? 1 ? ?4

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x ? x ? ,而 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

MN ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1? 4k 2 ? 1 ? m2 ,原点 O 到直线 MN 的距离为 1 ? 4k 2

d?

m 1? k 2



所以 S?AMN

2 m ? 1 ? 4k 2 ? m2 1 ? ?MN ?d ? ? 1 ,所以 2 m ? 1 ? 4k 2 ? m2 ? 1 ? 4k 2 ,即 2 2 1 ? 4k

?1 ? 4k
y0 ?

2

? 2m2 ? ? 0 ,即 1 ? 4k 2 ? 2m2 ,则 x0 ?
2

y1 ? y2 m 1 ? ? ,② 2 2 1 ? 4k 2m

x1 ? x2 ?4km 2k ? ? ? ,① 2 2 1 ? 4k m

2 2 由①,②消去 m 得 x0 ? y0 ?2.

21.解: (1) 依题意, f ' ? x ? ? 2x ? ln x ?1 ,故 f ' ? e? ? 2e ? 2, f ? e ? ? e2 ? e ,故所求切线 方程为

y ? e2 ? e ? ? 2e ? 2?? x ? e? ,即 ? 2e ? 2? x ? y ? e2 ? e ? 0 .
2 2 (2)依题意, 2 ax ? x ln x ? 3 x ? 2 ln x ,即 2 ax ? x ln x ? 2 ln x ? 3 x ,即

ax ? ln x ?

ln x 3 ? ,令 x 2

g ? x ? ? ax ? ln x ,当 a ? ?e 时,g ? x ? ? ?ex ? ln x, g ' ? x ? ?
? ? 1? e? ? ? 1? e?

?ex ? 1 1 ,令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? , x e

令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ? 0, ? ,所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增;令 g ' ? x ? ? 0 ,得

?1 ? ?1 ? x ? ? , ?? ? ,所以函数 g ? x ? 在 ? , ?? ? 单调递减,所以 ?e ? ?e ?
ln x 3 1 1 ?1? ? , x ? ? 0, ?? ? ,所以 g ? x ?max ? g ? ? ? ?e ? ? ln ? ?2 ,所以 g ? x ? ? 2 .设 h ? x ? ? x 2 e e ?e? h '? x? ? 1 ? ln x ,令 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ? 0, e ? ,所以函数 h ? x ? 在 ? 0, e ? 单调递增;令 h ' ? x ? ? 0 , x2

得 x ? ? e, ??? ,所以函数 h ? x ? 在 ? e, ??? 单调递减,所以

h ? x ?min ? h ? e ? ?

ln e 3 1 3 ? ? ? ? 2 ,即 h ? x ? ? 2 ,所以 g ? x ? ? h ? x ? ,即 e 2 e 2

2 f ? x ? ? 3x ? 2 ln x ,所以
方程 2 f ? x ? ? 3 x ? 2 ln x 无解. 22.解: (1) M , N 的极坐标化为直角坐标分别为 ? ?3, 0 ? , 0, 3 ,故直线 l 的斜率为

?

?

3?0 3 3 ? ,直线 l 的方程为 y ? 线段 OP 获得 x ? 3 .由题意,当线段 OP ? MN 时, 0 ? ? ?3 ? 3 3
最小值,此时直线 OP 的斜率为 ? 3 ,所以直线 OP 的的方程为 y ? ? 3x ,联立

3 ? ? y ? ? 3x x?? ? ? 3 3 3? 4 ? ? ,解得 ? ,故所求点 P 的直角坐标为 ? ? , ? 3 ? 4 4 ? ?. x? 3 ? ? ?y ? ?y ? 3 3 3 ? ? ? 4
(2)因为 MN 的中点坐标为 ? ?

? 3 3? MN 为直径的圆 C 直角坐标方程为 ? 2, 2 ? ? ,故以 ? ?

3? ? 3? ? y ? ? ?x? ? ?? 2? ? 2 ? ? ? ?
2

2

3 ? x ? 3 cos ? ? ? 2 ? ,因为圆心 ? 3 ,化为参数方程是 ? (? 为参数) 3 ? y ? 3 sin ? ? ? ? 2

? 3 3? C? ?? 2, 2 ? ? 到直线 OP : y ? ? 3x 的距离为 d ? ? ?
C 相交所得的弦长为 l ? 2 r ? d ? 2
2 2

?

3 3 3 ? 2 2 2
2

?

3 ,所以直线 OP 与圆 2

? ?

? 3? . 3 ?? ? 2 ? ? ?3 ? ?
2

??4, x ? ?1 3 ? 23.解: (1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 2, ?1 ? x ? 3 ,由 f ? x ? ? 1 得 x ? ,? f ? x ? ? 1 的 2 ?4, x ? 3 ?
解集为 ? , ?? ? . (2)由(1)知 f ? x ? 最大值为 4 ,由题意,得 2a ? 4 ? 4 ,? 0 ? a ? 4 ,即 a 的取值范围是

?3 ?2

? ?

? 0, 4 ? .


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