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线面垂直习题精选精讲129


习题精选精讲

线面垂直的证明
1

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 如图 1,在正方体 ABCD ? A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1

2 如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平 面 PAC.

3

如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过

A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于

E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

习题精选精讲 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E为垂足,F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC. 6. 空间四边形 ABCD 中,若 AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD 5

A

D B O C
7. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D

D1 A1 B1

C1

D A B

C

8. 如图, PA ? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:

MN? AB

P N D A
. 9 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 分析: 且将Δ AFG 沿 FG 折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面 A'BC

C

M

B

A' G A E F

C D B

10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM

习题精选精讲 11. 如图,直角 BAC 在 ? 外,

AB // ? , AC ? ? ? C ,求证: ?BAC
A

在 ? 内射影 ?CA?B ? 为直角。 B

A' C
12 以 AB 为直径的圆在平面 ? 内, PA 直。

B' α

? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,试判断图中还有几组线面垂
P E F A C B

两个平面垂直例题解析 1.在三棱锥 A—BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有( ) A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是(



A.a B. 2 a C. a D. 3 a 3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别是 3,4,5,则 OP 的长为(

2 2



A.5 3 B.5 2 C.3 5 D.2 5 4.在两个互相垂直的平面的交线上,有两点 A、B,AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直于 AB 的线段,AC=6,AB=8,BD=24,则 C、 D 间距离为_____. 5.设两个平面α 、β ,直线 l,下列三个条件:①l⊥α ,②l∥β ,③ α ⊥β .若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三 个命题,这三个命题中正确的命题个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【典型例题精讲】 [例 1] 如图 9—39,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥ 平面 BSC.

图 9—39 [例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

\

习题精选精讲 图 9—40 [例 3]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点.

图 9—42 (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF.(2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切值.

[例 4]在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 平面 D1EF⊥平面 AB1C.

2 的正方形,侧棱长为 3 ,E、F 分别是 AB1、CB1 的中点,求证:

例题
1.棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为_____.

? 2.如图 9—44,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与底面成 3 的角,侧面 ABB1A1 垂直于底面,

图 9—44 (1)证明:B1C⊥C1A.(2)求四棱锥 B—ACC1A1 的体积.

3.如图 9—45,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB.

习题精选精讲

图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD;(2)求点 A 到平面 PCE 的距离. (1)【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 4.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,对角线 AC=2,BD=2

3 ,E、F 分别为棱 CC1、BB1 上的点,且满足 EC=BC=2FB.

图 9—46 (1)求证:平面 AEF⊥平面 A1ACC1;(2)求异面直线 EF、A1C1 所成角的余弦值. . 【解题指导】在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而 作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化 为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.


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