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天津市五区县2014~2015学年度第一学期期末考试 高二数学理试卷参考答案及评分标准


天津市五区县 2014~2015 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

? 11. 6

12. x ? 2 y ? 9 ? 0

x2 y 2 ? ?1 13. 9 6

14. 9

15. 11 或 ?29

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) 解: (Ⅰ)圆 C 的方程可化为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? m ………………………2 分 令5 ? m ? 0得 m ? 5
2

……………………………………………………4 分
2

(Ⅱ)圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m ,圆心 C (1,2),半径 r ? 5 ? m 圆 D : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 16 ,圆心 D (-3,-1),半径 r ? 4 ……………6 分 圆 C 与圆 D 相外切
2 2 ∴ (1 ? 3) ? (2 ? 1) ? 5 ? m ? 4 ,解得 m ? 4 ………………………8 分

圆心 C (1,2)到直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离为 d ?

1? 4 ? 4 1? 4

?

5 ……10 分 5

∴ MN ? 2 1 ?

1 4 5 ? 5 5

………………………………………12 分

高中高二数学(理)参考答案

第 1 页(共 6 页)

17. (12 分) 解:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

0, 0) , B 依题意得 A(0, , C (2, ( 1, 0, 0) 1, 0) , D(0,1, 0) , P(0, 0,1) , E (1, , )
………………………………………………2 分 (Ⅰ)易得 PC ? (2,1, ?1) , CD ? (?2,0,0) , BE ? (0, 于是 PC ? BE ? 0 ?

1 1 2 2

1 1 , ) 2 2

…………3 分

1 1 ? (? ) ? 0 , 2 2

z P y D E

CD ? BE ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 …………4 分
∴ PC ? BE, CD ? BE 又 …………5 分

PC

CD ? C ,

∴ BE ? 平面PCD …………………6 分 (Ⅱ)依题可知 PA ? 底面ABCD , 故 AP ? (0,0,1) 为平面 BCD 的一个法向量 又可解得 BD ? (?1,1, 0), BE ? (0, , ) 故设平面 BDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) A B x

C

…………………………7 分 …………………………8 分

1 1 2 2

? ?x ? y ? 0 ? ?n ? BD ? 0 ? 则? 即 ?1 不妨令 z ? 2 ,可得 n ? (?2, ?2, 2) 1 y? z ?0 ? ? n ? BE ? 0 ? ?2 2
于是 cos ? AP, n ??

……10 分

AP ? n 2 3 ? ? | AP | ? | n | 2 3 3
3 3
…………………………12 分

所以二面角 E ? BD ? C 的余弦值为

高中高二数学(理)参考答案

第 2 页(共 6 页)

18. (12 分) 解: (Ⅰ)抛物线 C 的准线为 x ? ?1 ∴

p ? 1 ,即 p ? 2 2

…………………………………………2 分

∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x …………………………………………4 分 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M ( x0, y0 ) 由方程组 ?

?y ? x ? m 消去 y ,整理得 x2 ? (2m ? 4) x ? m2 ? 0 2 ? y ? 4x
① ………………………………………6 分

令 ? ? ?16m ? 16 ? 0 ,即 m ? 1 求解可得 x1 ? x2 ? 4 ? 2m ,

y1 ? y2 ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 4 ……………………………8 分
2) ∴ M (2 ? m,

OM ? 2 5
2 2 ∴ (2 ? m) ? 2 ? 2 5 ,解得 m ? ?2 或 m ? 6



…………………10 分

由①②得, m ? ?2 ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ………………………………………………12 分

高中高二数学(理)参考答案

第 3 页(共 6 页)

19. (12 分)

O ,连接 OD 解: (Ⅰ)连接 A 1B 交 AB1 于 F C
四边形 ABB1 A 1 为正方形 ∴O 为 A 1B 的中点, 又 D B
A

…………………1 分 C1 E B1 O

D 是 BC 中点

A

∴ OD // AC 1

A1 ………………………………3 分

OD ? 平面AB1 D , A1C ? 平面AB1 D
∴ AC 1 // 平面AB 1D ………………………………4 分

(Ⅱ)过 A1 作 A1E ? B1C1 于 E ,连接 CE

平面A1 B1 C1? 平面 B C C 1 B 1 平面A1B1C1 平面BCC1B1 =B1C1
∴ A1E ? 平面BCC1B1 ∴ CE 为直线 A1C 在平面 BCC1B1 上的投影 ∴ ?A1CE 为直线 AC 1 与平面 BCC1B 1 所成的角………………………6 分 在 Rt? A1C1C 中 ………………………5 分

A1C= AC2 +AA12 =4 2 ,
在 ? A1B1C1 中

A1E=2 3
在 Rt? A1CE 中, sin ?A1CE= (Ⅲ )当 CF ?

………………………7 分

A1E 2 3 6 …………………8 分 = = A1C 4 2 4
…………………9 分
第 4 页(共 6 页)

1 CC1 时, DF ⊥AC 1 4
高中高二数学(理)参考答案

在正方形 BCC1B1 中, D, E 分别是 BC , B1C1 的中点 ∴

CD CF 1 ? ? ,∴ Rt CDF CC1 C1 E 2

Rt C1CE

∴ ?CDF ? ?C1CE

?CDF ? ?CFD ? 90 ??C1CE ? ?CFD ? 90
∴ DF ? CE 由(Ⅱ)可知 A1E ? 平面BCC1B1 ………………………………10 分

DF ? 平面BCC1B1 ,∴ A1E ? DF A1E CE ? E ,∴ DF ? 平面A1CE A1C ? 平面A1CE
∴ DF ⊥ AC 1 在 Rt? ADF 中 ………………………………11 分

AF ? AD2 ? DF 2 ? 17 …………………………12 分

高中高二数学(理)参考答案

第 5 页(共 6 页)

20. (12 分) 解: (Ⅰ)抛物线 x2 ? 4 2 y 的焦点坐标为 0, 2

?

?

…………………………1 分

椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 x2 ? 4 2 y 的焦点重合 2 a b
…………………………2 分

∴ b= 2



c 3 ,∴ c 2 ? 1, a 2 ? 3 e? = a 3
x2 y 2 ? ?1 3 2

…………………………4 分

∴椭圆 C 的方程为:

……………………………5 分

(Ⅱ) 设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 F1 (?1,0) 得直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ………………………………6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0 ……8 分 ?1 ? ? ?3 2
求解可得 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 x ? x ? , 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

………………………………9 分

AF2 ? (1 ? x1, ? y1 ) , BF2 ? (1? x2 , ? y2 ) AF2 ? BF2 ? (1? x1, ? y1 ) ? (1? x2 , ? y2 ) ? 1? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2
= k ? 1 ? (1 ? k ) x1 ? x2 + (k ?1) ( x1 ? x2 )
2 2 2

8k 2 ? 4 = 2 ? 3k 2
因为以 AB 为直径的圆过点 F2 ,所以

………………………………10 分

8k 2 ? 4 ? 0 ………………………………11 分 2 ? 3k 2
………………………………12 分

解得 k ? ?

2 2
高中高二数学(理)参考答案

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