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山东省实验中学2015届高三第一次诊断性考试文科数学试卷含解析


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山东省实验中学 2015 届高三第一次诊断性考试文科数学试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

1.设 i 是虚数单位,复数 A. ?2 B.2

a?i 是纯虚数,则实数 a ? 2?i 1 1 C. ? D. 2 2

【答案】D 【解析】 试题分析:由于复数

a ? i ?a ? i ??2 ? i ? ?2a ? 1? ?a ? 2?i ? ? ? 是纯虚数,? 2a ? 1 ? 0 ,得 2 ? i ?2 ? i ??2 ? i ? 5 5

a?

1 ,故答案为 D. 2

考点:1、复数的四则运算;2、纯虚数的概念. 2.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? 2 ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A 【答案】C 【解析】 试 题 分 B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B

?

?

?

?









y ? x ?1 ? ?1



? A ? ?y | y ? ?1?





? 3 ? A,3 ? B, A ? B ? B, A ? B ? A ,故答案为 C.
考点:1、元素与集合的关系;2、集合间的并集、交集 3. 已知函数 f ? x ? ? A cos ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,? ? R ? , 则 “ f ? x ? 是奇函数” 是 “? ? 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2



1

【答案】B 【解析】 试题分析: 当 f ? x ? 为奇函数时, 有 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 得 Ac os ?? ?x ? ? ? ? ? A c os 由诱导公式得

??x ? ? ? ,


? A cos??x ? ? ? ? A cos?? ? ??x ? ? ?? ? A cos?? ? ?x ? ? ? Ac





?? ?x o ? ? ? ? A cs ?? ? ? o x ?? ?

s

? ??x ? ? ? ? ? ?x ? ? ? 2k? , 得 ? ?

?
2

? k? , 得 不 到 ? ?

?
2

;当??

?
2

时,

?? ? f ?x ? ? A c o ?s ?x ? ? 2? ?
? ? A sin ?x 为奇函数,因此“ f ? x ? 是奇函数”是“ ? ?

?
2

”的必要不充分条件,故答案为

B. 考点:1、奇函数的应用;2、充分条件和必要条件的判断. 4.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ?1, a ? 1, a ? 4, 则an ? A. 4 ? ? ? 【答案】C 【解析】 试题分析: 由于等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 4 , 得 ?a ?1? ? ?a ?1??a ? 4? ,
2

?3? ?2?

n

B. 4 ? ? ?

?2? ?3?

n

C. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n ?1

3 ? 3? 解得 a ? 5 ,因此前三项依次为 4,6,9,公比 q ? ,因此 an ? 4 ? ? ? 2 ? 2?
考点:等比数列的通项公式. 5.如图给出的是计算 是

n ?1

,故答案为 C.

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图,其中菱形判断横应填入的条件 2 4 6 20

2

A. i ? 10 【答案】A 【解析】

B. i ? 10

C. i ? 11

D. i ? 11

1 1 1 1 ? ? ? ?? 共 10 个数,每执行一次加一个数, i 的值增加 1,加 2 4 6 20 10 个数之后, 的值变为 11 , 此时判断框的条件成立, 退出循环体, 判断框内条件应为 i ? 10 , i
试题分析:由于 故答案为 A. 考点:程序框图的应用. 6.函数 f ? x ? ? log 2 x ? A. ? 0,1? 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 f ?1? ? log2 1 ?1 ? ?1 ? 0 , f ?2 ? ? log 2 2 ? B. ?1, 2 ?

1 的零点所在的区间为 x
C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ?

1 1 ? 1? ? 0 , 因 此 2 2

f ?1?? f ?2? ? 0 ,故函数 f ?x ? 在区间 ?1,2? 内有零点,故答案为 B.
考点:函数零点的判断. 7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边 界) ,则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为

3

A.

? 3

B.

3 3 4?

C.

3 4

D.以上全错

【答案】B 【解析】 试题分析:设正三角形的边长为 a ,圆的半径为 R ,则正三角形的面积为 定理得 2 R ? 得 R?

3 2 a ,由正弦 4

a sin 60 0

1 3 a , ? 圆 的 面 积 S ? ?R 2 ? ?a 2 , 有 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 得 概 率 3 3

3 2 a 3 3 ,故答案为 B. P? 4 ? 1 2 4 ? ?a 3
考点:几何概型的概率计算.

x2 y 2 2 8. 已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2, 若抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0? a b
的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 A. x 2 ?

8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x2 ? 8 y

D. x 2 ? 16 y

【答案】B 【解析】 试题分析:双曲线的其中一条渐近线方程为 bx ? ay ? 0 ,离心率 e ?

c ? 2 ,得 c ? 2a ,由 a

2 2 2 于c ? a ?b 得b ?

3 ?p ? ? 2 ,整 c ,抛物线的焦点坐标 ? ,0 ? 到渐近线的距离 2 ?2 ? a 2 ? b2

p b 2

理得

p b p 3 ? ? ? ? 2得 2 c 2 2 8 3 16 3 ,因此抛物线方程 x 2 ? y ,故答案为 B. 3 3

p?

考点:双曲线和抛物线的标准方程和性质应用. 9 . 已 知 O 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 一 定 点 , 动 点 P 满 足 O P? O ? A?

uu u r

uur

4

uu u r uuu r AB AC ( uu ) ? ? ? ? 0? ,则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的 ? uuu u r r AB sin B AC sin C
A.内心 B.外心 【答案】 【解析】 C.垂心 D.重心

试题分析:作出如图所示的图形, AD ? BC ,由于 AB sin B ? AC sin C ? AD

? ? ? AB AC ? ? ? OP ? OA ? ? ? ? ? ? OA ? AD AB ? AC ? AB sin B AC sin C ? ? ?

?

?



? OP ? OA ? AP ?

?
AD

?AB ? AC ?,

因此 P 在三角形的中线上,故动点 P 一定过三角形 ABC 的重心,故答案为 D.

考点:1、三角形的五心;2、向量加法的几何意义. 10 .已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x? ? 0, y ? f? x?1 ? 的图象关于

?1,0? 对称,且 f ? 2? ? 4, 则 f ? 2014? ?
A.0 B. ?4 【答案】B 【解析】 试 题 分 C. ?8 D. ?16









f ? x?







x?R







f ?x ? 6? ? ? f ?x? ,? f ?x ? 12? ? f ??x ? 6? ? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x ? , 因 此 函 数 f ?x ? 的 周 期 T ? 12 , 把 y ? f ?x ? 1? 的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 的 y ? f ?x ?1 ? 1? ? f ?x? 的 图 象 关 于 ?0,0? 对 称 , 因 此 函 数 f ?x ? 为 奇 函 数 , ? f ?2014? ? f ?167?12 ? 10? ? f ?10? ? f ?10 ?12? ? f ?? 2? ? f ?2? ? ?4 ,因此答案为 B.
考点:1、函数的周期性;2、函数图象平移;3、函数奇偶性的应用.

5

6

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

11.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为________ m

3

【答案】4 【解析】 试题分析:由三视图可知几何体为三棱锥,底面积 S ?

1 ? 4 ? 3 ? 6 ,高 h ? 2 ,因此体积 2

V?

1 Sh ? 4 ,故答案为 4. 3
3

考点:几何体的体积. 12. .已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? 4 ? a ? R ? 若函数 y ? f ? x ? 的图象在点 P 1, f ?1? 处的切 线的倾斜角为 【答案】4 【解析】
2 试题分析:导函数 f ??x? ? ?3x ? a ,由导数的几何意义得 k ? f ??1? ? ?3 ? a ? tan

?

?

?
4

,则a ? ________.

?
4

?1,

解得 a ? 4 考点:导数的几何意义 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为_______.
7

【答案】 n ? ?n ? 1? ? ?n ? 2? ? ?? ?3n ? 2? ? ?2n ?1?

2

【解析】 试题分析:观察这些等式,第一个式子左边 1 个数,从 1 开始;第二个式子 3 个数相加,从 2 开始;第三个式子 5 个数相加,从 3 开始;第 n 个式子有 2n ? 1个数相加,从 n 开始;等 式 的 右 边 为 前 边 2n ? 1 个 数 的 中 间 数 的 平 方 , 故 第 n 个 等 式 为
2 n ? ?n ?1? ? ?n ? 2? ??? ?3n ? 2? ? ?2n ?1? .

考点:归纳推理的应用.
2 14. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一 2

个公共点 M ,则 PM 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】
2 试题分析: 因为点 P 的直线 l2 与曲线 C : ? x ? 5 ? ? y ? 16 只有一个公共点 M , 因此 PM 为 2

圆 C 的切线,

? PC ? PM ? r 2 ,当 PC 最小时, PM 最小,当 PC ? l1 时, PC 最小为 ?5,0? 为直
2 2

线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

5?3 1?1

? 4 2 ,因此 PM min ?

PC ? r 2 ? 32 ? 16 ? 16 ? 4 .

2

考点:直线与圆的位置关系.

?x ? y ? 1 ? 15. .已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
7,则

3 4 ? 的最小值为_________. a b

【答案】7 【解析】

?x ? y ? 1 ? 试 题 分 析 : 作 出 不 等 式 ? x ? y ? ?1 表 示 的 平 面 区 域 , 得 到 ?ABC 及 其 内 部 , 其 中 ?2 x ? y ? 2 ?

A?1,0?, B?3,4?, C ?0,1?
把目标函数 z ? ax ? by?a ? 0, b ? 0? 转化为 y ? ?

a z a x ? ,表示的斜率为 ? ? 0 ,截距为 b b b

z ,由于 b ? 0 当截距最大时, z 最大,由图知,当过 B?3,4? 时,截距最大, z 最大,因此 b 3a ? 4b 3a ? 4b ? 7 ,? ?1, 7
8

3 4 ? 3 4 ? 3a ? 4b 25 12b 12a 25 12 ? b a ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 于 a ? 0, b ? 0 , a b ?a b? 7 7 7a 7b 7 7 ?a b?

b a b a ? ?2 ? ?2 a b a b
当且仅当 a ? b ? 1 时取等号,? ?

25 12 49 ? 3 4? ? ? ? ? ?2 ? ?7. 7 ? a b ? min 7 7

考点:1、线性规划的应用;2、利用基本不等式求最值. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 16 . 已 知 向 量 a ? ? sin ? x, cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x ?? ? 0 ? , 函 数

r

r

?

?

r r 3 的最小正周期为 ? . f ? x? ? a ?b ? 2
(1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; ( 2 ) 如 果 △ ABC 的 三 边 a、b、c 所 对 的 角 分 别 为 A, B, C , 且 满 足

b2 ? c2 ? a2 ? 3bc,求f ? A? 的值.
【答案】 (1) ?? 【解析】 试题分析: (1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到 y ? A sin??x ? ? ? 的形式,利 用公式 T ?

3 ? ? 5 ? (2) f ? A? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ; 2 12 ? 12 ?

2?

?

计算周期; (2)求解较复杂三角函数的单调区间时,首先化成

9

y ? A sin??x ? ? ? 形式,再 y ? A sin??x ? ? ? 的单调区间,只需把 ?x ? ? 看作一个整体代
入 y ? sin x 相应的单调区间,注意先把 ? 化为正数,这是容易出错的地方; (3)在三角形中 处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次 式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公 式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围. 试题解析: (1) f ?x ? ? a ? b ?

3 3 ? sin ?x cos?x ? 3 cos2 ?x ? 2 2
3分

1 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos2?x ? sin ? 2?x ? ? 3? 2 2 ?
∵ f ?x ? 的最小正周期为 ? ,且 ? >0 ∴

2? ? ? , ∴ ? ? 1, 2?

4分

∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?. 3?

?
2

? 2 k? ≤ 2 x ?

?
3



?
2

? 2k? , k ? Z

5分

得 f ?x ? 的增区间为 ??

? ? 5 ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 12 ? 12 ?

6分

(2)由 b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, ∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, 又由 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 3bc 3 ? ? 2bc 2bc 2

8分

∴在 ?ABC 中, A ? ∴ f ? A? ? sin? 2 ?

?
6
?

9分

? ?

?
6

??

3 2? ? ? ? sin 2 3? 3

12 分

考点:1、求正弦型函数的单调区间;2、三角形中余弦定理的应用. 17.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A, B, C 的相关人员中,抽取若干 人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

10

(1)求 x 、 y ; (2)若从高校 B 、 C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率. 【答案】 (1) x ? 1, y ? 3 ; (2) P ?

3 10

【解析】 试题分析: (1)关键是图中提取数据信息,理解分层抽样的特点,进行统计与概率的正确运 算; (2) 古典概型的概率问题, 关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 然后利用古典概型的概率计算公式计算; (3)当基本事件总数较少时,用列举法把所有的基 本事件一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举,当基本事件总数较 多时,注意去分排列与组合; (4)注意判断是古典概型还是几何概型,基本事件前者是有限 的,后者是无限的,两者都是等可能性. 试题解析: (1)由题意可得,

x 2 y ? ? ,所以 x ? 1 ,y ? 3. 18 36 54

4分

(2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2 ,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3 ,则从高校 B,C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有

(b1,b2 ), (b1,c1 ), (b1,c2 ), (b1,c3 ), (b2,c1 ), (b2,c2 ), (b2,c3 ), (c1,c2 ), (c1,c3 ), (c2,c3 )

共 10 种.

8分

设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X, 则 X 包含的基本事件有 (c1,c2 ) , (c1,c3 ) , (c2,c3 ) 共3种 10 分

所以 P ( X ) ?

3 . 10
3 . 10
12 分

故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为

考点:1、分层抽样的应用;2、古典概型的概率计算公式的应用. 18.如图,在四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中
o

点.

(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; ( 2 ) 若 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 且 P A ? P D ? A D? 2 , 点 M 在 线 段 PC 上 , 且

PM ? 2 MC ,求三棱锥 P ? QBM 的体积.
【答案】 (1)证明见解析; (2) VP ?QBM ?

2 3
11

【解析】 试题分析: (1)证明两个平面垂直,首先考虑直线与平面垂直,也可以简单记为“证面面垂 直,找线面垂直” ,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似,掌 握化归与转化思想方法是解决这类题的关键; (2)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判 定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个 平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化.(3) 在求三棱柱体积时,选择适当的底作为底面,这样体积容易计算. 试题解析: (1)? PA ? PD , Q 为 AD 的中点,? PQ ? AD ,又? 底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? ,? BQ ? AD ,又 PQ ? BQ ? Q ? AD ? 平面 PQB ,又
? AD ? 平面 PAD ,? 平面 PQB ? 平面 PAD
(2)? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PQ ? AD

? PQ ?

平 面

A B C, D BC ?

平 面

A B C , D? PQ ?

BC

, 又

BC ? BQ , QB ? QP ? Q ,? BC ? 平面 PQB ,又 PM ? 2 MC ,

? VP ?QBM ? VM ? PQB ?

1 1 2 2 ? ? 3? 3? ?2 ? 3 2 3 3

P

Q

D B

C

A

考点:1、平面与平面垂直的判断;2、求几何体的体积. 19.设数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 且Sn ? bn ? 2 . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?

an ? n ? N ? ?,Tn 为数学 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn . bn
n ?1

?1? 【答案】 (1) an ? 2n ? 1, bn ? ? ? ? 2?
【解析】

; (2) Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

试题分析: (1)给出 Sn 与 an 的关系,求 an ,常用思路:一是利用 Sn ? Sn?1 ? an ?n ? 2? 转 化为 an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系,
12

再求 an ; (2)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在

?bn ? 于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用; (3) 一般地, 如果数列 ?a n ?是等差数列,
是等比数列,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同 乘以等比数列 ?bn ?的公比,然后做差求解. 试 题 解 析 : 解 ( 1 ) 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 所 以 d ?

1 (a5 ? a3 ) ? 2, 又 因 为 2

a3? 5,? a1 ? 1,? an ? 2n ? 1
由 S n?bn ? 2, 得Sn ? 2 ? bn n=1 时, S1 ? 2 ? b1 ? b1,?b1 ? 1

n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn ?1 )
所以 bn ?

1 bn ?1 2 2

4分

1 ?bn ?是以1为首项, 为公比的等比数列

?1? ? bn ? ? ? ?2?

n ?1

6分

(2)由(1)知, cn ?

an ? (2n ? 1) ? 2n?1 bn

7分

Tn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ......(2n ? 3) ? 2n?2 ? (2n ?1 ) ? 2n?1 2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ......(2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1 ) ? 2n
9分

? ?Tn ? 1 ? 2 ? 21 + 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ......2 ? 2n?1 ? (2n ?1)2n
=1 ? 2

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)2n 1? 2
n

=1-4+ (3 ? 2n)2

11 分 12 分

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

考点:1、求等差数列、等比数列的通项公式;2、错位相减求数列的和. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两 a 2 b2
13

端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程; ( 2 ) 过 点 Q ? ?1, 0 ? 的 直 线 l 交 椭 圆 于 A , B 两 点 , 交 直 线 x ? ?4 于 点 E ,

uuu r uu u r uu u r uuu r AQ ? ?QB, AE ? ? EB. 判断 ? ? ? 是否为定值,若是,计算出该定值;不是,说明理由.
【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)设椭圆的方程,用待定系数法求出 a 2 , b 2 的值; (2)解决直线和椭圆的综合 问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设 条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭 圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元二 次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.

x2 ? y2 ? 1 ; (2) ? ? u 是定值 0. 4

? 2b2 x2 ? 1 ?a ? 2 ? ? y2 ? 1 试题解析: (1)由条件得 ? a ,所以方程 ?? 4 ?b ? 1 ?2b ? a ?
(2)易知直线 l 斜率存在,令 l : y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(?4, y0 )

4分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?4
x1 ? x2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? ? 48k 2 ? 16 ? 0

5分

6分

由 AQ ? ? QB ? (?1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 )即 ?

? ?( x1 ? 1) ? ? ( x2 ? 1) ? y1 ? ?? y2
7分

得? ? ?

x1 ? 1 x2 ? 1

由 AE ? ? EB ? (?4 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ? y0 )即 ?

??( x1 ? 4) ? ? ( x1 ? 4) ? y0 ? y1 ? ? ( y2 ? y0 )

得? ? ?

x1 ? 4 x2 ? 4

8分

?? ? ? ? ?

( x1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 1) 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ?? 1 2 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)

14

将 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 代入 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

8k 2 ? 8 40k 2 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ? ?8 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 有 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4) .
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的综合应用. 21.已知函数 f ? x ? ?

13 分

1 2 x ? 2a ln x ? ? a ? 2 ? x, a ? R . 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 图象在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? 且x1 ? x2有 若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】 (1) 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ; (2)当 a ? ?2 时, f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增;当 ? 2 ? a ? 0 时, f ?x ? 在 ?0,?a ?, ?2,??? 上单调递增,在 ?? a,2? 上单调递减;当 a ? ?2 时, f ?x ? 在 ?0,2?, ?? a,??? 上单调递增,在

?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? a 恒成立? x2 ? x1

?2,?a ? 上单调递减;
(3) ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程,注意这个点的切点, 利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1? ; (2)首先求导数 f ?? x ? ,然后根据参数 a 取值 的不确定性,对其进行分类讨论求解,分类讨论不要出现遗漏,不要出现重复现象; (3)与 函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中 关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步: 反思回顾,查看关键点.

( x ? 2)( x ? a) 2a ( x ? 0) ?a?2? x x ( x ? 2)( x ? 1) (1)当 a ? 1 时, f ?? x ? ? , f ??1? ? ?2 , x
试题解析: 解: f ?? x ? ? x ? ∴所求的切线方程为 y ? f ?1? ? ?2?x ? 1? ,

1分

15

即 4x ? 2 y ? 3 ? 0 . 4 分 (2)①当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,

f ??x ? ?

( x ? 2) 2 ? 0 , f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增. x

②当 ? a ? 2 ,即 ? 2 ? a ? 0 时,

? 0 ? x ? ? a 或 x ? 2 时, f ??x ? ? 0 ; ? a ? x ? 2 2 时, f ??x ? ? 0 ,

f ?x ? 在 ?0,?a ?, ?2,??? 上单调递增,在 ?? a,2? 上单调递减;
③当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,? 0 ? x ? 2 或 x ? ?a 时, f ??x ? ? 0 ;

2 ? x ? ? a 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 在 ?0,2?, ?? a,??? 上单调递增,在 ?2,?a ? 上单调递减 9
分 (3)假设存在这样的实数 a 满足条件,不妨设 x1 ? x2 2. 由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 知 f ?x2 ? ? ax2 ? f ?x1 ? ? ax1 成立, x2 ? x1
1 2 x ? 2a ln x ? 2 x , 2

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ax ?

则函数 g ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?? x ? ? x ?

2a ? 2 ? 0, x
2

即 2a ? x 2 ? 2x ? ?x ?1? ?1 在 ?0,??? 上恒成立.

?a ? ?

1 ,故存在这样的实数 a 满足题意, 2

其范围为 ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

14 分

考点:1、求曲线的切线方程;2、利用导数求函数的单调性;3、与函数有关的探索性问题.

16


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