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6.2算术平均数与几何平均数(1) 课件


2010年2月28日星期日

知识回顾: 知识回顾:
定理1.a > b b < a (对称性)

定理2.a > b且b > c a > c(传递性)
定理3.a > b a + c > b + (同加性) c

推论:a > b且c > d a + c > b + d (同向不等式的可加性)

定理4.(同乘性) a > b且c > 0 ac > bc; a > b且c < 0 ac < bc.
推论(非负同向不等式的可乘性) 1. a > b > 0且c > d > 0 ac > bd

推论2. 非负不等式乘方性质) ( a > b > 0 a > b(其中n ∈ N )
n n *

定理5. 非负不等式开方性质) ( a > b > 0 a > (其中n ∈ N 且n > 1 b )
n n *

新课讲解: 新课讲解:
1. 定理 如果 a, b ∈ R,那么 a2 + b2 ≥ 2ab 定理1.如果 (当且仅当a = b 时取"=") 当且仅当 时取" ) 证明:

a + b 2ab = (a b)
2 2
2

2

当a = b时, b) = 0 (a 2 2 a + b ≥ 2ab 2 当a ≠ b时, b) > 0 (a
1.指出定理适用范围:a, b ∈ R 2.强调取"="的条件:

a =b

2. 定理 :如果 a, b是正数,那么 a + b ≥ ab 定理2: 是正数,
(当且仅当

时取" ) 时取 a = b "=")

2

证明: 证明:∵ ( a ) 2 + ( b ) 2 ≥ 2 a b


a + b ≥ 2 ab

a+b ≥ ab 即: 2 a+b 当且仅当 a = b 时, = ab 2

a+b 为 a, b 的算术平均数, 称 的算术平均数, 2

的几何平均数. 称 ab 为 a, b 的几何平均数.

a 注意:1.这个定理适用的范围: , b ∈ R

+

2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于 两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数. 它们的几何平均数.

a+b 我们把 看做两个正数a, b 的等差中项, 2

ab 看做正数 a, b 的等比中项,那么定理2可以
叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

3.关于"平均数"的概念: 关于"平均数"的概念: 关于

1.如果a1,a2, ,an ∈ R , n > 1且n ∈ N

+

*

则:

a1 + a 2 + + a n 叫做这n个正数的算术平均数. n
n

a1 a 2 a n 叫做这n个正数的几何平均数.

2.基本不等式:
a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an 其中a1,a2,,an ∈ R +,n ∈ N * ... n

语言表述: 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

a +b 4. ≥ ab 的几何解释: 2 以 AB = a + b 为直径作圆,
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD'⊥AB 则 CD 2 = CA CB = ab
D

从而 CD = ab
B

A

a
C

b

a+b 而半径 ≥ CD = ab 2

D'

5.举例: 举例: 举例 例1.已知 a, b, c ∈ R
2 2 2

求证:

a + b + c ≥ ab + bc + ca
证:∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab

b + c ≥ 2bc
2 2

c 2 + a 2 ≥ 2ca
以上三式相加: a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2ab + 2bc + 2ca 2( ∴

a + b + c ≥ ab + bc + ca
2 2 2

6.小结:算术平均数,几何平均数的概念 基本不等式(即平均不等式)

7.作业:P11习题1.2


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