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2011年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学理[word版]


2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学试题(理科)
本试卷共 21 小题,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔
将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答、漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高。 3
2

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 为球的半径。 如果事伯 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B). 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给了的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 1}, 则A ? B ?
2





A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1}

B. {x | ?1 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 2} ( D.2 ( D.13 ) )

2.若复数 (1 ? i)(a ? i) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 A.-2 B.-1 C.1

3.已知向量 p ? (2, ?3), q ? ( x, 6), 且p / / q, 则|p+q|的值为 A. 5 B. 13 C.5

4.函数 y ?

x 在区间(1,+∞)上 ln x





A.是减函数 B.是增函数 C.有极小值 D.有极大值 5.阅读图 1 的程序框图,若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值 为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

?a?b? 6. a ? b ”是“ ? “ ? ? ab ”成立的 ? 2 ?
2





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 个 学校, 要求每校至少有一个名额 且各校分配的名额 互不相等,则不同的分配方法种数为 ( ) A.96 B.114 C.128 D.136 8.如图 2 所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,长 为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动,另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动,则 MN 的中点的轨迹的面积为 A.4 ? B.2 ? C. ? D.





? 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 9.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方国科如图 3 所示, 若用均用电量在 区间 [110,120) 上共有 150 户,则月均用电量 在区间 [120,150) 上的居民共有
2

图3

户。

10. 以抛物线 C : y ? 8 x 上的一点 A 为圆心作圆, 若该圆经过抛物线 C 的顶点和焦点, 那 么该圆的方程为 。 。

11.已知数列 {an } 是等差数列,若 a4 ? 2a6 ? a8 ? 12 ,则该数列前 11 项的和为 12. ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a, b, c ,已知 c ? 3, C ? 则 b 的值为 。

?
3

, a ? 2b ,

? 2 x ? y ? 5, ? 13.某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x和y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则该 ? x ? 6. ?
校招聘的教师人数最多是 名。 (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 4,CD 是圆 O 的切线, 切 点为 C,点 A、B 在圆 O 上, BC ? 1, ?BCD ? 30? , 则圆 O 的面积为 。 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点(1, 0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos ? 于 A、B 两 点,则 | AB |? 。 图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x( x ?). (1)当 x 取什么值时,函数 f ( x) 取得最大值,并求其最大值。 (2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?

??

2 ,求 tan ? 的值。 ?? 8? 3

17. (本小题满分 12 分) 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利 润(单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概 率如表 2。若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元。 等级 利润 等级 利润 一等品 6 一等品 6 二等品 5 二等品 5 三等品 4 表1 三等品 4 表2 (1)求 a, b 的值; (2)从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率。 次品 -1 次品 -1

18. (本小题满分 14 分) 如图 5, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC, AB ? BC ,D 为 AC 的中点,

A1 A ? AB ? 2.
(1)求证:AB1//平面 BC1D; (2)若四棱锥 B—AA1C1D 的体积为 3, 求二面角 C—BC1—D 的正切值。

19. (本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满 足 OP ? OQ (O 为坐标原点) ,记点 P 的轨迹为 C》 (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l 2 的距离最短时,求直线 l 2 的 方程。 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 满足 f (0) ? 0 ,对于任意 x ? R 都有

? 1 ? ? 1 ? f ( x) ? x ,且 f ? ? ? x ? ? f ? ? ? x ? , 令g ( x) ? f ( x)? | ? x ? 1 | (? ? 0). ? 2 ? ? 2 ?
(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求函数 g ( x) 的单调区间; (3)研究函数 g ( x) 在区间(0,1)上的零点个数。 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且对于任意 x1 , x2 ? R ,存在正实数 L,使得

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? L | x ? x 都成立。 | 1 2 |
(1)若 f ( x) ? 1 ? x ,求 L 的取值范围;
2

(2)当 0 ? L ? 1 时,数列 {an } 满足 an ?1 ? f (an ), n ? 1, 2,?. ①证明:

?| a
k ?1

n

k

? ak ?1 |?

1 | a1 ? a2 | ; 1? L
, 证 明 :





Ak ?

a1 ? a2 ? ? ? ak (k ? 1, 2,3,?) k

?| A
k ?1

n

k

? Ak ?1 |?

1 | a1 ? a2 | 。 1? L


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