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安徽省马鞍山二中、安师大附中2019届高三上学期期中考试数学(理)试题

马鞍山二中 2019 届高三年级第一学期期中考试试题

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A={0,m2},B={1,2},则“m=1”是“A∪B={0,1,2}”的( ) A.充要条件 条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是( A. ? , ?

) D. ? ?

?3 ?5

4? ? 5?

B. ?

? 4 3? ,? ? ?5 5?

C. ? ? ,
2

? 3 4? ? ? 5 5?

? 4 3? , ? ? 5 5?

2 2 3.已知点 ? a, b ? 在圆 x ? y ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

a ? 1 的最小正周期和 2
D. 2? , ?

最小值分别为(

) B. ? , ?

3 A. 2? , ? 2

3 2

C. ? , ?

5 2


5 2

4.已知函数 f ? 2x ? 1? 的定义域为 ? ?2, ? ,则 f ? x ? 的定义域为( A. ? ?

? ?

1? 2?

? 3 1? , ? ? 2 4?
2 3 log2 3

B. ? ?1, ?

? ?

3? 2?

C.

? ?3, 2?

D.

? ?3,3?

5.实数 27 ? 2 A.2

? log2

1 ? lg 4 ? 2 lg 5 的值为( 8
B.5

) C.10 D. 20 )

6.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin A.

? ?

5? 5? , cos 6 6

? ? ,则角 x 的最小正值为( ?
C.

5? 6

B.

5? 3

11? 6
).

D.

2? 3

7.设复数 z 满足 z ? (1 ? i ) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是( A. 2 ? 4i B. 2 ? 4i

C. 4 ? 4i

D. 4 ? 4i

·1·

8.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( A.

) D.

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

5 13

x 9.设分程 2 ? x ? 2 ? 0 和方程 log2 x ? x ? 2 ? 0 的根分别为 p 和 q ,函数

f ? x ? ? ? x ? p ?? x ? q ? ? 2 ,则(
A. f ? 2? ? f ? 0? ? f ?3? C. f ? 3? ? f ? 0? ? f ? 2? 10.已知函数 则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,1] B. (0,1)
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) B. f ? 0? ? f ? 2? ? f ?3? D. f ? 0? ? f ?3? ? f ? 2? ,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,

C.[0,+∞)

D. (﹣∞,1)

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=2x3+ax2+b﹣1 是奇函数,则 a﹣b= .

12.已知向量 a 、b 不共线,若 a-2b 与 3a+kb 共线,则实数 k=_____. π π? → → → 13.函数 y=tan? OB= ?4x-2?的部分图象如图所示,则(O B -OA)· m λ 14.设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2α)和 b=(m, +sinα),其中 λ,m,α 为实数.若 a=2b,则 的 2 m 取值范围是___________.
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15.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 t 和向量 a ? M ,都有 ta ? M ,则称 M 为 “点 射域”.现有下列平面向量的集合:
·2·

?

?

① {( x, y) |

x ? y} ;
2
2 2

? ? x ? y ? 0? ?( x, y) | ? ? ②? ? x ? y ? 0? ;
④ {( x, y) | 3x
2

③ {( x, y) | x ? y ? 2 x ? 0} ; 上述为“点射域”的集合的有

? 2 y 2 ? 6 ? 0} ;

(写正确的标号)

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三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分,请将解题过程写在答题纸相应的位置,写错位置不得分) 16. (本小题满分 12 分) 设命题 P : f ( x) ? 命题 q :

2 在区间 (1,?? )上是减函数 ; x?m

x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两个实根 ,且不等式 m 2 ? 5m ? 3 ≥ | x1 ? x2 | 对任意的实数

a ? [?1,1] 恒成立,若 ? p ? q 为真,试求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北 偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援 船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

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·3·

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18. (本小题满分 12 分) π 3π? 已知 A,B,C 的坐标分别为 A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα),α ∈ ? ?2, 2 ?. → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanα

19.(本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指 数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=?

? 2 x -a?+2a+2,x ? [0,24],其中 a 是与气象有关的参数, ? 3 ?x +1 ?

? 1? 且 a ? ?0, ? ,若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a ). 2 ? ?
(1)令 t=

x
2

x +1

,x∈[0,24],求 t 的取值范围.

(2)省政府规定, 每天的综合放射性污染指数不得超过 2, 试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超 标?

20(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值, 3 ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3
·4·

?

?

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x (1) 当 a ? 1 时, 求函数 g ( x) 的单调增区间; (2) 求函数 g ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值;
n

(3) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2 ln x ,

1 3n 2 ? n ? 2 证明: ? ? (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . n(n ? 1) k ? 2 k ? f (k )

·5·

马鞍山二中 2019 届高三年级第一学期期中考试试题

数学(理科)解答
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A={0,m2},B={1,2},则“m=1”是“A∪B={0,1,2}”的( B ) A.充要条件 条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是( A A. ? , ?

) D. ? ?

?3 ?5

4? ? 5?

B. ?

? 4 3? ,? ? ?5 5?

C. ? ? ,
2

? 3 4? ? ? 5 5?

? 4 3? , ? ? 5 5?

3.已知点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ? 最小值分别为( B A. 2? , ? ) B. ? , ?

a ? 1 的最小正周期和 2
D. 2? , ?

3 2

3 2

C. ? , ?

5 2


5 2

4.已知函数 f ? 2x ? 1? 的定义域为 ? ?2, ? ,则 f ? x ? 的定义域为( C A. ? ?

? ?

1? 2?

? 3 1? , ? ? 2 4?
2 3 log2 3

B. ? ?1, ?

? ?

3? 2?

C.

? ?3, 2?


D.

? ?3,3?

5.实数 27 ? 2 A.2

? log2

1 ? lg 4 ? 2 lg 5 的值为(D 8
B.5

C.10

D.20 )

6.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin A.

? ?

5? 5? , cos 6 6

? ? ,则角 x 的最小正值为( B ?
C.

5? 6

B.

5? 3

11? 6
).

D.

2? 3

7.设复数 z 满足 z ? (1 ? i ) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是( B A. 2 ? 4i B. 2 ? 4i
·6·

C. 4 ? 4i

D. 4 ? 4i

8.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( B A.

) D.

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

5 13

x 9.设分程 2 ? x ? 2 ? 0 和方程 log2 x ? x ? 2 ? 0 的根分别为 p 和 q ,函数

f ? x ? ? ? x ? p ?? x ? q ? ? 2 ,则( A
A. f ? 2? ? f ? 0? ? f ?3? C. f ? 3? ? f ? 0? ? f ? 2? 10.已知函数 则实数 a 的取值范围是( D ) A ∞,1] B(0,1) (﹣ . . 解:函数

) B. f ? 0? ? f ? 2? ? f ?3? D. f ? 0? ? f ?3? ? f ? 2? ,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,

C.[0,+∞)

D.(﹣∞,1)

的图象如图所示,

当 a<1 时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根, 故选:D

第Ⅱ卷
·7·

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二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=2x3+ax2+b﹣1 是奇函数,则 a﹣b= ﹣1 . 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,得 b﹣1=0,解得 b=1. ∴f(x)=2x3+ax2. 又∵f(﹣x)+f(x)=0,∴﹣2x3+ax2+2x3+ax2=0,化为 ax2=0,对于任意实数 R 都成立. ∴a=0.∴a﹣b=﹣1. 故答案为﹣1. 12.已知向量 a、b 不共线,若 a-2b 与 3a+kb 共线,则实数 k=________. 解析:因为 a-2b 与 3a+kb 共线,所以存在实数λ 使得 a-2b=λ (3a+kb), 整理得(3λ -1)a+(kλ +2)b=0,又因为向量 a、b 不共线,
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? ?3λ -1=0 所以? ?kλ +2=0 ?

1 ? ?λ = 3 ,∴? ?k=-6 ?

.

答案:-6

π π? → → → 13.函数 y=tan? OB= ?4x-2?的部分图象如图所示,则(O B -OA)·

4

→ → → 解析:由题意知 A(2,0),B(3,1),所以(OB-OA)· OB=(1,1)· (3,1)=4 m λ 14.设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2α)和 b=(m, +sinα),其中 λ,m,α 为实数.若 a=2b,则 的 2 m 取值范围是_______________. 解析:根据已知条件得 2b=(2m,m+2sinα),又 a=2b,所以 λ+2=2m,λ2-cos2α=m+2sinα, 于是 2λ2-2cos2α=λ+2+4sinα,即 2λ2-λ=-2sin2α+4sinα+4=-2(sinα-1)2+6,
2 ? ?2λ -λ≤6 3 故-2≤2λ -λ≤6,即? ,解得- ≤λ≤2, 2 2 ? ?2λ -λ≥-2 2

λ λ 4 故 =λ =2- ∈[-6,1]. m λ+2 +1 2

答案:[-6,1]

15.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 t 和向量 a ? M ,都有 ta ? M ,则称 M 为 “点 射域”.现有下列平面向量的集合:
2 ① {( x, y) | x ? y} ;

?

?

? ? x ? y ? 0? ?( x, y) | ? ? ②? ? x ? y ? 0? ;
④ {( x, y) | 3x
2

③ {( x, y) | x ? y ? 2 x ? 0} ;
2 2

? 2 y 2 ? 6 ? 0} ;

上述为“点射域”的集合的有



(写正确的标号)

·8·

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分,请将解题过程写在答题纸相应的位置,写错位置不得分) 16. (本小题满分 12 分)设命题 P : f ( x) ? 命题 q :

2 在区间 (1,?? )上是减函数 ; x?m

x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两个实根 ,且不等式 m 2 ? 5m ? 3 ≥ | x1 ? x2 | 对任意的实数

a ? [?1,1] 恒成立,若 ? p ? q 为真,试求实数 m 的取值范围.
解:解:对命题

P : x ? m ? 0, 又 x ? (1, ??) 故 m ? 1
( x 1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 对 a ?[?1,1] 有 a2 ? 8 ? 3

对命题 q :| x1 ? x2 |?
2

∴ m ? 5m ? 3 ? 3 ? m ? 1或m ? ?6 若 ? p ? q 为真,则 p 假 q 真 ∴?

?m ? 1 ? m ?1 ?m ? 1或m ? ?6

17. (本小题满分 12 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45° , B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海 里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里),

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∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理得 AB = , sin∠DAB sin∠ADB DB

AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° 5?3+ 3?· sin45° 5 3? 3+1? ∴DB= = = = =10 3(海里). sin105° sin∠ADB sin45° cos60° +cos45° sin60° 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° , BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC
·9·

1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 即该救援船到达 D 点需要 1 小时.

π 3π? 18. (本小题满分 12 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα),α ∈ ? ?2, 2 ?. → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanα → → 解:(1) ∵AC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3), → ∴AC2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα, → BC2=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα, → → → → 由|AC|=|BC|,可得AC2=BC2, 即 10-6cosα=10-6sinα,得 sinα=cosα. π 3π? 5π , ,∴α= . 又∵α∈? 2 2 ? ? 4 → → (2)由AC· BC=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1, 2 ∴sinα+cosα= .① 3 2sin2α+sin2α 2sin2α+2sinαcosα 又 = =2sinαcosα. sinα 1+tanα 1+ cosα 4 由①式两边分别平方,得 1+2sinαcosα= , 9
2 5 2sin α+sin2α 5 ∴2sinαcosα=- .∴ =- . 9 9 1+tanα

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·10·

19.(本小题满分 13 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境 综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=?

? 2 x -a?+2a+2,x? [0,24],其中 a 是与气 ? 3 ?x +1 ?

? 1? 象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 ? 2?
M (a ).
(1)令 t=

x ,x∈[0,24],求 t 的取值范围. x2+1

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超 标? 解: (1)当 x=0 时,t=0; 1 当 0<x≤24 时,x+ ≥2(当 x=1 时取等号),

x

∴t=

x 1 ? 1? ? 1? = ∈?0, ?, 即 t 的取值范围是 ?0, ?. x2+1 1 ? 2? ? 2? x+ x
2 -t+3a+ ,0≤t≤a, ? ? 3 则 g(t)=? 2 1 t+a+ ,a<t≤ . ? ? 3 2

2 ? 1? (2)当 a ∈ ?0, ? 时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 3 ? 2?

2 ?1? 7 ? 1? ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在?a, ?上单调递增, 且 g(0)=3a+ ,g? ?=a+ , 3 ?2? 6 ? 2?
·11·

g(0)-g? ?=2?a- ?. 2 4

?1? ? ?

? ?

1?

?

?1?,0≤a≤1, ? ? ?g? 4 ?2? 故 M(a)=? 1 1 ? ?g ,4<a≤2,
4 ∴当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2. 9

7 1 ? ?a+6,0≤a≤4, =? 2 1 1 ? ?3a+3,4<a≤2.

4 4 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 2

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20(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值, 3 ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3

?

?

(1)证明:

f (0) ? b ? 0 , f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? a ? b ? b ? a[sin(a ? b) ? 1] ? 0 ? f (0) f (a ? b) ? 0
所以,函数 f ( x ) 在 ? 0, a ? b? 内至少有一个零点

(2) f ?( x) ? a cos x ? 1 由已知得: f ?( ) ? 0 所以 a=2,

?

3

所以 f(x)=2sinx﹣x+b ①不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立可化为:sinx﹣cosx﹣x>﹣b

·12·

记函数 g(x)=sinx﹣cosx﹣x, x ? [0,

?
2

]

? ? ? ? 3? 2 ? g ?( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1, x ?[0, ]x ? ? [ , ], ? sin( x ? ) ? 1 4 2 4 4 4 2 4
1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 在 [0, ] 恒成立 4 2
函数 g ( x) 在 [0,

?

?

?

2

] 上是增函数,最小值为 g(0)=﹣1

所以 b>1, 所以 b 的取值范围是(1,+∞) ②由 (

m ? 1 2m ? 1 m ?1 2m ? 1 ?, ? ) 得: ?? ? ,所以 m>0 3 3 3 3

令 f′(x)=2cosx﹣1>0,可得 2k? ?

,k ?Z 3 3 m ? 1 2m ? 1 ?, ? )上是单调增函数, ∵函数 f(x)在区间( 3 3 m ?1 ? 2m ? 1 ? ? ? 2 k? ? 且 ? ? 2 k? ? ∴ 3 3 3 3
∴6k≤m≤3k+1 ∵m>0,∴3k+1>0,6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0<m≤1

?

? x ? 2 k? ?

?

21.(本小题满分 13 分)已知函数 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x
2

(1) 当 a ? 1 时, 求函数 g ( x) 的单调增区间; (2) 求函数 g ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值;
n

(3) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x ? 2 ln x ,
2

1 3n 2 ? n ? 2 ? (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . ? n(n ? 1) k ? 2 k ? f (k ) 2 x 2 ? 3x ? 1 2 ?0 解.(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3x ? ln x , g ?( x) ? x 1 1 x ? 1 或 x ? 。函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ), (1,?? ) 2 2 2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,
证明:

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)(x ? a) ? ? ?0 x x x 1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 a ? 1, x ? ? 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?
·13·

g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a 当 a ? e , x ?? 1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a ? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) min ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?

·14·