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四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学(文)试卷含答案


绵阳市高级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. DCADC BCBAB AB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.3 14. (?? , ? )?( , ? ?)

3 2

1 2

15.

20 3

16.(

1 3 , ) 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.解 : (Ⅰ)由图得, A ? 2 . …………………………………………………1 分

3 ? 5? 3? ,解得 T ? ? , T? ? ? 4 3 12 4
于是由 T=

2?

?

? ? ,得 ? ? 2 .…………………………………………………3 分 2? 2? ? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ? 1, 3 3

∵ f ( ) ? 2 sin(

?

3



2? ? ? ? ? ? 2k? ? ,k∈Z,即 ? ? 2k? ? ,k∈Z, 3 2 6

又 ? ? (?

?

, ) ,所以 ? ? ? ,即 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) . …………………6 分 6 6 2 2

?

?

?

(Ⅱ) 由已知 2 sin(2? ?

?
6

)?

6 ? 3 ,即 sin(2? ? ) ? , 5 6 5

因为 ? ? (0 , ) ,所以 2? ?

?
?

?
6

3
6

? (?

?

, ), 6 2
4 . 5
…………………………………8 分

?

∴ cos(2? ?

) ? 1 ? sin 2 (2? ?

?
6

)?

∴ sin 2? ? sin[(2? ?

?
6

)?

?

] ? sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? ) sin 6 6 6 6 6

?

?

?

?

3 3 4 1 = ? ? ? 5 2 5 2
? 4?3 3 . 10
…………………………… …………………………12 分

18.解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d(d>0), 由 S3=15 有 3a1+

3? 2 d =15,化简得 a1+d=5,① 2

………………………2 分

又∵ a1,a4,a13 成等比数列,
2 2 ∴ a4 =a1a13,即(a1+3d) =a1(a1+12d),化简 3d=2a1,②

………………4 分

联立①②解得 a1=3,d=2, ∴ an=3 +2(n-1)=2n+1. ……………………………………………………5 分



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a n a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ( ? )? . 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 3(2n ? 3)
………………………… …………………………7 分

∴ Tn ?

(Ⅱ) ∵ tTn ? an +1 1,即 ∴ t? 又n?

tn ? 2n ? 12 , 3( 2n ? 3)

3(2n ? 12)( 2n ? 3) 3(4n 2 ? 30n ? 36) 9 ? ? 12(n ? ) ? 90 ,………………9 分 n n n

9 ≥6 ,当且仅当 n=3 时,等号成立, n 9 n

∴ 12(n ? ) ? 90 ≥162, ………………… …………………………………11 分 ∴ t ? 162 .……………………………………………………………………12 分 19.解:(Ⅰ)△ABD 中,由正弦定理 得 sin ?BAD ? ∴ ?BAD ?

AD BD ? , sin ?B sin ?BAD
…………………………………………4 分

BD ? sin ?B 1 ? , AD 2

?
6

,?ADB ? ? ?

2? ? ? ? ? , 3 6 6
……………………………………………………6 分

∴ ?ADC ? ? ?

?
6

?

5? . 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠BAD=∠BDA=

?
6

,故 AB=BD=2.

在△ACD 中,由余弦定理: AC 2 ? AD 2 ? CD2 ? 2 AD ? CD ? cos ?ADC , 即 52 ? 12 ? CD 2 ? 2 ? 2 3 ? CD ? (?

3 ), 2

……………………………………8 分

2 整理得 CD +6CD-40=0,解得 CD=-10(舍去),CD=4,………………10 分

∴ BC=BD+CD=4+2=6. ∴ S△ABC=

1 1 3 ? AB ? BC ? sin ?B ? ? 2 ? 6 ? ? 3 3 . ……………………12 分 2 2 2

20.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1) , ……………………………1 分 由 f ?( x) ? 0 解得 x ?

1 1 或 x ? ?1 ;由 f ?( x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? , 3 3

1 1 2] ,于是 f ( x) 在 [ ?1 , ] 上单调递减,在 [ ,2] 上单调递增. 又 x ? [?1 , 3 3
…………………………………………………………………3 分

,f (2) ? 10 ? a,f ( ) ? ? ∵ f (?1) ? a ? 1
∴ f ( x) 最大值是 10+a,最小值是 ?

1 3

5 ?a, 27

5 ? a .………………………………5 分 27

(Ⅱ) 设切点 Q( x,x 3 ? x 2 ? x ? a),P(1, 4) , 则 k PQ ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ?

x3 ? x 2 ? x ? a ? 4 , x ?1

整理得 2 x 3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 5 ? a ? 0 , …………………… ………………………7 分 由题知此方程应有 3 个解. 令 ?( x) ? 2x 3 ? 2x 2 ? 2x ? 5 ? a , ∴ ? ?( x) ? 6x 2 ? 4x ? 2 ? 2(3x ? 1)( x ? 1) , 由 ? ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或 x ? ?

1 1 ,由 ? ?( x) ? 0 解得 ? ? x ? 1 , 3 3

1 1 ? ?) 上单调递增,在 ( ? , 1) 上单调递减. 即函数 ? ( x) 在 (?? , ? ) , (1, 3 3
……………………………………………………………………10 分

1 要使得 ? ( x) ? 0 有 3 个根,则 ? ( ? ) ? 0 ,且 ? (1) ? 0 , 3
解得 3 ? a ?

145 , 27

即 a 的取值范围为 (3 , 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?

145 ). 27

………………………………………………12 分

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) . …1 分 ? ax ? (a ? 1) ? ? x x x

? ?) 上单调递减;………………3 分 ① 当 a≤0 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0 ,
② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 解得 x ?

1 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . a a

1 1 ? ? ) 上单调递增; 即 f ( x) 在 (0 , ) 上单调递减; f ( x) 在 ( , a a

1 ? ?) ; a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0 , ) , f ( x) 的单调 综上,a≤0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0 , a
1 ? ? ) . ……………………5 分 递 增区间是 ( , a
1 1 ? ? ) 上单调递增, (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) 在 (0 , ) 上单调递减; f ( x) 在 ( , a a
则 f ( x) min ? f ( ) ? ln a ? 要证 f ( x) ≥ ? 即证 ln a ≥ 1 ?

1 a

1 ?1 . 2a

…………………………………………6 分

1 3 3 1 ?1≥ ? ,即证 ln a ? ,即 ln a + ? 1 ≥0, 2a 2a 2a a

1 .………………………………………………………………8 分 a

构造函数 ? (a) ? ln a ?

1 1 a ?1 1 ? 1 ,则 ? ?(a) ? ? 2 ? 2 , a a a a

由 ? ?(a) ? 0 解得 a ? 1 ,由 ? ?(a) ? 0 解得 0 ? a ? 1 ,

? ?) 上单调递增; 1) 上单调递减; ? (a ) 在 (1, 即 ? (a ) 在 (0 ,

1 ∴ ? (a) min ? ? (1) ? ln1 ? ? 1 ? 0 , 1
即 ln a ?

1 ? 1 ≥0 成立. a

从而 f ( x) ≥ ?

3 成立.………………………………………………………12 分 2a

2 2 22.解: (Ⅰ)将 C 的参数方程化为普通方程为(x-3) +(y-4) =25, 2 2 即 x +y -6x-8y=0. ……………………………………………………………2 分

∴ C 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ? 8 sin? . (Ⅱ)把 ? ?

…………………………………4 分

?
6

代入 ? ? 6 cos ? ? 8 sin? ,得 ?1 ? 4 ? 3 3 ,

∴ A(4 ? 3 3 , ) . ……………………………………………………………6 分

?

6

把? ?

?
3

代入 ? ? 6 cos ? ? 8 sin? ,得 ? 2 ? 3 ? 4 3 ,

∴ B(3 ? 4 3 , ) . ……………………………………………………………8 分

?

3

∴ S△AOB ?

1 ?1 ? 2 sin ?AOB 2

1 ? ? ? (4 ? 3 3)(3 ? 4 3) sin( ? ) 2 3 6
? 12 ? 25 3 . 4
…………… ………………………………………10 分

23.解: (Ⅰ)当 x≤ ?

3 时,f(x)=-2-4x, 2
3 1 f(x)=4, ? x ? 时, 显然 f(x) 2 2

由 f(x)≥6 解得 x≤-2, 综合得 x≤-2, ………………………………………2 分当 ? ≥6 不成立, ……………………………3 分当 x≥ 4分

1 f(x)=4x+2, 时, 由 f(x)≥6 解得 x≥1, 综合得 x≥1, …………… 2

? 2] ? [1, ? ?) .…………………………………5 分 所以 f(x)≥6 的解集是 (??,
(Ⅱ) f ( x) =|2x-1|+|2x+3|≥ (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4 , 即 f ( x) 的最小值 m=4. ∵ a ? 2b ≤ ( ………………………………………………………7 分

a ? 2b 2 ) , …………………………………………………………8 分 2

由 2ab ? a ? 2b ? 4 可得 4 ? (a ? 2b) ≤ ( 解得 a ? 2b ≥ 2 5 ? 2 ,

a ? 2b 2 ) , 2

∴ a ? 2b 的最小值为 2 5 ? 2 .………………………………………………10 分


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