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北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》周期现象与周期函数


北师大版高中数学必修4 第一章《三角函数》 周期现象与周期函数

法门高中姚连省制作

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一、教学目标:1、知识与技能:(1)了解周期现象在现实中广泛存在; (2)感受周期现象对实际工作的意义; (3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期; (5)能利用周期函数定义进行简单运用。2、过程与方法:通过创设情境: 单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生感知周期 现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周 期性的定义,再在实践中加以应用。3、情感态度与价值观:通过本节的学 习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从 而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观 点认识事物。 二、教学重、难点 :重点: 感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解,以及简单的应用。 三、学法与教法:数学来源于生活,又指导于生活。在大千世界有很多的 现象,通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,感知周 期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义,再应用于实践。 四、教学过程
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一、周期现象

观察现象

海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落 的现象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。

圣米切尔山

涨潮

落潮

由图可知:波浪每隔一段时间会重复出现, 这种现象被称为周期现象。 3

钱塘江潮

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2005年9月6日,钱塘江观潮险情。

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提出问题
在日常生活、生产实践中存在大量周期性变 化的现象。那么我们能不能用数学方法来探究 周期现象中所蕴含的规律呢?

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分析问题
我们知道,海水会发生潮汐现象。但潮汐发生
时,水的深度会产生周期性的变化。为了研究水

深的变化规律,我们可以构造一个函数。如:确
定一个位置,考察该处水深H和时间t的关系,那

么H就是t的函数。

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抽象概括
从散点图可以看出,每经过相同的时间 间隔T(12h),水深就会重复出现相同的 数值,因此,水深是周期性变化的。这样 的周期现象在 我们身边还有很多,下面我

们再看几个例子。
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例题讲解
例1 地球围绕着太阳转,地球到太阳 的距离y随时间的变化是周期性的吗?
解:根据物理学知识,我们知道在任何一个 确定的时刻,地球与太阳的距离y是唯一确定 的,每经过一年地球围绕着太阳转一周。无论 哪个时刻t算起,经过一年时间,地球又回到原 来的位置,所以,地球与太阳的距离是周期变 化的。
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例题讲解
例2 如下图是钟摆的示意图。摆心A到 铅垂线MN的距离记为y,钟摆偏离铅垂 线MN的记为? 。那么y随? 的变化是周期 性的吗? 解:根据物理知识,y与 都随时间的 变化而周期性变化。
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例题讲解
例3 下图是随车的示意图,随车上A点 到水面的距离为y。假设水车5min转一圈, 那么y的值随时间的变化是周期性的吗? 解:由于y的值每经过5min就会重复 出现,因此,距离y随时间的变化规律也 具有周期性。
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想一想

1、地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是 周期现象吗?

2、钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周 期现象吗? 3、连续抛一枚硬币,面值朝山我们记为0, 面值朝下我们记为1,数字0和1是否会周期性 地重复出现?
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二、周期函数的概念
教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关 内容,并思考回答下列问题:①如何理解“散 点图”? ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示 什么? ③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”? ④对于周期函数的定义,你的理解是怎样? 以上问题都由学生来回答,教师加以点拨并 总结:周期函数定义的理解要掌握三个条件, 即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任 意值;f(x+T)=f(x)。(板书:二、周期函数 的概念) 14

练习:(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x,
均存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)。求f(x+2T) , f(x+3T) 略解:f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x), f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)本题小结, 由学生完成,总结出“周期函数的周期有无数个”, 教师指出一般情况下,为避免引起混淆,特指最小 正周期。 (2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且 f(1)=2005,求f(11) 略解:f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005 (3)已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+ 3)=f(x),求f(8) 略解:f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1) 15 =-f(1)=-2

归纳小结:(1)请学生回顾本节课所学过的 知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方 法有那些?(2)在本节课的学习过程中,还 有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是 什么? 布置作业:1.作业:习题1.1第1,2,3题. 2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子, 进一步理解它的特点. 教后反思:
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