kl800.com省心范文网

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题(解析版).doc


江西省吉安市第一中学 2017 届高三上学期期中考试 数学(理)试题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0, x ? R , B ? x | lg ? x ? 1? ? 1, x ? Z , 则 A? B ? (

?

?

?

?



A. ? 0, 2 ? 【答案】D

B. ? 0, 2?

C. ?0, 2?

D. ?0,1, 2?

考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合 类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合 元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取 舍. 2.复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ,则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于( A.第一象限 【答案】D 【解析】 试题分析: z ?1 ? i ? ? 1 ? i ? z ? 象限,选 D. B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2 2 2 2 2 ? ? i ,所以 z ? ? i 对应点位于第四 1? i 2 2 2 2

考点:复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

(a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概念,
如复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a 2 ? b2 、对应点为 (a , b) 、共轭为

a ? bi.
3.命题“存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是 (
x

) B.对任意的 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

A.不存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

C.对任意的 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

D.存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

【答案】B

考点:命题的否定 【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量 词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命 题“? x∈M, p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判定一 个全称命题是假命题, 只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0, 使 p(x0)不成立即可.要判断存在 性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则就是假 命题. 4.“ a ? ?2 ”是“直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 2x ? ? a ? 1? y ? 4 ? 0 互相平行”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 2x ? ? a ? 1? y ? 4 ? 0 互相平行的充要条件为 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 )

?(a ? 1)a ? ?1? 2且

a 3 ? , 即 a ? ?2 或 a ? 1 , 因此 “ a ? ?2 ” 是 “直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 2 4

与 l2 : 2x ? ? a ? 1? y ? 4 ? 0 互相平行”的充分不必要条件 ,选 A. 考点:充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法. 1.定义法:直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p? q”为 真,则 p 是 q 的充分条件. 2.等价法:利用 p? q 与非 q? 非 p,q? p 与非 p? 非 q,p?q 与非 q?非 p 的等价关系, 对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法:若 A? B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的 充要条件. 5.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元 466-485 年间,其中记 载着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第

30 天共织布 390 尺, 一天织布 5 尺, 则该女子织布每天增加的尺数 (不作近似计算) 为 (
A.



16 29

B.

16 27

C.

11 13

D.

13 29

【答案】A

考点:等差数列应用 6.阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是 ( )

n ?1 A. 计算数列 2 前 5 项的和 n B.计算数列 2 ? 1 前 5 项的和

? ?

?

?

n ?1 C. 计算数列 2 前 6 项的和 n D.计算数列 2 ? 1 前 6 项的和

? ? ?

?

【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环: A ? 1, i ? 2 ;第二次循环: A ? 1 ? 2, i ? 3 ;第三次循环:

A ? 1 ? 2 ? 22 , i ? 4 ;第四次循环: A ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 , i ? 5 ;第五次循环: A ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 , i ? 6 ;第六次循环: A ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 , i ? 7 ;结束循环,
n ?1 输出 A ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 , 为数列 2 前 6 项的和,选 C.

? ?

考点:循环结构流程图 【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图 的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循 环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? , z ? 2 x ? 2 y ? 1 ,则 z 的取值范围是 ( 7.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. ? ,5? ?3 ? 【答案】C



?5

?

B. ?0,5?

C.

?0,5?

D. ? ,5 ? ?3 ?

?5

?

考点:线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一, 准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜 率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边 界上取得.

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 AB 在向 量 BC 方向上的投影为 (

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?
1 2

) C. ?

A.

B.

3 2

3 2

D. ?

1 2

【答案】D 【解析】 试题分析: 2 AO ? AB ? AC ? O 为 BC 中点,又 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,所以

????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? AB ,因为 ,所以 ?ABC =60? ,因此向量 AB 在向量 BC 方向上的投影 AB ? AC
为 AB cos120 ? ?
?

??? ?

1 ,选 D. 2

考点:向量投影 【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式 a· b=|a||b|cos θ ;二是坐标公式 a· b=x1x2 +y1y2;三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进 行化简. 9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A. 3 【答案】C

B. 2

C.

4 3 3

D. 2 3

考点:三视图 【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特 征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱 柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学 会利用反例对概念类的命题进行辨析.

10.已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为 16 9


?PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ? S?IF1F2 成立,则 ? 的值为 (

A.

5 8

B.

4 5

C.

4 3

D.

3 4

【答案】B

考点:双曲线定义 【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定

义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦 点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合,画出合理草图.

B C , B C ? D 11.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O , 球 O 的直径是 AD , 且 ?A
等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是 ( A. )

都是边长为 1 的

2 6

B.

2 12

C.

2 4

D.

3 12

【答案】B 【解析】 试题分析:取 BC 中点 M ,则有 AM ? BC, DM ? BC ? BC ? 面AMD ,所以三棱锥

1 1 1 1 2 A ? BCD 的体积是 ? BC ? S?AMD ? ?1? ? ? 2 ? ,选 B. 3 3 2 2 12
考点:三棱锥体积 【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求 解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方 法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件 求解. 12.设函数 f ? x ? 是定义在 ? ??,0? 上的可导函数为 f ' ? x ? ,且有 3 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 ,则不 等式

? x ? 2015?

3

f ? x ? 2015 ? ? 27 f ? ?3? ? 0 的解集 (
B. ? ??, ?2016? D. ? ??, ?2012?



A. ? ?2018, ?2015? C.

? ?2016, ?2015?

【答案】A

考点:利用导数解不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函 数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如 f ?( x) ? f ( x) 构造 g ( x ) ?

f ( x) , ex

f ?( x) ? f ( x) ? 0 构造 g ( x) ? e x f ( x) , xf ?( x) ? f ( x) 构造 g ( x ) ? xf ?( x) ? f ( x) ? 0 构造 g ( x) ? xf ( x) 等
二、填空题(每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 a ?

f ( x) , x

?

e

1 e

1 ? a? dx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 __________. x ? x?

5

【答案】 ?80 【解析】
e

试题分析: a ?

?

1 e

e 1 2 dx ? ln x 1 ? 2 ,所以 Tr ?1 ? C5r (? ) r ,由 r ? 3 得 x ?3 的系数为 x x e

3 C5 (?2)3 ? ?80.

考点:定积分,二项式定理 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r+1 项,再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 r+1 项,由 特定项得出 r 值,最后求出其参数. 14.直线 l 过抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 且与 C 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点
2

M 的坐标为 ? 3, 2 ? ,则抛物线 C 的方程为 __________.
【答案】 y 2 ? 4 x或y 2 ? 8x

【解析】 试题分析:由点差法得

y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ? y12 ? y2 2 ? 2 p ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )k AB ? 2 p ? 4k AB ? 2 p ? k AB ?
,而

p 2

k AB ?

2?0 p 2?0 ? ? p ? 2或4 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x或y 2 ? 8x p ,所以 2 p 3? 3? 2 2
a? x, a 等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数,则 3

考点:抛物线弦中点 15.已知函数 f ? x ? ? cos

y ? f ? x ? 在 ?0, 4? 上有偶数个零点的概率是 _________.
【答案】

1 3

考点:古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序” 区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题 目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 16.在平面直角坐标系中,已知三个点列 ? An ? ,?Bn ? ,?Cn ? ,其中

??????? ????? ? An ? n, an ? , Bn ? n, bn ? , Cn ? n ?1,0? 满足向量 An An?1 与向量 BnCn 共线,且
bn?1 ? bn ? 6, a1 ? b1 ? 0 ,则 an ? _________.(用 n 表示)

2 ? 【答案】 3n ? 9n ? 6 n ? N

?

?

考点:叠加法求通项,等差数列定义 【方法点睛】在利用叠加法求项时,一定要注意使用转化思想.把对应项放缩后成等差数列 或等比数列, 再进行求和, 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列, 哪些项构成等比数列, 清晰正确地求解.在放缩时要注意方向以及放缩大小. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 3 . (1)求函数 f ? x ? 的单调减区间; (2)已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,其中 a ? 7 ,若锐角 A 满足

?A ?? f ? ? ? ? 3 ,且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 bc 的值. ?2 6? 14
【答案】 (1) ? k? ? 【解析】 试题分析: (1)先根据二倍角公式、配角公式将三角函数化为基本三角函数:

? ?

?
12

, k? ?

7? ? ? k ? Z ? (2) bc ? 40 12 ? ?

?? ? f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ,再根据正 3? ?
弦函数性质求单调区间(2)先由 f ?

? ?A ?? ? ? ? 3 以及锐角 A ,求出角 A ? ,再根据正 3 ?2 6?
b?c b?c 13 3 ,即 b ? c ? 13 ,最后根据 ? sin A= 2R a 14
2

弦定理将角化为边: sin B ? sin C ?

余弦定理求 bc : cos A ? 试题解析: (1)

2 b2 ? c2 ? a 2 ? b ? c ? ? 2bc ? a 1 ? ? ,即 bc ? 40 2bc 2bc 2

?? ? f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? , 3? ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

3? ,得 f ? x ? 的单调递减区间为 2

? 7? ? ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? . ? 12 12 ? ? ?

考点:正余弦定理 【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 18.(本小题满分 12 分)为了整顿食品的安全卫生,食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两 种食品进行了检测调研,检测某种有害微量元素的含量,随机在两种食品中各抽取了 10 个 批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位: 毫克)

规定:当食品中的有害微量元素的含量在 ?0,10? 时为一等品,在 ?10,20? 为二等品, 20 以 上为劣质品. (1) 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据, 再分别从这 5 个数据中各选取 2 个, 求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;

(2)每生产一件一等品盈利 50 元,二等品盈利 20 元,劣质品亏损 20 元,根据上表统计 得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率,分别估计这两种食品为一等品、二 等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食品中各抽取 1 件, 设这两件食品给该厂带来的盈利 为 X ,求随机变量 X 的频率分布和数学期望. 【答案】 (1)

21 (2) E ? X ? ? 54 50
0
30 40 70 100

X
P

?40

1 25

3 25

1 5

2 25

8 25

6 25

试题解析: (1)从甲中抽取的 5 个数据中,一等品有 4 ? 中抽取 5 个数据中,一等品有 6 ?

5 ? 2 个,非一等品有 3 个,从乙 10

5 ? 3 个,非一等品有 2 个,设“从甲中抽取 5 个数据中 10

任取 2 个,一等品的个数为 i ” 为事件 Ai ?i ? 0,1,2? ,则

P ? A0 ? ?

1 1 2 C32 3 C2 C3 3 C2 1 ? , P A ? ? , P A ? ? . ? ? ? ? 1 2 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

设“从乙中抽取 5 个数据中任取 2 个,一等品的个数为 i ” 为事件 Bi ?i ? 0,1,2? ,则
1 1 2 C2 C3 3 C32 3 C2 1 P ? B0 ? ? 2 ? , P ? B1 ? ? 2 ? , P ? B2 ? ? 2 ? . C5 10 C5 5 C5 10

? 甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为:
1 3 3 3 3 1 21 ? ? ? ? ? ? . 10 10 5 5 10 10 50 4 2 ? , (2)由题意,设“从甲中任取一件为一等品” 为事件 C1 ,则 P ? C1 ? ? 10 5 4 2 ? , 设“从甲中任取一件为二等品” 为事件 C2 ,则 P ? C2 ? ? 10 5 P ? P ? A2 ?B2 ? ? P ? A1 ?B1 ? ? P ? A0 ?B0 ? ?

2 1 ? . 10 5 6 3 ? , 设“从乙中任取一件为一等品” 为事件 D1 ,则 P ? D1 ? ? 10 5 2 1 ? , 设“从乙中任取一件为二等品” 为事件 D2 ,则 P ? D2 ? ? 10 5 2 1 ? . X 可取 设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 D3 ,则 P ? D3 ? ? 10 5 1 1 1 ?40,0,30, 40,70,100 P ? X ? ?40 ? ? P ? C3 ?D3 ? ? ? ? ., 5 5 25 1 1 2 1 3 2 1 1 3 1 P ? X ? 0 ? ? P ? C3 ?D2 ? C2 ?D3 ? ? ? ? ? ? , P ? X ? 30 ? ? P ? C1 ?D3 ? C3 ?D1 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 5 5 5 5 5 2 1 2 2 1 2 3 8 P ? X ? 40 ? ? P ? C2 ?D2 ? ? ? ? , P ? X ? 70 ? ? P ? C1 ?D2 ? C2 ?D1 ? ? ? ? ? ? 5 5 25 5 5 5 5 25
设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 C3 ,则 P ? C3 ? ? ,

2 3 6 P ? X ? 100 ? ? P ? C1 ?D1 ? ? ? ? . 5 5 25
? X 的分布列为

X
P

?40

0

30

40

70

100

3 1 2 8 6 5 25 25 25 25 1 3 1 2 8 6 E ? X ? ? ?40 ? ? 0 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 70 ? ? 100 ? ? 54 . 25 25 5 25 25 25
考点:分层抽样,分布列与数学期望,古典概型概率 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何 概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等), 求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列 或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实 际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X~B(n,p)),则 此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此, 应熟记常见的 典型分布的期望公式,可加快解题速度.

1 25

ABCD 是菱形,且 19.(本小题满分 12 分)在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面

AB ? A1 A1, ?A1 AB ? ?A1 AD ? 60? .
(1) 求证: 平面 A 1 BD ? 平面 A 1 AC ; (2)若 BD ? 2 A 1BD 与平面 B 1BD 所成角的大小. 1D ? 2 ,求平面 A

【答案】 (1)详见解析(2) 45?

? ?A1 AB 和 ?A1 AD 均为 试题解析: (1)因为 AA 1 ? AB ? AD, ?A 1 AB ? ?A 1 AD ? 60 ,所以

正三角形,于是

A1B ? A1D , ? B D , B C D 是菱形, 设 AC 与 BD 的交点为 O , 则 AO 又A 所以 AC ? BD , 1
而 AO 1 ? AC ? O ,所以 BD ? 平面 A 1 BD ? 平面 1 AC ,而 BD ? 平面 A 1BD ,故平面 A

A1 AC .

考点:面面垂直判定定理,线面垂直判定定理,利用空间向量求二面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当 的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”, 求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. 20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点 F1 , F2 ,过右焦点 F2 的直线 a 2 b2

l 与 C 相交于 P, Q 两点,若 ?PQF1 的周长为短轴长的 2 3 倍.
(1)求 C 的离心率; (2) 设 l 的斜率为 1 , 在 C 上是否存在一点 M ,使得 OM ? 2OP ? OQ ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由.

???? ?

??? ? ????

【答案】 (1) 【解析】

6 (2)不存在 3

试题分析: (1)求椭圆离心率,只需建立一个等量关系即可:因为 ?PQF1 的周长为 4 a ,所 以 4a ? 4 3b ,注意短轴长为 2b ,即可得到 a ? 3b,c ?

2b, e ?

c 2b 6 (2)存 ? ? a 3 3b

在性问题,以算代证,有解就存在,无解就不存在. 设 M ? x0 , y0 ? , P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则?

? x0 ? 2 x1 ? x2 3 2 3 2 2 2 , 代入椭圆方程为 x ? 3 y ? c 化简得 c ? ? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ? 0 , 再根 2 2 ? y0 ? 2 y1 ? y2
3 3 c, x1 x2 ? c 2 , 2 8

据直线方程 y ? x ? c 与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得 x1 ? x2 ?
2

计算 x1x2 ? 3 y1 y2 ? x1x2 ? 3? x1 ? c ?? x2 ? c ? ? 4x1x2 ? 3c ? x1 ? x2 ? ? 3c ? 0 ,则与

3 2 c ? ? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ? 0 矛盾,故不存在 2

考点:椭圆离心率,直线与椭圆位置关系 【思路点睛】 解析几何存在性问题,一般解决方法为先假设存在,以算代探,即设参数,运用推理,将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,然后直接推理、计算,并在计算推理的过程中 解出参数,若有解就存在,否则就存在.其中直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线

方程与圆锥曲线方程组成的方程组, 利用韦达定理或求根公式进行转化, 涉及弦长的问题中, 应熟练地利用根与系数关系, 设而不求法计算弦长; 涉及垂直关系时也往往利用根与系数关 系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中 点弦问题往往利用点差法. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? mx(m 为常数). (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 m ?

3 2 时,设 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? x2 的两个极值点 x1, x2 , ? x1 ? x2 ? 恰为 2

?x ?x ? h ? x ? ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,求 y ? ? x1 ? x2 ? h ' ? 1 2 ? 的最小值. ? 2 ?
【答案】 (1)当 m ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

1? ? ,单调递减区间减区间为 m?

2 ?1 ? ? , ?? ? ,当 m ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? .(2) ? ? ln 2 3 ?m ?

(2)先求 g ? x ? 导数得 x1 , x2 为方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两根,再求 h ? x ? 导数得

h '? x? ?

2 1 ?x ?x ? ? c( x1 ? x2 ) ? b ,而由 x1 , x2 为 ? 2cx ? b ,因此 h ' ? 1 2 ? = x ? 2 ? x1 ? x2

2 h ? x ? ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,得 ln x1 ? cx12 ? bx1 ? 0,ln x2 ? cx2 ? bx2 ? 0 ,两式相减得

ln

x1 x 1 ? c ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? b ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即得 ln 1 ? c ? x1 ? x2 ? ? b ? 0 ,因此 x2 x1 ? x2 x2

x 2 1 ?x ?x ? h '? 1 2 ? = ? ln 1 ,从而 ? 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x2

x1 ?1 2 ? x1 ? x2 ? x x x x t ?1 1 2 y ? ? ln ? 2? ? ln 1 ? 2 ? ln t ,其中 1 ? t ? 0 ? t ? 1? , 根据韦达 x1 x2 x1 ? x2 x2 x2 t ?1 ?1 x2
定理确定自变量范围:因为

( x1 ? x2 )2 3 2 3 2 2 1 9 1 x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? m ? ? ?( ) ? t ? 2 ? ? ,0 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 2 x1 x2 2 t 2 2
? ? t ? 1? 2 ? 0 ,所以 ymin ? ? ? ln 2 又 y ? ? 2? 3 t ? t ? 1?
2

(2)g ? x ? ? 2 f ? x ? ? x ? 2ln x ? 2mx ? x ,则 g ' ? x ? ?
2 2

2 ? x 2 ? mx ? 1? x

,所以 g ' ? x ? 的两根

x1 , x2 即为方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 的两根. 因为 m ? 3 2 ,所以 2

? ? m2 ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? m, x1x2 ? 1 ,又因为 x1 , x2 为 h ? x ? ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,所以
2 ln x1 ? cx12 ? bx1 ? 0,ln x2 ? cx2 ? bx2 ? 0 ,两式相减得

x ln 1 x1 ln ? c ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? b ? x1 ? x2 ? ? 0 ,得 x2 ,而 b? ? c ? x1 ? x2 ? x2 x1 ? x2
h '? x? ?
所以

1 ? 2cx ? b , x

? 2 ? y ? ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? b ? ? x1 ? x2 ?

x ? ? ln 1 ? 2 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?
x1 ?1 2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 x ? ? ln ? 2? ? ln 1 x x1 ? x2 x2 x2 1 ?1 x2


x1 t ?1 2 ? t ? 0 ? t ? 1? , y ? 2 ? ln t ,由 ? x1 ? x2 ?2 ? m 2 得 x12 ? x2 ? 2x1x2 ? m2 x2 t ?1
1 t 1 5 3 2 ,故 t ? ? ,解得 t 2 2
2

2 因为 x1 x2 ? 1 ,两边同时除以 x1 ? x2 ,得 t ? ? 2 ? m ,因为 m ?

? ? t ? 1? 1 1 t ?1 t ? 或 t ? 2 ,所以 0 ? t ? ,设 G ? x ? ? 2? ? ln t ,所以 G ' ? t ? ? 2? ? 0, 2 2 t ?1 t ? t ? 1?
则 y ? G ? t ? 在 ? 0, ? 上是减函数,所以 G ? t ?min ? G ? ? ? ? ? ln 2 ,即 2 2 3

? ?

1? ?

?1? ? ?

2

2 ?x ?x ? y ? ? x1 ? x2 ? h ' ? 1 2 ? 的最小值为 ? ? ln 2 . 3 ? 2 ?
考点:利用导数求函数单调区间,利用导数求函数最值 【思路点睛】导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f′(x)>0,则 y=f(x)在该区间为增函数;如果 f′(x)<0,则 y=f(x)在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式, 常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1 ,直线 C2 的极 坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos ? ? ? (1) 求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? ?

??

??2 2 . 4?

(2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 (t ? R 为,参数) 求 a , b 的值. ? y ? t ?1 ? 2
【答案】 (1) ? 4,

? ?

?? ?

?? ? , ? 2 2, ? (2) a ? ?1, b ? 2 2? ? 4?

2 试题解析: (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,直线 C2 的直角坐标方程为 2

x ? y ? 4 ? 0 ,联立得
2 2 ? ?? ? x ? ? y ? 2 ? ? 4 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2 ? ?? ? 得? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . ? ? 4? ? 2? ? ? ? y1 ? 4 ? y2 ? 2 ?x ? y ? 4 ? 0

(2)由(1)可得, P, Q 的直角坐标为 ? 0,2? , ?1,3? ,故 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 由参数方程可得 y ?

b ab b ab x? ? 1 ,所以 ? 1, ? ? 1 ? 2 ,解得 a ? ?1, b ? 2 . 2 2 2 2

考点:极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 . (1)若不等式 f ? x ?

? ?

1? ? ? 2m ? 1? m ? 0 ? 的解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? ,求实数 m 的值 ; 2?
y

(2) 若不等式 f ? x ? ? 2 ? 值. 【答案】 (1) m ?

a ? 2 x ? 3 对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最小 2y

3 (2) 4 . 2

【解析】 试题分析: (1)先化简不等式 2x ? 2m ?1? m ? 0? ,再根据绝对值定义得

1 1 1 3 ? x ? m ? ,最后根据解集关系得 m ? ? 2 , m ? (2)先化简不等式 2 2 2 2 a 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 y ? y ,再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ?max ? 2 y ? 2ay ,根据绝对值三角不等式得 ?m ?

2x ?1 ? 2x ? 3 ? ? 2x ?1?? 2x ? 3? ? 4 ,因此再利用变量分离将不等式转化为对应函数最
值: a ? ? ?2
y

? 4 ? 2 ?? ?
y

max

,根据二次函数最值可得 a ? 4 ,即实数 a 的最小值为 4.

考点:绝对值定义,绝对值三角不等式 【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用 绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不 等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法 的灵活应用,这是命题的新动向.


赞助商链接

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.2...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.23)理数试题 Word版含答案 - 高三数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题...

...江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试政治...

【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试政治试题.doc_数学_高中教育_教育专区。江西省吉安市第一中学 2017 届高三上学期期中考试 政治试题一...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试(物理)

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试(物理...理 A.直线 A B.曲线 B C.曲线 C D.直线 D ...其示数之比为 1:1 4、如图所示,平行金属板中带...

...江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考物...

【全国百强校word版】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考物理试题.doc - 一、选择题: (1-7 题为单选题;8-10 为多选题) 1、如下图所示,甲...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第四次周考理综...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第四次周考理综化学试题 Word版含解析 - 可能用到的相对原子质量:H:1 O:16 N:14 Na:23 S:32 Fe:56 Cu:64 7. ...

2017届江西省吉安市第一中学高三上学期期中考试化学试...

2017届江西省吉安市第一中学高三上学期期中考试化学试题及答案 - (测试时间:100 分钟 卷面总分:100 分) Na:23 Zn : 65 可能用到的相对原子质量: H:1 C:...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.2...

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.23) 文数试题Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。高三数学试卷(文科)第Ⅰ卷(共 60 分) 一、...

...江西省吉安市第一中学2017届高三上学期周考(一)历史...

【全国百强校】江西省吉安市第一中学2017届高三上学期考(一)历史试题.doc - 一.选择题:60 分 1. 考古数据显示,春秋战国时期,各地工艺虽有地方性的特色,基本...

2017届江西省吉安市第一中学高三上学期第一次段考物理...

2017届江西省吉安市第一中学高三上学期第一次段考物理试题(图片版)_理化生_高中教育_教育专区。页 1第 页 2第 页 3第 页 4第 页 5第 页 6第 页 7第...

2017届江西省吉安市第一中学高三下学期第二次模拟考试...

2017届江西省吉安市第一中学高三学期第二次模拟考试语文试题 解析版_数学_高中教育_教育专区。高三 模拟卷 语文 2017 届江西省吉安市第一中学高三学期第二次...