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2015-2016高中数学 第一章 导数及其应用章末小结 新人教A版选修2-2


2015-2016 高中数学 第一章 导数及其应用章末小结 新人教 A 版选 修 2-2

知识点一 导数的概念与几何意义 求曲线的切线的方法 求曲线的切线分两种情况 (1)求点 P(x0,y0)处的切线,该点在曲线上,且点是切点,切线斜率 k=y′|x=x0. (2)求过点 P(x1,y1)的切线方程,此点在切线上不一定是切点,需设出切点(x0,y0), 求出切线斜率 k=y′|x=x0, 利用点斜式方程写出切线方程, 再根据点在切线上求出切点坐 标即可求出切线方程. 已知函数 y=x -x,求函数图象 (1)在点(1,0)处的切线方程; (2)过点(1,0)的切线方程. 解析:(1)函数 y=x -x 的图象在点(1,0)处的切线斜率为 k=y′|x=1=(3x -1)|x=1 =2, 所以函数的图象在点(1,0)处的切线方程为 y=2x-2. (2)设函数 y=x -x 图象上切点的坐标为 P(x0,x0-x0), 则切线斜率为 k=y′|x=x0=3x0-1, 切线方程为 y-(x0-x0)=(3x0-1)(x-x0), 由于切线经过点(1,0), 所以 0-(x0-x0)=(3x0-1)(1-x0), 整理,得 2x0-3x0+1=0,即 2(x0-1)-3(x0-1)=0, 所以 2(x0-1)(x0+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 解得 x0=1 或 x0=- . 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3

? 1 3? 所以 P(1,0)或 P?- , ?, ? 2 8?
1 1 所以切线方程为 y=2x-2 或 y=- x+ . 4 4

知识点二 导数与函数的单调性
1

求函数 f(x)的单调区间的方法步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)计算函数 f(x)的导数 f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0, 得到函数 f(x)的递增区间; 解不等式 f′(x)<0, 得到函数 f(x) 的递减区间. 提醒:求函数单调区间一定要先确定函数定义域,往往因忽视函数定义域而导致错误. (2014?高考大纲卷)函数 f(x)=ax +3x +3x(a≠0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 解析:(1)因为函数 f(x)=ax +3x +3x, 所以 f′(x)=3ax +6x+3. 令 f′(x)=0,即 3ax +6x+3=0,则Δ =36(1-a)。 若 a>1,Δ ≤0 时,f′(x)≥0,因此 f(x)在 R 上是增函数。 -1+ -a -1- -a 当 a≤1,Δ >0 时,f′(x)=0 方程有两个根,x1= ,x2= .
2 2 3 2 3 2

a

a

-1- -a? ?-1+ -a ? ? 当 0<a<1,x∈?-∞, ?或? ,+∞?时,f′(x)>0,

?

a

? ?

a

?

-1- -a? ?-1+ -a ? ? 故函数 f(x)在?-∞, ?和? ,+∞?都是增函数;

?

a

? ?

a

?

在?

?-1- -a -1+ -a? , ?是减函数. a a ? ? ?
a

-1+ -a? ?-1- -a ? ? 当 a<0,x∈?-∞, ?或? ,+∞?时,f′(x)<0,

? ?

a

?

-1+ -a? ?-1- -a ? ? 故函数 f(x)在?-∞, ?和? ,+∞?都是减增函数;

?

a

? ?

a

?

在?

?-1+ -a -1- -a? , ?是增函数. a a ? ?
2

(2)当 a>0,x>0 时,f′(x)=3ax +6x+3>0,故 a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增 函数. 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数, 5 当且仅当 f′(x)≥0 且 f′(2)≥0,解得- ≤a<0, 4

? 5 ? 综上,a 的取值范围?- ,0?∪(0,+∞). ? 4 ?

2

知识点三 导数与函数的极值 (1)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0 左侧和右侧

f′(x)的符号不同.特别注意,导数为零的点不一定是极值点.
(2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b) 内绝不是单调函数, 即在某区间上单调函数没有极值. (3)运用导数求可导函数 y=f(x)的极值的步骤: ①先求函数的定义域, 再求函数 y=f(x) 的导数 f′(x);②求方程 f′(x)=0 的根;③检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号,如 果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得 极小值. (2014?福建安溪一中、德化一中摸底考)已知函数 f(x)=ln x+x +mx . (1)当 m=-3 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围. 解析:(1) f(x)的定义域为(0,+∞),
2

f′(x)= +2x+m, x m=-3 时,f′(x)=
1. 2x -3x+1 (2x-1)(x-1) 1 = ,令 f′(x)=0,得 x= 或 x= x x 2
2

1

f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?0,1? ? 2? ? ?
+ ?

1 2 0 极大值

?1,1? ?2 ? ? ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

5 ?1? 由上表可知,f(x)极大值=f? ?=-ln 2- ,f(x)极小值=f(1)=-2. 4 ?2? (2)函数 f(x)在定义域内为增函数, 1 ?1 ? 所以 x>0 时,f′(x)= +2x+m≥0 恒成立,可得 m≥-? +2x?(x>0)恒成立.

x

?x

?

1 2 ?1 ? 因为 x>0, 所以 +2x≥2 2(当且仅当 x= 时取等号), 所以 -? +2x? =-2 2, x 2 ?x ?max 得 m≥-2 2. ∴m 的取值范围是[-2 2,+∞)

知识点四 导数与函数的最值
3

1.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求 f(x)在(a,b)内的极值. (2)将(1)求得的极值与 f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个 值为最小值. 2.利用导数求函数的最值时的两个注意点 (1)当 f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得. (2)当 f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可 以断定 f(x)在该点处取得最大(最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象上一点 P(1,0),且在点 P 处的切线与直线 3x+y =0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值. 解析:(1)因为 f′(x)=3x +2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为:f′(1)=3+2a, 即 3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点, 即-2+b=0,b=2. 所以 a=-3,b=2,f(x)=x -3x +2. (2)由 f(x)=x -3x +2 得,f′(x)=3x -6x. 由 f′(x)=0 得,x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,所以 f(x)max =f(0)=2,f(x)min=f(t)=t -3t +2. ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
3 2 3 2 2 3 2 2 3 2

x f′(x) f(x)

0 0 2

(0,2) - ?

2 0 -2

(2,t) + ?

t

t3-3t2+2

f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0.
所以 f(x)max=f(0)=2.

知识点五 导数在优化问题中的应用 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: ①分析实际问题中各量之间的关系, 构造出实际问题的数学模型, 写出实际问题中变量

4

之间的函数关系 y=f(x),并根据实际意义确定定义域; ②求函数 y=f(x)的导数 f′(x), 解方程 f′(x)=0 得出定义域内的实根, 确定极值点; ③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; ④还原到实际问题中作答. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,则只需根据实际情况判断是最 大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 货车欲以 x km/h 的速度行驶,去 130 km 远的某地,按交通法规,限制 x 的允许范围 是 50≤x≤100,假设汽油的价格为 2 元/升,而汽车耗油的速率是?2+ ?升/小时.司机 ? 360? 的工资是 14 元/小时,试问最经济的车速是多少?这次行车往返的总费用最低是多少?

?

x2 ?

x ? 130 130 ? 解析:单程行驶:汽车运行的时间为 小时,耗油量为 ??2+ ?升,耗油费用为 x x ? 360? x ? 130 ? 2? ? ?2+ ? 元 , 司 机 的 工 资 为 14? 元,故这次行车的单程费用为 y= x x ? 360?
130
2

2

x ? 130 ? 130 ? x 18? 2? ??2+ ?+14? =130?? + ?. x ? 360? x ?180 x ?
所以 y′=130??

2

? 1 -18 ? 2 ?. ?180 x ?

令 y=0 得 50≤x≤100 内的唯一解为

x=18 10≈57(km/h)
所以 y=130??

? 57 +18?≈82.2(元) ? ?180 57?

所以最经济的车速是 57 km/h,这次行车往返的总费用最低约为 2?82.2=164.4(元).

知识点六 定积分的计算及简单应用 (1)用微积分基本定理求定积分,关键是找出被积函数的原函数,这就需要利用求导运 算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数. (2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下:①画出图形,确定图形范围;②解方程 组求出图形交点坐标,确定积分上、下限;③确定被积函数,注意分清函数图形的上、下位 置;④计算定积分,求出平面图形面积. (3)利用定积分求加速度或路程(位移),要先根据物理知识得出被积函数,再确定时间 段,最后用求定积分方法求出结果. (1)若函数 f(x)在 R 上可导, f(x)=x +x f′(1), 则?0f(x)dx=________________; (2)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 y=a(a>0)与抛物线 y=x 所围成的封闭图形的面积
2 3 2 2

5

8 2 为 ,则 a=________________. 3 解析:(1)因为 f(x)=x +x f′(1),所以 f′(x)=3x +2xf′(1),所以 f′(1)=3+ 2f′(1),所以 f′(1)=-3,所以?0f(x)dx=
?y=x , ? (2)由? 可得 A(- ?y=a, ?
2 2 3 2 2

?1x4+1x3f′(1)?? =-4. ?4 ?? 0 3 ? ??

2

a,a),B( a,a),

S= ? a-

a

(a-x )dx=

2

?ax-1x3??a) ? ?? - 3 ?? ?

a

3 4 a 2 1 8 2 ? ? =2?a a- a a?= = ,解得 a=2. 3 3 ? ? 3 答案:(1)-4 (2)2

一、选择题 1.对任意的 x,有 f′(x)=4x ,f(1)=-1,则此函数解析式可以为(C) A.f(x)=x
4 3

B.f(x)=x +1
4

4

C.f(x)=x -2 D.f(x)=-x
3

4

解析:由 f′(x)=4x ,可设 f(x)=x +c(c 为常数),由 f(1)=-1 得-1=1+c,∴c =-2.故选 C. 2.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的(A) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:y=f(x)在(a,b)上 f′(x)>0? y=f(x)在(a,b)上是增函数,反之,y=f(x)在 (a,b)上是增函数? f′(x)≥0? f′(x)>0. 3.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(C) A.y=sin x C.y=xe
x
2

4

B.y=x -x D.y=-x+ln(1+x)
x x x x

3

解析:对于 C,有 y′=(xe )′=e +xe =e (x+1)>0.

6

5? 1 3 ? 4.曲线 y= x -2 在点?-1,- ?处切线的倾斜角为(B) 3? 3 ? A.30° B.45°

C.135° D.150° 解析:∵y′=x ,k=tan α =y′|x=-1=(-1) =1,∴α =45°.故选 B. 5.曲线 y=e A.
-2x 2 2

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形面积为(A) D.1
-2x

1 1 2 B. C. 3 2 3

解析:y′=-2e

,y′|x=0=-2,点(0,2)处的切线方程为 y-2=-2x.

2 x= , ? 3 ?y-2=-2x ? ? 1 2 1 令 y=0 得 x=1.由? 得? ∴S= ? ?1= . 2 3 3 ? 2 ?y=x y= , ? ? 3 6. 设函数 f(x)的定义域为 R, x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点, 以下结论一定正确的是(D) A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 解析:对于 A.? x∈R,f(x)≤f(x0)错误.x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,并不是最大值 点. 对于 B,-x0 是 f(-x)的极小值点.错误.f(-x)相当于 f(x)关于 y 轴的对称图象, 故-x0 应是 f(-x)的极大值点. 对于 C,-x0 是-f(x)的极小值点.错误.-f(x)相当于 f(x)相当于关于 x 轴的对称图 象,故 x0 应是-f(x)的极小值点.跟-x0 没有关系. 对于 D,-x0 是-f(-x)的极小值点.正确.-f(-x)相当于 f(x)先关于 y 轴的对称图 象,再关于 x 轴的对称图象.故 D 正确. 7.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是(D)

1-x ?1 ? 8.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ,2?恒成立,则 a 的最大值为(A) x ?2 ? A.0 B.1 C.2 D.3 1-x 解析:设 f(x)= +ln x,

x

-x+x-1 1 x-1 则 f′(x)= + = 2 . 2

x

x

x

7

?1 ? ?1 ? 当 x∈? ,1?时,f′(x)<0,故函数 f(x)在? ,1?上单调递减; ?2 ? ?2 ?
当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=0, 所以 a≤0,即 a 的最大值为 0. 二、填空题

9.计算

3 0

(2x-1)dx=

________________________________________________________________________. 解析:由导数的运算法则知当 F(x)=x -x 时,F′(x)=2x-1,由定积分的定义得 (2x-1)dx=F(3)-F(0)=9-3=6. 答案:6
2 3 0

10.?

π 答案: -1 2 11.(2015?江门一模)已知定义在区间(-π ,0)上的函数 f(x)=xsin x+cos x,则

f(x)的单调递减区间是________.
π 解析:f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,令 f′(x)<0,得- <x<0.所以 f(x) 2

? π ? 的单调递减区间是?- ,0?. ? 2 ? ? π ? 答案:?- ,0? ? 2 ?
12.一物体以初速度 v=9.8t+6.5 米/秒的速度自由落下,且下落后第二个 4s 内经过 的路程是________. 解析:
8 4

(9.8t+6.5)dt=(4.9t +6.5t)|4

2

8

=4.9?64+6.5?8-4.9?16-6.5?4 =313.6+52-78.4-26=261.2. 答案:261.2 米 三、解答题
8

13.已知函数 f1(x)=e

|x-a|

,f2(x)=e .

bx

(1)若 f(x)=f1(x)+f2(x)-bf2(-x),是否存在 a,b∈R,使 y=f(x) 为偶函数?如果 存在,请举例并证明你的结论;如果不存在,请说明理由. (2)若 a=2,b=1.求函数 g(x)=f1(x)+f2(x)在 R 上的单调区间. 解析:(1)存在 a=0,b=-1 使 y=f(x)为偶函数,证明如下:此时:f(x)=e +e +e ,x∈R, 所以 f(-x)=e
|-x| |x| -x

x

+e +e =f(x),

x

-x

所以 y=f(x)为偶函数.(注:a=0,b=0 也可以) (2)因为 g(x)=e
|x-2|

?e +e ,x≥2, ? x +e =? 2-x x ? ?e +e ,x<2,
x-2

x-2

x

①当 x≥2 时,g(x)=e 所以 g′(x)=e
x-2 x

+e ,

x

+e >0,

所以 y=g(x)在[ 2,+∞)上为增函数. ②当 x<2 时,g(x)=e 则 g′(x)=-e
2-x 2-x

+e ,

x

+e ,令 g′(x)=0 得到 x=1,

x

(i)当 x<1 时,g′(x)<0, 所以 y=g(x)在(-∞,1)上为减函数. (ii)当 1≤x<2 时,g′(x)>0,所以 y=g(x)在(1,2)上为增函数. 综上所述:y=g(x)的增区间为[ 1,+∞),减区间为 (-∞,1). 14.用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长 比宽多 0.5 米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积. 解析:设容器底面宽为 x m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.
?3.2-2x>0, ? 由? 解得 0<x<1.6, ?x>0 ?

设容器的容积为 y m ,则有

3

y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, y′=-6x2+4.4x+1.6,
令 y′=0,即-6x +4.4x+1.6=0, 4 解得 x=1,或 x=- (舍去). 15 ∵在定义域(0,1.6)内只有一个点 x=1 使 y′=0,且 x=1 是极大值点, ∴当 x=1 时,y 取得最大值为 1.8. 此时容器的高为 3.2-2=1.2 m. 因此,容器高为 1.2 m 时容器的容积最大,最大容积为 1.8 m . 15.(2015?惠州第三次调研改编)已知函数 f(x)=x +2ax+1(a∈R),f′(x)是 f(x)
9
2 3 2

的导函数. (1)若 x∈[-2,-1],不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|. 解析:(1)因为 f(x)≤f′(x),所以 x -2x+1≤2a(1-x), 又因为-2≤x≤-1,知 1-x>0
2

x2-2x+1 x2-2x+1 1-x 3 所以 a≥ 在 x∈[-2,-1]时恒成立,因为 = ≤ , 2(1-x) 2(1-x) 2 2
3 所以 a≥ . 2 (2)因为 f(x)=|f′(x)|,所以 x +2ax+1=2|x+a|, 所以(x+a) -2|x+a|+1-a =0,则|x+a|=1+a 或|x+a|=1-a. ①当 a<-1 时,|x+a|=1-a,所以 x=-1 或 x=1-2a; ②当-1≤a≤1 时,|x+a|=1-a 或|x+a|=1+a, 所以 x=±1 或 x=1-2a 或 x=-(1+2a); ③当 a>1 时,|x+a|=1+a,所以 x=1 或 x=-(1+2a). 16.设 f(x)=a(x-5) +6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 6 2 解析:(1)因为 f(x)=a(x-5) +6ln x,所以 f′(x)=2a(x-5)+ .令 x=1,得 f(1)
2 2 2 2

x

=16a,f′(1)=6-8a.所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-16a=(6- 1 8a)?(x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 2 (2)由(1)知,f(x)= (x-5) +6ln x, 2

f′(x)=x-5+ = x

6 (x-2)(x-3) .

x

令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2)和(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,

f′(x)<0, 故 f(x)在(2, 3)上为减函数. 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln
2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3.

9 2

10


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高中数学 第一章 导数及其应用章末过关检测卷 新人教A....doc

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