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湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考理数


湖南省湘中名校 2014 届高三第一次大联考

数学(理)试题
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑、程序框图、函数与导数) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟,答题 前,考生在答题卡上用蓝黑色签字笔或圆珠笔将自己的姓名、考号填写清楚,并贴好条形码.请认 真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.

一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每 小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置。 1.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M ,函数 y ? A.

? x x ? 1且x ? 0?

B.

? x x ? 1且x ? 0?

1 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( ) x C. ? x x ? 1? D. ? x x ? 1?


2.已知命题 p : ?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1 ,则 ?p 是( A. ?x ? R ? , log 2 x ? 1 C.

B. ?x ? R ? , log 2 x ? 1
? D. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1

?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1

3.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y ? x
3

) D. y ? 2
?| x|

B. y ?| x | ?1

C. f ( x) ?

ln x x

4.设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是( A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点



5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(

1 2 ),则 log2f(2)的值为( , 2 2
C.2



A.

1 2

B.-

1 2

D.-2

6.如图(1),函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? f ? x ? ? ,则函数 y ? g ? x ? 的 ? ? 图象为 ( )
y 1 B -1 y 1 y 1 1 -1 O y 1 x A 1 -1 O y 1 x O -1
图(1)

1 x C

A.

-1

B.

-1

C.

-1 O 1 x

D.
-1 O 1 x

-1

-1

? 1? 7.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ? ? ,在 x∈[0,4]上解 ? 10 ?
的个数是( A.1 8.已知函数 f ( x) = ? A. (??, 0] ) B.2 C.3 D.4 )

x

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0
B. (??,1]

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是(

C. [-2,1]

D. [-2,0]

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。

9.曲线 y ? ln ? x ? 2 ? 在点 P ? ?1, 0 ? 处的切 线方程是____________; 10.已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3 x ? 1, 则 f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? __________; ? 2?

?

11.若执行如图 2 所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2 ,

则输出的数等于 12.由直线 x ? ?



?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为



13.设函数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ? n) , 值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为________ ; 14.已知函数 f (x) 的定义域为[-3,+∞) ,部分函数值如表 1 所示,其导函 数的图象如图 3 所示, 若正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 表1

1 3

b?2 的取值范围是 a?2
6 1 -3

; y

x
f (x)

-3 1

0 -1

0 图3

x

15.设定义域为[0,1]的函数 f (x) 同时满足以下 三个条件时称 f (x) 为“友谊函数”: (1)对任意的 x ? [0,1] ,总有 f (x) ≥0; (2) f (1) ? 1 ; (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0且x1 ? x2 ? 1, 则有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 下列判断正确的 有 。

(1) f (x) 为“友谊函数”,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 g ( x) ? 2 x ? 1 在区间[0,1]上是“友谊函数 ”; (3)若 f (x) 为“友谊函数”,且 0≤ x1 < x2 ≤1,则 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 。

三、解答题(共 6 题,共 75 分,写出证明过程或演算步骤,写在答题卡相应位置)

16.(本小题满分 12 分)已知全集 U=R,非空集合 A ? x < 0? . (1)当 a ?

?

x?2 < 0? , B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? x ?3

1 时,求 ? CU B ? ? A ; 2

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

[来源:学*科*网]

17.(本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 f ( x) 的定义域;

f ( x) ? lg(a x ? b x ) ( a ? 1 ? b ? 0 )

(2)问是否存在实数 a 、b ,当 x ? (1, ? ?) 时, f ( x) 的值域为 (0, ??) ,且 f (2) ? lg 2? 若存在, 求出 a 、 b 的值,若不存在,说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) .
2

(1)若 f (x) 的定义域和值域均是 ?1, (2)若对 任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? ,求实数 a 的值;

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 某商场预计 2014 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量

p( x ) ?

1 x ( x ? 1)( 41 ? 2 x )( x ? 12, x ? N ? ) (单位:件) 2

(1)写出第 x 个月的需求量 f (x ) 的表达式;

? f ( x ) ? 21x, 1 ? x ? 7, x ? N ? ? (2)若第 x 个月的销售量 g ( x ) ? ? x 2 1 2 (单位:件) ,每件利 ( x ? 10 x ? 96),7 ? x ? 12, x ? N ? ? x ?e 3
润 q( x ) ?

1000e x ?6 (单位: , 元) 求该商场销售该商品, 预计第几个月的月利润达到最大值?月 利 x

润的最大值是多 少?(参考数据: e6 ? 403 )

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x2 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3

(1)若 x=2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中 a 为常数, e=2.718…,且函数 y =f(x )和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行. (1)求常数 a 的值; (2)若存在 x 使不等式

x?m > x成立,求实数 m 的取值范围; f (x)

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0, 我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.


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