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版高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修4(数学教案)

2.4.1 景及其含义(二) 学习目标 平面向量数量积的物理背 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算 律进行计算或证明. 知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 交换律 结合律 实数乘法 向量数量积 判断正误 正确 错误 ab=ba (ab)c=a(bc) a·b=b·a (a·b)c= a(b·c) (a+b)·c =a·c+b·c 分配律 (a+b)c=ac+bc 正确 a·b= 消去律 ab=bc(b≠0)? a=c b·c(b≠0) ? a=c 错误 知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 (a+b) =a +2ab+b 2 2 2 向量数量积 (a+b) =a +2a·b+b 2 2 2 1 (a-b) =a -2ab+b 2 2 2 2 (a-b) =a -2a·b+b 2 2 2 2 (a+b)(a-b)=a -b 2 2 2 2 (a+b)·(a-b)=a -b 2 2 2 2 2 (a+b+c) =a +b + (a+b+c) =a +b +c + 2a·b+2b·c+2c·a c2+2ab+2bc+2ca 类型一 向量数量积的运算性质 例 1 给出下列结论:①若 a≠0,a·b=0,则 b=0;②若 a·b=b·c,则 a=c;③(a·b)c =a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0,其中正确结论的序号是________. 答案 ④ 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时,a·b=0,故①不正确; 当 a=0,b⊥c 时,a·b=b·c=0,但不能得出 a=c,故②不正确; 向量(a·b)c 与 c 共线,a(b·c)与 a 共线,故③不正确; a·[b(a·c)-c(a·b)] =(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0,故④正确. 反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系,同时有许多不同之处.例 如,由 a·b=0 并不能得出 a=0 或 b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练 1 设 a,b,c 是任意的非零向量,且互不平行,给出以下说法: ①(a·b)·c-(c·a)·b=0; ②(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直; ③(3a+2b)·(3a-2b)=9|a| -4|b| . 其中正确的是________.(填序号) 答案 ③ 解析 (a·b)·c 表示与向量 c 共线的向量,(c·a)·b 表示与向量 b 共线的向量,而 b,c 不共线,所以①错误;由[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=0 知,(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 垂直,故②错误;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以③正确. 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度 1 已知向量垂直求参数值 例 2 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60°, c=ta+(1-t)·b, 且 b⊥c, 则 t=________. 答案 2 1 解析 由题意,将 b·c=[ta+(1-t)b]·b 整理,得 ta·b+(1-t)=0,又 a·b= ,所 2 以 t=2. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b?a·b=0. 2 2 2 跟踪训练 2 已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k 等于 ( 9 A.- 2 答案 C 解析 因为 a=(k,3),b=(1,4), 所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1) =2(2k-3)-6=0, 解得 k=3.故选 C. 命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, 则 ) 15 B.0 C.3 D. 2 k 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(1,+∞) 解析 ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2) =ke1+ke2+(k +1)e1·e2 =2k>0,∴k>0. 但当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0,不符合题意,舍去. 综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1. 反思与感悟 由两向量夹角 θ 的取值范围,求参数的取值范围,一般利用以下结论:对于非 π π 零向量 a,b,θ ∈[0, )?a·b>0,θ ∈( ,π ]?a·b<0. 2 2 跟踪训练 3 设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+ 7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解 设向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 θ . ?2te1+7e2?·?e1+te2? 根据题意,得 cos θ = <0, |2te1+7e2||e1+te2| ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. 1 2 化简,得 2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2 当 θ =π 时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角. 设 2te1+7e2=λ (e1+te2),λ <0, 2 2 2 3 2t=λ , ? ? 则?7=λ t, ? ?λ <0, ?λ =- 14, ? ∴? 14 t=- . ? 2 ? 14 14 1 )∪(- ,- ). 2 2 2 ∴实数 t 的取值范围是(-7,- 1.下面给出的关系式中正确的个数是( 2 2 ) 2 2 2 ①0·a=0;