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2011三角函数高考题精选


2011 三角函数高考题精选
1.(11 江苏 7)已知 tan(x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x

2.(11 江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c 3.(1)若 sin( A ?

?

1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. ) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 3
2 2

4. (11 重庆 6) ? ABC 的内角 A、 C 所对的变 a、 c 满足 a ? b) ? c ? 4 且 C=60°, 若 B、 b、 ( 则 ab 的值为 (A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C) 1

(D)
3

2 3

5.(11 重庆 16) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? 11? ?? ? f ? ? x ? ? f ? 0 ? ,求函数在 { , } 上的最大值和最小值 4 24 ?2 ?

6.(11 浙江 18) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知

1 5 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? b 2 . (Ⅰ)当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4 4 (Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

7.(11 新课标 11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2? ? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

?
2

) 的最小正

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

8.(11 新课标 5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线
y ? 2 x 上,则 cos 2? =

3 4 (D) 5 5 9. ( 11 天 津 6 ) 如 图 , 在 △ ABC 中 , D 是 边 AC 上 的 点 , 且

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2 BD ,则 sin C 的值为

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

10.(11 天津) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? 与最小正周期; (II)设 ? ? ? 0,

?
4

), (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域

? ?

??

? ,若 f ( ) ? 2cos 2?, 求 ? 的大小. 4? 2

?

11.(11 四川 6)在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

(A)(0,

? ] 6

(B)[

? ? ? , ? ) (c)(0, ] (D) [ ,? ) 6 3 3
7 3 ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4

12.(11 四川)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? a) ?

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求证: [ f ( ? )]2 ? 2 ? 0 5 5 2

13.(11 山东 3)若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

a? 的值为: 6

(A)0

(B)

3 3

(C)1

(D) 3

14.(11 山东 17) (本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

cos A-2 cos C 2c-a sin C 1 .(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 cosB= ,b=2, 求△ABC 的面 = cos B b sin A 4 积 S.
已知

15. (11 辽宁 4) ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, c, △ B, b, asinAsinB+bcos2A= 2 a , 则

b ? a
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

16.(11 辽宁 16)已知函数 f (x) =Atan( ? x+ ? ) ? ? 0, | ? |? ( 的部分图像如下图,则 f (

?
2

) ,y= f (x)

?
24

)?



17.(11 湖南 17) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 c sin A ? a cos C . (I)求角 C 的大小;

(II) 3 求 n s i

c? o A s (

) B?

?
4

的最大值,并求取得最大值时

角 A, B 的大小.

18.(11 湖北) (本小题满分 10 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c, 已知 a ? 1.b ? 2.cos C ?

1 . (Ⅰ)求 ?ABC 的周长(Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值 4

1 ? 5? 19. 11 广东本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R. 1.求 f ( ) 的 3 6 4

? 10 6 ? ?? 值;2.设 ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. 2 13 5 ? 2?

20.(11 安徽 9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ?| f ( ) | 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f (x) 的单调递增区间是

?

?

6

2

(A) ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? ?

?

?

??

(B) ?k? , k? ? ? (k ? Z ) 2? ? (D) ?k? ? , k? ? (k ? Z ) 2 ? ?

?

??

(k ? Z ) (C) ?k? ? , k? ? 6 3 ? ? ?

?

?

2? ?

?

?

?

21.(11 安徽 14)已知⊿ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则⊿ABC 的面积为 . 22.(11 北京 9)在 ?ABC 中。若 b=5, ?B ? a=_______________。 23.(11 北京 15 本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? 最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

?
4

,tanA=2,则 sinA=____________;

?
6

(Ⅰ)求 f ( x) 的 ) ?1。

? ? ?? , 上的最大值和最小值。 ? 6 4? ?

24.(11 福建 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______。另外和数列结合考了一道十三分的大题

2012 高考试题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图 象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 2. 【 2012 高 考 新 课 标 文 9 】 已 知 ω>0 , 0 ? ? ? ? , 直 线 x ? f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π (A) 4 【答案】A
??x ? ? 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3? ? 6

(B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2

?
4

和x?

5? 是函数 4

π (B) 3

π (C) 2

3π (D) 4

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

?
2

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3 3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25

【答案】C 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

【答案】B 6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17?

(A) ?

3 3 1 1 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C

7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则△ ABC 的形状是 ( ) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

A、钝角三角形

【答案】A 9.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连 接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( )
D C

E

A

B

(1)

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B

10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? (A) ? 1 【答案】A (B) ?

2 , ? ? (0,π ),则 sin 2? =
2 2
(D) 1

2 2

(C)

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

【答案】B

12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? A.a+b=0 【答案】C B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

?

1 , ) 若 a=f(lg5) b ? f (lg ) 则 4 5

13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等 于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的 长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的 正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意 正余弦定理与和差角公式的结合应用. 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 ? ,?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 【答案】B 16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x= B. 2 3 C.

3

D.

3 2

?
4

)的图像的一条对称轴是 D.x=-

?
4

B.x=

?
2

C.x=-

?
4

?
2
?

【答案】C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度,
4

所得图像经过点( (A) 【答案】D

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是 (B)1 C)
5 3

1 3

(D)2

二、填空题

? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 (5 6? 5 12 ?
▲ . 【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= _________。 【答案】 90?

?
3

,则∠C 的大小为

BC 20. 【2102 高考福建文 13】 在△ABC 中, 已知∠BAC=60°, ∠ABC=45°, ?

3,

则 AC=_______.
【答案】 2 . 21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取 得 最 大 值 时 ,

x ? ___________. 5? 【答案】 6
22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

a =1,b=2, C ? cos
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4

23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ? 【答案】 ?

sin x ?1

2 cos x

的最小正周期是

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B=

?
6

,c=2 3 ,则 b=

.

【答案】2.

三、解答题
25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小;

(2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】 【解析】 (1)? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得

tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 .

26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【答案】 【解析】

27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 【答案】 (I)由已知得:

sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a, b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4

28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T 5? 5? 5? 因为点 ( , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又? 0 ? ? ? ,? 即 ? ?? ? , 从而 ? ? =? , ? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( 又 点 0,1) 函 数 图 像 上 , 所 以 A sin 在 (

?

f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

6

? 1, A ? 2 , 故 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为

).

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ? ? ?

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f 12 12 T
(x) 的解析式; 第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得. 29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识, 考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ? 0, 值. 【答案】 (1) f ?

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 2 ? 8 ? ? ?? ? ? , f ? 4? ? 3 ? ? ? ? 17 , f ? 4 ? ? 3 ? ? ? 5 ,求 cos(? ? ? ) 的 ? ? ? 2? ? ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

( 2 )

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? , 即 f ? 4? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

sin ? ?

15 , 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4 ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ? 0,

8 3 ? ?? 2 2 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 17 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 , ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的 结果。 32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

?
2

( I ) 求 f ( x) 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos 2 x ? [0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?
33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 3asinC-ccosA

3 cos 2 x ? 1 2

34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。

【答案】 f ( x) ?

(sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x) cos x sin x sin x

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , x | x ? kπ ,k ? Z? ? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ? x | x ? kπ ,k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ ,π ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 。 k 8 8 ? ? ? ?

35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

?
2



(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

??? ???? ? ??? ??? ? ? 36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ;

5 ,求 A 的值. 5 ??? ???? ? ??? ??? ? ? 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
(2)若 cos C ?

AC ?cos A=3BC?cos B 。
由正弦定理,得

AC BC = ,∴ sin B ?cos A=3sin A?cos B 。 sin B sin A sin B sin A =3? 即 cos B cos A

又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴

tan B ? 3tan A 。

? 5? 2 5 5 (2)∵ cos C ? , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? 5 ? = 5 。∴ tan C ? 2 。 ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 4 tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? 。 tan 由 (1) ,得 2 1 ? 3tan A 3
∴ tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ? ? ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

? 。 4

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。

??? ???? ? ??? ??? ? ? 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系
式证明。 (2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ?? ? ? A ? B ? ? ,从 ? ? 5

而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。 37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ 【答案】

2 . 4

д )的值。 3

38.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 (x) f = 的图像关于直线 x=π 对称,

其中

为常数,且

1.求函数 f(x)的最小正周期; 2.若 y=f(x)的图像经过点 【答案】 ,求函数 f(x)的值域。

【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能 力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的 地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;求三角函

数的值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调 性,图象变换,解三角形等考查. 39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........

?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b 2 ? 3ac ,求 A 。
【答案】

三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: S ? (3) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1 (4) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k·? /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性
函 数

R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

②商数关系: tan a ?

sin a , cos a

coa? t

cos a s in a

x
?a 2? ? a

?
2

sin x ? sin a ? sin a cosa

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a ? tan a ? cot a

cot x ? cot a ? cot a ? tan a

?a

2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos( ? ? ) ? cos a cos ? ? sin a sin ? ?

sin(a ? ? ) ? sin a cos ? ? cos a sin ?

tan a(a ? ? ) ?

tan a ? tan ? 1 ? tan a tan ?

注:公式的逆用或者变形 .........

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cosa
tan 2a ? 2 tan a 1 ? tan2 a

cos2a ? cos2 a ? sin2 a ? 1 ? 2 sin2 a ? 2 cos2 a ? 1
从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式: cos2 a ?

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cos a a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cos a ?? cos ? ? tan ? ? ? ? , , 2 2 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a
y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[2k? ?

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?


T ??


?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]
单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

单调性

单调递增
[2k? ?

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

(

k? ,0 ) 2

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
ymin ? ?1

ymin ? ?1

4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质)

(1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos( x ? ? ) 的周期都是 T ? ?

2?

?

(2) 函数 y ? A tan(?x ? ? ) 和 y ? A cot(?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? ?
? 3? 、? 、 、 2? 来 2 2

求相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化” 多少。 (附上函数平移伸缩变换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (wx)( w ? 0) 将 y ? f (x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的

1 倍( w ? 1 缩短, 0 ? w ? 1伸长) w
② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f (x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来 的 A 倍( A ? 1 伸长, 0 ? A ? 1缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f (x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f (x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f (x) 图像在 y 轴右侧保留,并把右侧图像绕 y 轴翻折到 左侧(偶函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f (x) 在 x 轴上方图像, 轴下方图像绕 x 轴翻折上去 (局 x 部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;
2 2

配凑角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4) 引入辅助角。 asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ), 这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 解:因为 tan x ?

sin x ? 2 ,又 sin2x+cos2x=1, cos x

?sin x ? 2 cos x , 联立得 ? 2 2 ?sin x ? cos x ? 1
? 2 5 ? 2 5 ?sin x ? ?sin x ? ? ? 5 ? 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 ? 5 ? ?cos x ? 5 ?cos x ? ? 5 ? ?

2.求

tan(?120 ? ) cos(210 ? ) sin(?480 ? ) tan(?690 ? ) sin(?150 ? ) cos(330 ? )

的值.

解:原式

tan(?120 ? ? 180 ? ) cos( ? ? 30 ? ) sin(?360 ? ? 120 ? ) 180 ? ? o tan(?720 ? 30 ) sin(?150 ? ) cos(360 ? ? 30 ? )
? tan 60? (? cos 30? )(? sin 120? ) ? ?3 3. tan 30? (? sin 150? ) cos 30?

3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x
sin x ? cos x ? 2, sin x ? cos x

解:法一:因为

所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 得到 sinx=-3cosx,又 sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得

? 3 10 ? 3 10 ?sin x ? 10 ?sin x ? ? 10 ? ? , , ? ? 10 ? 10 ? ?cos x ? ? 10 ?cos x ? 10 ? ?

3 ? 10 sin x ? cos x 法二:因为 ? 2, sin x ? cos x
所以 sin x cos x ? ? 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx),

所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以 1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有 sin x cos x ? ?

3 ? 10

4.求证:tan2x· 2x=tan2x-sin2x. sin 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x· 2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x· 2x,问题 cos sin 得证. 法二:左边=tan2x· 2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x· 2x=tan2x-sin2x,问题得证. sin cos 5.求函数 y ? 2 sin( ?

x 2

π ) 在区间[0,2??]上的值域. 6
x π x π 7π ? π, ? ? ? , 由正弦函数的图象, 2 6 2 6 6

解:因为 0≤x≤2π,所以 0 ?
x π 1 得到 sin( ? ) ? [? ,1], 2 6 2

所以 y∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). 2 2 解:(1)y=sin x-cosx+2=1-cos x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3, 令 t=cosx,则 t ? [?1,1], y ? ?(t 利用二次函数的图象得到 y ? [1,
2

1 13 1 13 ? t ) ? 3 ? ?(t ? ) 2 ? ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 2 4

13 ]. 4

(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令 t=sinx+cosx ?

2,

5 π 则 sin(x ? ) , t ? [? 2 , 2 ] 则,y ? t 2 ? t ? 1, 利用二次函数的图象得到 y ? [? ,1 ? 2 ]. 4 4
7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 ( 2, 2 ) ,它到其相邻的最 低点之间的图象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A ? 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与 x 轴 交点的间隔是

T 1 π 个周期,这样求得 ? 4 ,T=16,所以 ? ? ? 8 4 4 π π π π 又由 2 ? 2 sin( ? 2 ? ? ) ,得到可以取 ? ? .? y ? 2 sin( x ? ). 8 4 8 4
8.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

数y?

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

π 2

解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
π π ? (cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin( ? 2 x) ? ? 2 sin(2 x ? ) 4 4

所以最小正周期为 π.
π π π 3π π (Ⅱ)若 x ? [0, ] , (2 x ? ) ? [? , ] , 则 所以当 x=0 时, f(x)取最大值为 ? 2 sin(? ) ? 1; 2 4 4 4 4

当x?

3π 时,f(x)取最小值为 ? 8

2.

cos? ? sin? ; (2) sin 2 ? ? sin? . cos? ? 2 cos2 ? 的值. cos? ? sin? sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; ? 解: (1) sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 ? cos ? 2 cos ? ? ? . sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?
1. 已知 tan? ?

2 ,求(1)

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化。 2. 求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ?[? 2,2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? ,因为 t ? [? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。 3 4
3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
2

π 对称。 8
2

解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8

(2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8

π π ? x ) ? f (? ? x )成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 f (?
4. 已知函数 y=

3 1 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

3 3 1 1 1 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 2 4 4 4 3 1 5 1 ? ? 5 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 6 6 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4 ? ? ? 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
解: (1)y= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2 ? y=sin(2x+ )的图像; 6 1 (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 2 1 ? y= sin(2x+ )的图像; 2 6 5 1 ? 5 (iv)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4 3 1 2 综上得到 y= cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

历年高考综合题
一,选择题
1.(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x) ? 1 是
2





A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

2.(08 全国一 9)为得到函数 y ? cos ? x ?

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?



π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移 ( )

3.(08 全国二 1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 A.1 B.

( D.2 (



2

C. 3

5.(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是
C. x ?



?
6

12 ? 6. (08 福建卷 7) 函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x)的图象, 2
则 g(x)的解析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx
2

B. x ? ?

?
12

?
6

D. x ?

?

( D.cosx (

)

7.(08 广东卷 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x) 是 A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数



? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 ( )

8.(08 海南卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为 A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

3 2

D. -2,

9.(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移

F′的一条对称轴是直线 x ?
A.

5 ? 12

, 则 ? 的一个可能取值是 1 5 11 B. ? ? C. ? 12 12

?

? 个单位长度得到图象 F′,若 3
( D. ? )

3 2

11 ? 12

10.(08 江西卷 6)函数 f ( x) ?

sin x x sin x ? 2sin 2







A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

11.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B. 2 C. 3 D.2





12.(08 山东卷 10)已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 的值是( 6? 5 6 ? ?
C. ?



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5
( )

13.(08 陕西卷 1) sin 330? 等于 A. ?

3 2

B. ?

1 2
2

C.

1 2

D.

3 2
( )

14.(08 四川卷 4) ? tan x ? cot x ? cos x ? A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x

15.(08 天津卷 6)把函数 y ? sin x( x ?R) 的图象上所有的点向左平行移动 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 数是 A. y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度, 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函 2
( )

? ?

?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?
( )

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

16.(08 天津卷 9)设 a ? sin A. a ? b ? c

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
C. b ? c ? a
2

B. a ? c ? b

D. b ? a ? c ( )

17.(08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是 A.

? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

18.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? 直线 y ? A.0 二,填空题

x 2

3? )( x ? [0, ]) 的图象和 2? 2
( )

1 的交点个数是 2
B.1 C.2

D.4

19.(08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1 ? 2) ,则 tan 2? 的值为 , 20. 08 江苏卷 1)f ? x ? ? cos ? ? x ? (



? ?

??

其中 则 ? 的最小正周期为 , ? ? 0 , ? = 6? 5

?



21.(08 辽宁卷 16)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 22.(08 浙江卷 12)若 sin(

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x



?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三,解答题 24. (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

25. (08 北京卷 15)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小 2?

正周期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

26. (08 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的
2

最小值正周期是

? . (Ⅰ)求 ? 的值; 2
(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

27. (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? 1.D 11.B 19. 2.C 3.C

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
7.D 8.C 9.A 10.A 17.B 22. ?
2

4.B 5.B 6.A 14.D

12.C 13.B 20. 10

15.C 16.D 21. 3

18.C

4 3

7 25
4

23.2

24. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

, 由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ? ?11? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关 键; 25. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? ? 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ? 26. 解:

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ?

2? ? ? ,可得 ? ,所以 ? ? 2 . 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

?
16

?

k? ?k ? Z ? 时, sin? 4 x ? ? ? 取得最大值 1,所以函数 ? ? 4? 2 ?

? k? ? ? f ? x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z? 16 2 ? ?
27. 解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

?

(2)? x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3 6 ) 在区间 [?

? ?

? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

3 ? 1 3 ? ? f ( ) ? ,∴当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2 2 2 2 12

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

3 ,1] , ] 上的值域为 [? 2 12 2

? ?

28. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ?x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

?1 ? π ? π? x ?x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 3 ? 3? 2 ?2 2? ?2 ?
x ? x? ? g (? x) ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? g ( x) . 2 ? 2?

?函数 g ( x) 是偶函数.三角函数历年高考题汇编
一.选择题 1、 (2009)函数

?? ? y ? 2 cos 2 ? x ? ? ? 1 是 4? ?
B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2


2、 (2008)已知函数

f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是(

A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数

B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2

3.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数

f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...



4.(200 9 山东卷文)将函数 是( A. ).

y ? sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位, 4

再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式

y ? 2 cos2 x

B.

y ? 2sin 2 x

C.

y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

D.

y ? cos 2 x

5.(2009 江西卷文)函数 A. 2? B.

f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x 的最小正周期为
C. ? D.

3? 2

? 2

6.(2009 全国卷Ⅰ文)如果函数 为 A.

y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 (

4? , 0) 中心对称,那么 ? 3

的最小值

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2


7.(2008 海南、宁夏文科卷)函数

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为(
C. -3,

A. -3,1

B. -2,2

3 2

D. -2,

3 2


8.(2007 海南、宁夏)函数

π? ? ? π ? y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? ? 2 ?

二.填空题 1.(2009 宁夏海南卷文)已知函数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则

? 7? f? ? 12

? ?? ?



2.(2009 年上海卷)函数

y ? 2 cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是_____________________

. =

3.(2009 辽宁卷文)已知函数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,则 ?

三.解答题 1、 (2008)已知函数

f ( x) ? A sin(x ? ? )(a ? 0, 0? ? ? ? ),x ? R的最大值是

1,其图像经过点

? 1 M( , )。 3 2
(1)求

f ( x) 的解析式;

(2)已知 ? , ?

? 3 12 ? (0, ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13

12、 (2006)已知函数 (I)求

f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R . 2

?

f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 的的最大值和最小值; 3 (III)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值. 4

30.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x .

f ( x) 的最小正周期;
? ? ?? f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 2?

(Ⅱ)求

三角函数历年高考题汇编参考答案
一. 1.A 选择题 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.A 二.填空题 1. 0 三.解答题 1. 2.

1? 2

3.

3 2

f ( x) ? sin( x ?

?
2

)

? 56 f (? ? ? ) ? sin(? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2 65 2. (1) T ? 2?
(2)

f min ? ? 2, f max ? 2

(3) sin 2? 3. (1) T (2)

??

7 16

??
3 , f max ? 1 2

f min ? ?

黄冈中学高考数学压轴题精编精解精选 10 题 精心解答 {完整版}
51.已知二次函数 ,且当 (1)证明: (2)若 (1,3)时,有 。 的表达式。 满足:对任意实数 x,都有 成立。

(3)设 上方,求实数 m 的取值范围。

,若

图上的点都位于直线



52.(1)数列{an}和{bn}满足

(n=1,2,3?),

求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。(8 分)

(2)数列{an}和{cn}满足 分必要条件,需说明理由。[提示:设数列{bn}为

,探究

为等差数列的充

53.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积分制,比赛 规则规定赢一局得 2 分,平一局得 1 分,输一局得 0 分;比赛共进行五局,积分

有超过 5 分者比赛结束,否则继续进行. 根据以往经验,每局甲赢的概率为



乙赢的概率为 ,且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第 n 局赢、平、输的得分分 别记为 、 、 令 .

(Ⅰ)求

的概率;

(Ⅱ)若随机变量 满足 期望.

( 表示局数),求 的分布列和数学

54.如图,已知直线 与抛物线 交于点 A,定点 B 的坐标为(2, 0) .

相切于点 P(2, 1),且与 轴

(I)若动点 M 满足

,求点 M 的轨迹 C;

(II)若过点 B 的直线 (斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的 两点 E、F(E 在 B、F 之间),试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围.

55.已知 A、B 是椭圆

的一条弦,M(2,1)是 AB 中点,以 M

为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线 AB 交于 N(4,—1). (1)设双曲线的离心率 e,试将 e 表示为椭圆的半长轴长的函数. (2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时,求椭圆的方程. (3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56 已知:

在曲线

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 的值,使得数列{bn}是等差数列;

,设定 b1

(3)求证: 57、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).

(1)求数列



(2)设

58、 已知向量 移后得到函数 (Ⅰ)求函数 的图象。 的表达式;

的图象按向量 m 平

(Ⅱ)若函数

上的最小值为

的最大值。

(1)证明:点

在平面

上的射影



的中点;

(2)求二面角

的大小 ;

(3)求点

到平面

的距离. 中, 是边长为 的正三角形, 平面 , 为 的中点, 为 的中点.

60、 如图, 已知四棱锥 平面 ,四边形 为菱形,

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角

平面

; 的大小.

黄冈中学 2013 年高考数学压轴题汇总 详细解答


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