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指数函数图像和性质


宁师中学

赖春发

考纲要求
? 1.了解指数函数模型的实际背景.
? 2.理解指数幂的概念,理解指数函数的单调

性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
? 3.知道指数函数是一类重要的函数模型.

考情分析
? 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高

考的热点. ? 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质, 或利用指数函数的图象与性质解决一些实际 问题是重点,也是难点,同时考查分类讨论 思想和数形结合思想. ? 3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识 点交汇则以解答题的形式出现.

?

x y ? a (a ? 0, a ? 1)形式的函数 形如

一.指数函数的定义
x

1.判断下列式子是不是指数函数
(1)

y?4
y ??

,(2)

y?x

4 ,(3)

y ? (?2)

x

(4)

x

,(5)

y?2

x?2

,(6)

y?2

2x

(7)

y ? (2a ? 1) x

是指数函数的有:(1) (4) (6) 不是指数函数的有:(2) (3) (5)
(7)当
1 a ? 且a ? 1 2

时是指数函数

2、若 y ? C.a

为指数函数,则当 x ? 2013 时,f ( x) ? Ax2 ? Bx ? C 1 的值为________

x? A

?B

?

分析:由题知A=0,B=0,C=1

所以

f ( x) ? 1

指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 y > 1; 当 x < 0 时,
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

2.指数函数的图象与性质

a>1

0<a<1
6 5



6

5

4

4

3

3


-4 -2

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

1.定义域:

R



2.值域: (0,+∞) 3.恒过点 (0,1),



4. x<0时,0<y<1 x>0时, y>1 5.在 R上是 增 函数

x<0时, y>1 x>0时,0<y<1 在R上是 减 函数

【例1】函数 的图像必经过点( D ) A(0,1) B(1,1) C(2,0) D(2,2)
y ? a x?2 ? 1(a ? 0且a ? 1)

分析:因为 (2,1)
及时演练

y ? a x?2 (a ? 0且a ? 1)

恒过

1、已知函数 f ( x) ? 4 ? 5 ( 则点P的坐标为

x ?1

的图像恒过定点P,
1,5


?

【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图 2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] C A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b

【例3】比较下列各数的大小:
(1)

2,
解:

3

9 2 ? 16 ? 2 的大小关系是:________ 2, 16

9

3

2=2 ,2=2 ,16=2

1 2 3

1 3 9

4 9

y?2

1 3

x

在R上是增函数

1 4 1 ? ? 3 9 2
4 9 1 2

?2 ? 2 ? 2

(1)

【例3】比较下列各数的大小: 4 ? 3 5 (2) 0.6 与 ( 2 )
? 1 2

解:

y ? 0.6 在R上单调递增
x

? 0.60 ? 1 3 x y ? ( ) 在R上单调递增 2 1 3 ?2 3 0 ?( ) ? ( ) ? 1 2 2 4 1 ? ? 3 2 5 ? 0.6 ? ( ) 2

? 0.6

?

4 5

【例3】比较下列各数的大小: 3.6 4.1 (2)4.5 与 3.7 解:
y ? 4.5 在R上单调递增
x

? 4.5 ? 4.5
4.1

3.6

y ? x3.6 在定义域内上单调递增

? 4.5

3.6

? 3.7
4.1

3.6

? 4.5 ? 3.7

3.6

及时演练
1、比较下列两式的大小 2.5 (1) 1.7 与 1.73 ( 2 ) 0.8?0.1与
0.3 与 (3) 1.7
3.1
2 .1

0.8

?0.2
2 .0

0.9 (4) 3 .5 与 2 . 7

2、已知 (a ? 2a ? 5) ? (a ? 2a ? 5) ,
2 3x 2

1? x

则x的取值范围是________

比较下列两式的大小: ①

1 .7

2 .5



1.7

3

解 :利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值;
5



因为1.7>1,所以函数y= 1.7 在R上是增函数, 而2.5<3,所以,

x

4.5

4

3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

1 .7

2 .5

< 1.7

3
-2 -1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5



0.8

?0.1

?0.2 0 . 8 ,

解:利用函数单调性

0.8

?0.1



0.8

?0.2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0.8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值; 因为0<0.8<1,所以函数y= 0.8 x
1.8

在R是减函数,

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

而-0.1>-0.2,所以,

1.2

1

0.8

?0.1

<

0.8

?0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2



.3 0 .9 3.1 1.7 0 ,

3.2

3

2.8

2.6

2.4

解 :根据指数函数的性质, 由图像得,

2.2

2

1.8

f?x? = 1.7x

1.6

1.4

1.2

1

1.7

0.3

?1 且
0.3

0.9

3.1

?1
-2 -1.5 -1 -0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

从而有

-0.4

1.7
或者

> 0 .9

3.1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

f?x? = 0.9x

1.6

1.4

1.2

1.7

0.3

>

1.7

0

>

0.9

0

>

0 .9

3.1
-0.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

【例4】已知函数 若f(x)为奇函数,则a=________.
【解析】解法1:∵f(x)的定义域为R, 又∵f(x)为奇函数, 1 ∴f(0)=0,即 a ? 20 ? 1 =0. ∴a=1
2

1 f ( x) ? a ? x 2 ?1

解法2:∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 1 1 1 即 a ? ? x ? x ? a ,解得a=.
2 ?1 2 ?1

2

1 ax 2 ? 4 x ? 3 【例5】已知函数 f ( x ) ? ( 3 ) 。 (1)若a ? ?1,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 f ( x)有最大值3,求
解(1)当 a ? ?1时,f ( x) ? ( 1 ) ? x 令 t ? ? x ? 4x ? 3
2
2

a 的值。

? 4 x ?3

3

) 由于t ( x) 在 (??, ?2)上单调递增,在 [?2, ??上单调递减



1 t y ? ( ) 在R上单调递减, 3

由复合函数的单调性知,函数f ( x)递增区间是 递减区间是 (??, ?2)

[?2, ??)

1 ax 2 ? 4 x ? 3 【例5】已知函数 f ( x ) ? ( 3 ) 。 (1)若a ? ?1,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若f ( x) 有最大值3,求
解(2)令 h( x) ? ax ? 4x ? 3
2

f ( x) ? (

a 的值。
1 h( x) ) 3

由于f ( x)有最大值3, 所以 h( x)应有最小值-1

因此必有 解得

{

a ?0 12 a ?16 ??1 , 4a

a ?1

即当 f ( x) 有最大值3时, 的值等于1

a

及时演练
2 y ? lg(3 ? 4 x ? x ) 的定义域为 1、函数

当x ? M 时,求 f ( x) ? 2x ? 2 ? 3? 4x

M ,
的最值

解:


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