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高考数学大题突破训练理科


高考数学大题突破训练(一) 1、设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c. 5

2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿 者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

3、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

-1-

BC ? 2 , 4、 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , CD ? 2 ,AB ? AC .
(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小. B C D E A

5、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F 1 (? 2,0) a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ( Ⅱ ) 当 过 点 P(4,1) 的 动 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 与 两 不 同 点 A, B 时 , 在 线 段 AB 上 取 点 Q , 满 足

AP QB ? AQ PB ,证明:点 Q 总在某定直线上

6、设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

-2-

高考数学大题突破训练(二)

5 4 1、在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2

2、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品 与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列及期望。

E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . 3、如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ? 4 ,点
(Ⅰ)证明: AC ? 平面 BED ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小. E D A B C D1 A1 B1 C1

-3-

4、设函数 f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

5、已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

6、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

-4-

高考数学大题突破训练(三) 1、已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

2、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各 株沙柳成活与否是相互独立的, 成活率为 p, 设 ? 为成活沙柳的株数, 数学期望 E? ? 3 , 标准差 ?? 为 (Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

6 。 2

3、已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间. ( x ? 1)2

-5-

4、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. A C P

B

5、如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a a 2 b2

b

0) 的一个焦点是 F(1,0) ,O 为坐标原点.

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的 方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动, 值有 OA ? OB
2 2

AB ,求 a 的取值范围.

2

6、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

-6-

高考数学大题突破训练(四) 1、 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

2、甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分。 假设甲队中每人答对的概率均为 影响.用ε 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ε 分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这 一事件,求 P(AB).

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , 且各人正确与否相互之间没有 3 3 3 2

3、如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

O

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

M

A B N C

D

-7-

4、已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。

5、设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 2 2 2b b

x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角 三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

y F G A F1 O B x

6、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

-8-

参考答案 高考数学大题突破训练(一) 1、解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
2、解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
3 C52 A3 1 则 P(? ? 2) ? 3 4 ? . C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

?
P

1

2

3 4

1 4

3 2 2 3、解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
2

当a

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , 即 f ( x ) 在 ? ??, ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

-9-

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3
7 4

a2 ? 3 1 ≥? 3 3 4、解: (1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , AB ? AC ,? AF ? BC , 又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE , ? AF ? CE .

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

tan ?CED ? tan ?FDC ?

2 , 2

? ?OED ? ?ODE ? 90 ,??DOE ? 90 ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD , 则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

6 30 AC CD 2 3 2 2 , DG ? , EG ? DE ? DG ? , ? 3 3 AD 3 CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 , ?? 2CG GE 10

CE ? 6 ,则 cos ?CGE ?

? 10 ? ? 10 ? ??CGE ? π ? arccos ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? ? 10 ? ? 10 ? ?. ? ? ? ?
5、解 (1)由题意:

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b
(2)方法一

,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP PB

?

AQ QB

,则 ? ? 0 且 ? ? 1

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB 于是

4?

x1 ? ? x2 , 1? ?

1?

y1 ? ? y2 1? ?
- 10 -

x?
从而

x1 ? ? x2 , 1? ?

y?

y1 ? ? y2 1? ?

2 x12 ? ? 2 x2 ? 4x , 1? ? 2

(1)

y12 ? ? 2y2 2 ? y, 1? ?2
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,

(2)

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,

(3)

(4)

(1)+(2)?2 并结合(3) , (4)得 4s ? 2 y ? 4 即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 方法二 设点 Q( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。 且

PA AQ

?

PB QB

又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ? x1 ?

(1) (2)
2 2

由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整理得

( x2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 ( x2 ? 2 y2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得

(3) (4)

8(2 x? y? 2 ?)?

0

∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0
即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 6、解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
- 11 -

由函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1]是增函数,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立;
(ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k

a ? b ? ka ln b ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ? 1 1
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. ? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) 1 1 1 1
高考数学大题突破训练(二)

5 12 4 3 ,得 sin B ? ,由 cos C ? ,得 sin C ? . 13 13 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65 33 1 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 AB ? sin B 20 ? AB , 由(Ⅰ)知 sin A ? ,故 AB ? AC ? 65 ,又 AC ? 65 sin C 13 20 13 AB ? sin A 11 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . 故 13 2 sin C 2 2、 【解】 :记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,
1、解: (Ⅰ)由 cos B ? ? (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

- 12 -

P ? C? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A? B ? P ? A? ? P B ? ? P ? A? P B
? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ? A ? B

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2

? ?

?

?

? ? ? ?

P ? D? ? 1 ? P D ?0 . 8
(Ⅲ) ?

? ?

B ?3,0.8? ,故 ? 的分布列

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096 2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512
所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4 3、解法一: 依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ? AC . 由三垂线定理知, BD ? AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 1 .·

G, 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 AC 1 于点

AA1 AC ? ?2 2, 由于 FC CE
故 Rt△A ? ?CFE , 1 AC ∽ Rt△FCE , ?AAC 1

D1 A1 B1

C1

?CFE 与 ?FCA1 互余.
D 于是 AC ? EF . 1 A F

HE G B C

BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直, AC 1 与平面 ? 平面 BED .· 所以 AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1
(Ⅱ)作 GH ? DE ,垂足为 H ,连结 A1H .由三垂线定理知 A 1 H ? DE , 故 ?A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 1HG 是二面角 A 1 ? DE ? B 的平面角. ·

EF ? CF 2 ? CE 2 ? 3 ,
CG ?
3 CE ? CF 2 2 2 , EG ? CE ? CG ? . ? 3 EF 3
- 13 -

EG 1 1 EF ? FD 2 ? , GH ? ? . ? EF 3 3 DE 15
又 A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 2 6 , AG ? AC 1 1 ? CG ?

5 6 . 3

tan ?A1 HG ?

A1G ?5 5. HG

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 z 解法二: D1 C1 D DA 以 为坐标原点,射线 为 x 轴的正半轴, A1 B1 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . 依题设, B(2, 2,, 0) C(0, 2,, 0) E(0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . E D A C y

DE ? (0, 21) ,, DB ? (2, 2, 0) ,

B x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 AC ? (?2, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) . · 1

(Ⅰ)因为 AC DB ? 0 , AC DE ? 0 , 1 1 故 AC ? BD , AC ? DE . 1 1 又 DB

DE ? D ,

所以 AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? 平面 DBE . · 1 (Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA 1E 的法向量,则

n ? DE , n ? DA1 .
故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 .

1, ? 2) . · 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

n, A1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角,

cos n, A1C ?

n ? A1C n A1C

?

14 . 42
14 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 42

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos

4、解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2
- 14 -

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2
当 2kπ ? 因此 f ( x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是减函数. · 3 3 ? ?
(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f (x) ,则 g ?( x) ? a ?
2

2 cos x ? 1 2 3 ?a? ? 2 (2 ? cos x) 2 ? cos x (2 ? cos x) 2

1 1 1? 1 ? ? 3? ? ? ? a ? .故当 a ≥ 时, g ?( x) ≥ 0 . 3 3 ? 2 ? cos x 3 ?
又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 当0 ? a ?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . 3

故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .因此 h( x) 在 ?0, arccos3a ? 上单调增加.

arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 sin x ? 3ax . 故当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ? 于是,当 x ? (0,
当 a ≤ 0 时,有 f ?

sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π ?π? 1 ? ? ? 0≥ a . 2 ?2? 2 ?1 ?3 ? ?

因此, a 的取值范围是 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ? ?.· 5、解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .由 ? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上,所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4
- 15 -

所以 y1 ? y2 ?

n ? 3n n ? .所以 AC 的中点坐标为 ? , ? . 2 ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 .所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . 4 4

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA .所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 6、解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因此,所求通项公式为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N* .①· (Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,于是,当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1
*

? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,

an?1 ? an ? 4 ? 3
当 n ≥ 2 时,

n?1

? (a ? 3)2

n?2

?2

n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12 ? ? ? a ? 3? , ? ?2? ? ? ?

?3? an?1 ≥ an ? 12 ? ? ?2?
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

n?2

? a ? 3≥ 0 ? a ≥ ?9 .

综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?? . · 高考数学大题突破训练(三)
- 16 -

1、解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?
2

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

2、解:(1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ? 从而 n ? 6, p ?

3 1 , 得1 ? p ? , 2 2

1 2

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64

15 64


6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P ( A )?
3、解: f ?( x) ?

1 ? 6? 1 ? 5 64

20 ?

21 15 ? 6 ? 1 21 , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 32 64 32

2( x ?1) 2 ? (2 x ? b) 2( x ?1) ( x ? 1)4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3
- 17 -

??

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 .

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??,b ? 1)

b ?1
0

(b ?11) ,

(1 , ? ?)

?

?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 1)

(1,b ?1)

b ?1
0

(b ? 1, ? ?)

?

?

?

所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) , 上单调递增,

, ? ?) 上单调递减. 在 (1 1) 上单调递减,在 (1,b ?1) 上单调递增,在 (b ? 1, ? ?) 上单调递减. 当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,
当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ?

2 1) 上单调递减,在 (1 , ? ?) 上单调递减. ,所以函数 f ( x ) 在 (??, x ?1
P

4、解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,? PD ? AB . AC ? BC , ? CD ? AB . PD CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . (Ⅱ) AC ? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC ,? PC ? BC .
又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC

A C

D

B

P E A C

PC ? C ,

? BC ? 平面 PAC .取 AP 中点 E .连结 BE,CE . AB ? BP ,? BE ? AP . EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ? CE ? AP .??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

B

3 AB ? 6 , 在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ? 2 ? sin ?BEC ? BC 6 6 ? .? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin . BE 3 3
A P

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD , ? 平面 APB ? 平面 PCD .过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . 平面 APB 平面 PCD ? PD ,? CH ? 平面 APB .

H D B

? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB

C

AC ? A ,? PC ? 平面 ABC .
- 18 -

CD ? 平面 ABC ,? PC ? CD .
在 Rt△PCD 中, CD ?

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 ,? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . 2 2

CH ?

PC ? CD 2 3 2 3 . ? 点 C 到平面 APB 的距离为 . ? PD 3 3

解法二: (Ⅰ) AC ? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC .又 PC ? AC , ? PC ? BC . AC BC ? C ,? PC ? 平面 ABC . AB ? 平面 ABC ,? PC ? AB . (Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 C (0, 0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) . E P y A C H x B z

0,t ) . 设 P(0,

PB ? AB ? 2 2 ,

? t ? 2 , P(0, 0, 2) .取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .

AC ? PC , AB ? BP ,? CE ? AP , BE ? AP .
??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

E (0, 11) , , EC ? (0, ?1 , ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) ,

cos?BEC ?

EC ? EB EC EB

?

2 2? 6

?

3 3 .? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos . 3 3

(Ⅲ) AC ? BC ? PC , ? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H ,且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .

BH ? 2HE ,

2 3 ?2 2 2? .? 点 C 到平面 APB 的距离为 ? 点 H 的坐标为 ? , , ? .? CH ? 3 ?3 3 3? 2 3 . 3
5、解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ?

3 MN , 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

即 1=

3 2b , 解得b= 3. 2 3

a2 ? b2 ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

- 19 -

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入
2 2 2

2

2

2

x2 y 2 ? 2 ? 1, 整理得 (a2 ? b2m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0, 2 a b

所以 y1 ? y2 ?

2b2 m b 2 ? a 2b 2 2 2 2 , y y ? 因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 1 2 2 2 2 2 2 2 a ?b m a ?b m

即 OA OB ? ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ?1 a 2 ? b2 m2 a 2 ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?
又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m ? R 恒成立,即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m ? R 恒成立. 当 m ? R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0,解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

1? 5 ,+ ? ). 2

解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解: (i)当直线 l 垂直于 x 轴时,

1 y2 b2 (a 2 ? 1) 2 x=1 代入 2 ? 2 ? 1, y A ? =1. a b a2
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即

a2 ? 1 >1, a

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> . 2 2 2

(ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2).

x2 y2 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入 2 ? 2 ? 1, a b
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故 x1+x2=

2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 2 2 2 , x2 x2 ? 2 . 因为恒有|OA| +|OB| <|AB| , 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k
- 20 -

所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2)

a 2 k 2 ? a 2b 2 2a 2 k 2 ( a 2 ? a 2b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2b 2 2 2 ? k ? k ? . b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2

由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0 对 k ? R 恒成立.①当 a2- a2 b2+b2>0 时,不合题意; ②当 a2- a2 b2+b2=0 时,a=

1? 5 ;③当 a2- a2 b2+b2<0 时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 2

解得 a2>

3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 或 a2> (舍去) ,a> ,因此 a ? . 2 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2
n

综合(i) (ii) ,a 的取值范围为(

6、 【解】 :由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1


两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1 即 an?1 ? ban ? 2n (Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?

n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 b 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?

因此 an ?1 ?

1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
高考数学大题突破训练(四) 1、 【解】 : y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
- 21 -

? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zm a x? ? ? 1 ?1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 2、(Ⅰ)解法一:由题意知,ε 的可能取值为 0,1,2,3,且

2 1 2 2 2 P(? ? 0) ? C 0 3 ? (1 ? ) 3 ? , P (? ? 1) ? C 13 ? ? (1 ? ) 2 ? , 3 27 3 3 9 2 2 4 2 8 P (? ? 2) ? C 2 3 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 3 ? , P (? ? 3) ? C 33 ? ( ) 3 ? . 3 3 9 3 27
所以ε 的分布列为 ε P ε 的数学期望为 0 1 2 3

1 27

2 9

4 9

8 27

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2. 27 9 9 27 2 解法二:根据题设可知 ?~B (3, ) 3
Eε = 0 ? 因此ε 的分布列为

2k 2 2 k P(? ? k ) ? C3 ? ( ) k ? (1 ? ) 2? k ? C k 3 ? 3 , k ? 0,1,2,3. 3 3 3 2 2 因为?~B(3, ), 所以E? ? 3 ? ? 2 3 3
(Ⅱ)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件,所 以 AB=C∪D,且 C、D 互斥,又

2 ?2 1 1 1 2 1 2 1 1? 2 P(C ) ? C 2 3 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3 10 ? 4, 3 2 1 1 1 4 P( D) ? C 2 3 ? ( ) 2 ? ( ? ? ) ? 5 , 3 3 3 2 3
由互斥事件的概率公式得 P( AB ) ? P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 ? ? ? 3 4 35 35 243

.

解法二: 用 Ak 表示 “甲队得 k 分”这一事件, 用 Bk 表示 “已队得 k 分” 这一事件, k=0,1,2,3 由于事件 A3B0,A2B1

- 22 -

为互斥事件,故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
2 2 3 1 1 1 1 1 2 34 2 2 ( ) ? ( ? ) ? C ? C12 ? 2 ) ? . = 3 3 ?( ? 2 ? 2 3 3 2 3 2 3 2 3 243

3、方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE

ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD


NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD
(2)

CD‖ AB,

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2
DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,∴ cos ?MDP ?
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作

AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,

2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4

- 23 -

(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2
取z ?

z O

M

2 ,解得 n ? (0,4, 2)
A x B N CP D y

2 2 ∵ MN n ? (1 ? , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4

? MN‖ 平面OCD
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 , , ?1) 2 2

∴c o ? s ?

AB MD AB ? MD

?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ ,?? 3 2 3

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ?
' 4、 【解】 : (Ⅰ)因为 f ? x ? ?

OB ? n n

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 3

a a ? 2 x ? 10 所以 f ' ? 3? ? ? 6 ? 10 ? 0 因此 a ? 16 1? x 4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ? 16ln ?1 ? x ? ? x ?10x, x ? ? ?1, ???

f ? x? ?
'

2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1? x

当 x ? ? ?1,1?

?3, ??? 时, f ' ? x? ? 0

当 x ? ?1,3? 时, f

'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ?3, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ?3, ??? 上单调增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0
f ? e?2 ? 1? ? ? 3 2 ? 1 1 ? ?2 1 ? f?
- 24 -

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

?

3

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一个交点,当且仅 当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。

5、 【解析】 (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8 1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4
A y F G F1 O B x

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0得 x ? 2 ? b ,

? F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,
?2 ? b ? b 即 b ? 1 , 即 椭 圆 和 抛 物 线 的 方 程 分 别 为

x2 ? y2 ? 1 和 2

x2 ? 8( y ? 1) ;
(2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 ( 2, 0) , 8 1 1 4 5 2 PA PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
2

关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解, 即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 6、 (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ)

a2 ? a1 ? 1 ,

(n ? 2) . a3 ? a2 ? q , ?? , an ? an?1 ? q2 , . ? q n ?2 ( n ? 2 )

将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ?

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?

q ? 1, q ? 1.

上式对 n ? 1 显然成立.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得 q ?1 ? 1 ? q ,
5 2 2 8 3 6



- 25 -

整理得 (q3 )2 ? q3 ? 2 ? 0 ,解得 q3 ? ?2 或 q3 ? 1 (舍去) .于是 q ? ? 3 2 . 另一方面, an ? an?3 ?

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 ? (q ? 1) , 1? q 1? q
*

an?6 ? an ?
*

q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q

由①可得 an ? an?3 ? an?6 ? an , n ? N .所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.

- 26 -

高考数学大题突破训练(五) 1、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 cos2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

2、如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管 道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,C,则分别设为 l, 2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变量 ? 为获 得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) .

3、如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别在线段 AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?

2 FD ? 4 .沿直线 EF 将 3

V AEF 翻折成 V A' EF ,使平面 A' EF ? 平面BEF .
(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线 段 FM 的长。

'

- 27 -

4、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n) 3n . (Ⅰ)求 lim

a an a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . ; (Ⅱ)证明: 2 2 n ?? S 1 2 n n

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 5、已知 m>1,直线 l : x ? my ? 2 m
(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF1F2 , VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

6、已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e2 , b ? R , x ? a 是 f ( x ) 的一个极大值点. (Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x ) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列

xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,
说明理由.

- 28 -

高考数学大题突破训练(六) 1、设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (1)求 f ? x ? 的值域; (2)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,求 a 的值。

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

2、某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能) 为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过 的通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表 ... 示走出迷宫所需的时间。 (1)求 ? 的分布列; (2)求 ? 的数学期望。

3、已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

- 29 -

AC ? BC , AA1 ? AB , D 为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, 4、如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

AE ? 3EB1 .
(Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ) 设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°, 求二面角 A 1 ? AC1 ? B 1的 大小.

5、设 F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B a 2 b2

两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

6、已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
*

- 30 -

高考数学大题突破训练(七) 1、设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

2、 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

1 , 3

3、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

?

?

- 31 -

4、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

x2 y 2 3 5、已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 a b 3
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2 ? y 2 ? 5 上, 求 m 的值.

6、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

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高考数学大题突破训练(八)

? 2 1、设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin x. 3
(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

2、某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假 设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持” ,则给予 10 万元的创业资助; 2

若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持” ,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总 额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? .

3、在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.
A D P

N

M

O B C

- 33 -

4、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

5、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若 存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

6、等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

?

,点 (n, Sn) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且
x

b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ? 2 ( l o2g an ?

1) n? ( N ? , )证明:对任意的 n ? N ? ,

不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

- 34 -

参考答案 高考数学大题突破训练(五) 1、 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 10 ,及 0<C<π 所以 sinC= . 4 4 a c ? ,得 c=4 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 6 ,J 及 0<C<π 得 cosC=± 4 4
b= 6 或 2 6

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 b= 6

c=4 或 c=4 2、(Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为 ξ p 50% 70% 90%

3 16 3 3 7 3 则Ε ξ = ?50%+ ?70%+ 90%= . 16 8 16 4
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

3 8

7 16

3 3 9 + = . 16 8 16 9 9 2 9 1701 2 由题意得η ~(3, )则 P(η =2)= C3 ( ) (1)= . 16 16 16 4096
3、 (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点,所以 A H ? EF ,
' ' ' '

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .如图建立空间直角坐标系 A-xyz
'

则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,0) , F(4,0,0) ,D(10,0,0).
?

'

故 FA =(-2,2,2 2 ) , FD =(6,0,0). 设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0.
?
'

'

?

取 z ? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,
故 cos? n, m? ?

3 nm 3 。所以二面角的余弦值为 ? 3 n m 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x,0,0) , 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A ' M ,
- 35 -

2 2 故, (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x) ,得 x ? ? 22 ? (2 2)

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ? 方法二:

21 。 4

(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连结 A ' G, A ' H , GH 。 因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点,所以 A ' H ? EF 又因为平面 A ' EF ? 平面 BEF ,所以 A ' H ? 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF ,故 A ' H ? AF , 又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A ' GH ,所以 ?A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角, 在 Rt A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2, A ' G = 2 3 所以 cos ?A ' GH ?

3 . 3

故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为 (Ⅱ)解:设 FM ? x ,

3 。 3

因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM ? A ' M ,

而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 ,

A ' M 2 ? A ' H 2 ? MH 2 ? A ' H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2 得 x ?
经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ? 4、

21 , 4

21 。 4

- 36 -

m2 m2 2 2 5、 (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ? ,得 m 2 ? 2 , ? 0 经过 F2 ( m ? 1, 0) ,所以 m ? 1 ? 2 2

2 又因为 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? ?0。 2
? m2 x ? my ? ? ? 2 ,消去 得 (Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。 由 ? 2 x ? x ? y2 ? 1 ? ? m2
m2 2 y ? my ? ?1 ? 0 4
2

2

m2 则由 ? ? m ? 8( ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4
2

且有 y1 ? y2 ? ?

m m2 1 , y1 y2 ? ? 。由于 F1 (?c,0), F2 (c,0), 故 O 为 F1F2 的中点, 2 8 2
x1 y1 x y ( x ? x ) 2 ( y ? y2 ) 2 2 , ), h( 2 , 1 ), GH ? 1 2 ? 1 3 3 3 3 9 9

由 AG ? 2GO, BH ? 2HO ,可知 G ( 设 M 是 GH 的中点,则 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,由题意可知 2 MO ? GH , 6 6

即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 6 6 9 9 m2 m2 m2 1 m2 1 )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m2 ? 1 ) ( ? ) 所以 ? ?0 2 2 8 2 8 2

而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

2 即 m ? 4 ,又因为 m ? 1 且 ? ? 0 ,所以 1 ? m ? 2 。所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。
2 6、 (Ⅰ)解:f ’(x)=ex(x-a) ? ? x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ? ?,



g ( x) ? x 2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a, 则?=(3-a+b)2 ? 4(2b ? ab ? a) ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? 0,

,假设 x1 , x2是g ( x) ? 0的两个实根,且x1 ? x2 .

(1) 当 x1=a 或 x2=a 时,则 x=a 不是 f(x)的极值点,此时不合题意。 (2) 当 x1 ? a 且 x2 ? a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1<a<x2.即 g ( x) ? 0 即 a ? (3 ? a ? b)a ? 2b ? ab ? a ? 0 ,所以 b<-a,所以 b 的取值范围是(-∞,-a)
2

- 37 -

此时 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ?

(a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6

2 或 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1) ? 8 ? a ? a ? 2 6

(2)当 x2 ? a ? a ? x1 时,则 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a)

于是 a ? b ? 1 ?

?9 ? 13 2

此时 x4 ?

a ? x 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2

综上所述,存在 b 满足题意,当 b=-a-3 时, x4 ? a ? 2 6

b ? ?a ?

7 ? 13 7 ? 13 1 ? 13 1 ? 13 b ? ?a ? 时, x4 ? a ? 时, x4 ? a ? 2 2 2 2
高考数学大题突破训练(六)

1、解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x cos

2 2 1 3 ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 3 3 2 2

?

5 1 3 cos x ? sin x ? 1 ? sin( x ? ? ) ? 1 ,因此 f ( x) 的值域为 [0,2] . 6 2 2
- 38 -

(Ⅱ)由 f ( B) ? 1得 sin( B ?

5 5 ? ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin( B ? ? ) ? 0 ,又因 0 ? B ? ? , 故 B ? . 6 6 6

2 2 2 2 解法一:由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2 .

解法二:由正弦定理 当C ?

b c 3 ? 2? ? ,得 sin C ? . ,C ? 或 sin B sin C 3 2 3
,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ;当 C ?

?
3

时, A ?

?
2

2? ? ? 时, A ? ,又 B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6

故 a 的值为 1 或 2. 2、 (1)必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 P (? ? 1) ? , P(? ? 3) ? ? ? , P(? ? 4) ? ? ? , P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 3 2 6 3 2 6 3 2 3
分布列为:

?
P

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 小时 3 6 6 3 2

3、解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? )单调减少. 2a 2a

(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥4x1-4x2,即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则, g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4,= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .
- 39 -

4、 (I)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1,又 AE=3EB1,所以 FE=EB1,又 D 为 BB1 的中点,故 DE∥BF, DE⊥AB1. ??????3 分 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1,故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (II)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .

作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又作 HK⊥AC1,K 为垂足,连接 B1K, 由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角.

5、解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

? y ? 3( x ? 2), ? 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) , y ? . 因为 AF2 ? 2F2 B, 所以? y1 ? 2 y2 . 2 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
得 a ? 3.而a2 ? b2 ? 4, 所以b ? 5.



3b2 (2 ? 2a) ? 3b2 (2 ? 2a) ? 2 ? . 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2
x2 y 2 ? ? 1. 9 5

故椭圆 C 的方程为

6、解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8,所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2,另由已知(令 m=1)可得
w_w w. k#s5 _u.c o*m

an=

a2 n ?1 ? a1 a ? a2 n ?1 8n ? 2 -(n-1)2.那么 an+1-an= 2 n ?1 -2n+1= -2n+1=2n 2 2 2


于是 cn=2nqn 1.
- 40 -

当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2?q0+4?q1+6?q2+??+2n?qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2?q1+4?q2+6?q3+??+2n?qn. 上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+??+qn 1)-2nqn=2?


1 ? qn -2nqn 1? q

=2?

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ,所以 Sn=2? 1? q (q ? 1) 2

?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 2 ( q ? 1) ? (q ? 1) 2 ?
高考数学大题突破训练(七) 1、

2、 (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生 在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为

? 1? ? 1? 1 4 . P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 27
(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” ( k ? 0,1,2,3,4) ,
4 ∴ P ?? ? 2k ? ? Ck ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,∴即 ? 的分布列是
4 6 8

?
P

0

2

32 8 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3
?

16 81

1 81

3、 (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴ DE ?

1 BC , 2
- 41 -

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?

1 1 AB ,∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? AB . 2 2

∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

DE BC 2 2 ,∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin . ? ? AD 2 AD 4 4

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角,∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90 , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角. 4、 (Ⅰ) f
'
? ?

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x .

(Ⅱ)由 f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx ? 0 ,得 x ? ? 若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

1 ? k ? 0? , k

? ?

1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?
1 ? ?1 , k 1 ? 1, k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0?

? 0,1? .

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , 5、 (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

- 42 -

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m ,∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上, 2
2

2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 .

6、 (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? (2 k ) ? ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2
高考数学大题突破训练(八)

1、解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2

所以函数 f(x)的最大值为

1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ? 所以

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2 1 , 3

3 , 2
3 ,

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

sin B?

2 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

2、解: (1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 P (? ? 5 )? 64 32 15 3 P (? ? 20) ? P (? ? 25) ? 64 32 P (? ? 0) ?

P(? ? 10) ?

15 64 1 P (? ? 3 0 ? ) 64
- 43 -

P(? ? 1 5 ? )

5 16

(2) E? ? 5 ?

3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . 32 64 16 64 32 64

3、 (1)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面PAD,则 CD⊥AM,所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD。 (2)由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD ,则 M 是 PD 的中点可得

AM ? 2 2 , MC ? MD2 ? CD2 ? 2 3 则 S ?ACM

1 AM ? MC ? 2 6 2

设 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD? ACM ? VM ? ACD 即 2 6h ? 8 ,可求得 h ? 设所求角为 ? ,则 sin ? ?

2 6 , 3

h 6 6 , ? ? arcsin 。 ? CD 3 3 PN PA 8 ? (3)可求得 PC=6。因为 AN⊥NC,由 ,得 PN ? 。所以 NC : PC ? 5 : 9 。 PA PC 3 5 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。 9 5 10 6 又因为 M 是 PD 的中点,则 P、D 到平面 ACM 的距离相等,由(2)可知所求距离为 h ? 。 9 27
2 a x 2 ? ax ? 2 . 4、解: f ( x ) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x2
2 设 g ( x) ? x ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .
2
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数。
2

② 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,仅对 x ?
2

2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x)

在 (0, ??) 上也是增函数。 ③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ? , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增

x1
0 极大

( x1 , x2 )
_ 单调递减

x2
0 极小

( x 2 , ??)
+ 单调递增

此 时 f ( x ) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 在 2 2 2
- 44 -

(

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2
x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

5、解:(1)因为椭圆 E:

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,

? y ? kx ? m ? 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 , 即 ?1 ? ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 要 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 , 所 以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 使 OA ? OB , 需 使 x1 x2? y1 y ? 2 0 , 即 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k2 ?

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 m ? , 即 m ? 或m?? , 因为 3 8 3 3 ? 3m ? 8

直 线 y ? k? x

m 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 为

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的切线 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

y ? kx ? m 都 满 足 m ?

2 6 2 6 2 6 或m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与 椭圆 3 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点 8 4 3 3 3 3
- 45 -

的圆 x ? y ?
2 2

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 4 6 , ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 | AB |? 3 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( 综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3
?

6、解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像上.所以得
x

Sn ? b n ? r

,
n


n?1

n ?1



,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn?1 ? b ? r ? (b

? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以 r ? ?1 ,公比为

b , an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b
n?1

? 2n?1 ,

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n
- 46 -



bn ? 1 2n ? 1 b ?1 3 5 7 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 bn 2n

2n ? 1 2n

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

下面用数学归纳法证明不等式

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6

2n ? 1 ? n ? 1 成立. 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立 ,即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6 ?

2k ? 1 ? k ? 1 成立.则当 n ? k ? 1 2k

时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6

2k ? 1 2 k ? 3 ? 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

- 47 -


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